湖北省武汉市 2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

华中师大一附中2023-2024学年度上学期高二期中检测数学试题时限：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算进行求解.【详解】.故选：D2.平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（）A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.以上选项都不对【答案】D【解析】【分析】根据动点满足的几何性质判断即可.【详解】因为、，所以， 而平面内到两定点、的距离之差等于的点的轨迹为一条射线.故选：D3.“”是“方程表示圆的方程”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据表示圆得到或，然后判断充分性和必要性即可.【详解】若表示圆，则，解得或，可以推出表示圆，满足充分性，表示圆不能推出，不满足必要性，所以是表示圆的充分不必要条件.故选：A.4.已知椭圆的离心率为，则实数的值为（）A.B.或C.或D.或【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的标准方程、椭圆的离心率公式分析运算即可得解.【详解】由题意，椭圆，则，且，由离心率，解得：，若椭圆的焦点在轴上，则，解得：；若椭圆的焦点在轴上，则，解得：；综上知，或.故选：C. 5.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．若透明窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为（）A.2B.C.D.5【答案】D【解析】【分析】由椭圆定义，根据，结合勾股定理可得可得的值，则即可求的面积．【详解】由，，，得，则椭圆长轴长，由点在椭圆上，得，又，则，因此，所以的面积为.故选：D6.已知圆与圆外切，则的最大值为（）A.2B.C.D.3【答案】D【解析】【分析】利用两圆外切求出的关系，再利用基本不等式求解即得. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，依题意，，于是，即，因此，当且仅当时取等号，所以的最大值为3.故选：D7.如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可.【详解】三棱锥中，过作平面，由，知，以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，由平面，得，则， 令，则，设，于是，当且仅当时取等号，所以线段的最小值为.故选：B8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据，可得，则，为梯形的两条底边，作于点P，所以，则可求得，再结合，建立的关系即可得出答案.【详解】如图，由，得，则，为梯形的两条底边，作于点P，则，由梯形的高为c，得，在中，，则有，，在中，设，则，，即，解得，在中，，同理， 又，所以，即，所以离心率.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.直线与圆的公共点的个数可能为（）A.0B.1C.2D.3【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离的取值范围，即可判断得解.【详解】圆的圆心，半径，当时，点到直线的距离，因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为1或2.故选：BC10.下列四个命题中正确的是（）A.过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为B.过点且与圆相切的直线方程为或C.若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或D.若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 【答案】BC【解析】【分析】利用直线截距式方程判断A；求出圆的切线方程判断B；求出直线斜率范围判断C；利用三条直线不能构成三角形的条件求出a值判断D.【详解】对于A，过点在轴和轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为，A错误；对于B，圆的圆心，半径，过点斜率不存在的直线与圆相切，当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此切线方程为，所以过点且与圆相切的直线方程为或，B正确；对于C，直线恒过定点，直线的斜率分别为，依题意，或，即为或，C正确；对于D，当直线平行时，，当直线平行时，，显然直线交于点，当点在直线时，，所以三条直线不能构成三角形，实数的取值集合为，D错误.故选：BC 11.已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆上任意一点．若的最小值为，则下列说法中正确的是（）A.B.的最大值为5C.存在点使得D.的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断在椭圆外部，在求出，即可求出，再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B、C，根据椭圆的定义判断D.【详解】椭圆，则，所以，圆的圆心为，半径，所以，所以点在椭圆外部，又，当且仅当、、三点共线（在之间）时等号成立，所以，解得，所以，解得（负值舍去），故A正确； ，又，所以，所以，即的最大值为，当且仅当在上、下顶点时取最大值，故B正确；设为椭圆的上顶点，则，，所以，所以，所以，则存在点使得，故C正确；因为，当且仅当、、、四点共线（且、在之间）时取等号，故D错误. 故选：ABC12.在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（）A.二面角的余弦值为B.棱台的体积为26C.若点在侧面内运动，则四棱锥体积的最小值为D.点的轨迹长度为【答案】ACD 【解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量相关公式求出二面角的余弦值；B选项，利用棱台体积公式求出答案；C选项，设出，求出轨迹方程，得到点的轨迹，从而得到点到平面的最短距离为，利用体积公式求出答案；D选项，考虑点在各个面上运算，求出相应的轨迹，求出轨迹长度，相加后得到答案.【详解】A选项，因为平面，平面，所以，又底面分别是边长为4和2的正方形，故，故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，则，平面的法向量为，设平面的法向量为，则，解得，令得，，故，则，又从图形可看出二面角为锐角，故二面角余弦值为，A正确； B选项，棱台的体积为，B错误；C选项，若点在侧面内运动，，设，则，整理得，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分，如图所示，圆弧即为所求，过点作⊥于点，与圆弧交于点，此时点到平面的距离最短，由勾股定理得，因为，，，故点到平面的最短距离为，因为与平行，且⊥平面，又平面，所以⊥， 故四边形为直角梯形，故面积为，则四棱锥体积的最小值为，C正确；D选项，由C选项可知，当点在侧面内运动时，轨迹为圆弧，设其圆心角为，则，故，所以圆弧的长度为，当点在面内运动时，，设，则，整理得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分，如图所示，圆弧即为所求轨迹，其中，故，则圆弧长度为， 若点面内运动时，，设，则，整理得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分，如图所示，圆弧即为所求，此时圆心角，故圆弧长度为，经检验，当点在其他面上运动时，均不合要求，综上，点的轨迹长度为，D正确.故选：ACD 【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，且直线与直线垂直，则实数的值为______．【答案】【解析】【分析】首先求出直线的斜率，由两直线垂直得到斜率之积为，即可求出，再由斜率公式计算可得.【详解】因为直线的斜率，又直线与直线垂直，所以，即，解得.故答案为：14.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为______．【答案】【解析】【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程.【详解】椭圆的长轴端点为，焦点为，因此以为顶点，为焦点的双曲线虚半轴长为，方程为.故答案为：15.椭圆上的点到直线的最远距离为______．【答案】【解析】 【分析】设出椭圆上任意一点的坐标，再利用点到直线距离公式，结合三角函数性质求解即得.【详解】设椭圆上的点，则点到直线的距离：，显然当时，，所以椭圆上的点到直线的最远距离为.故答案为：16.已知点的坐标为，点是圆上的两个动点，且满足，则面积的最大值为______．【答案】【解析】【分析】设，，的中点，由题意求解的轨迹方程，得到的最大值，写出三角形的面积，结合基本不等式求解．【详解】设，，的中点，点，为圆上的两动点，且，，①，，②，③由③得，即④，把②中两个等式两边平方得：，，即⑤， 把④代入⑤，可得，即在以为圆心，以为半径的圆上．则的最大值为．所以．当且仅当，的坐标为时取等号．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．（1）求点的坐标；（2）求直线的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由垂直关系求出直线的方程，再求出两直线的交点坐标即得. （2）设出点的坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式求出直线方程.【小问1详解】由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1，直线方程为，即，由，解得，所以点的坐标是.【小问2详解】由点在直线上，设点，于是边的中点在直线上，因此，解得，即得点，直线的斜率，所以直线的方程为，即.18.如图，在三棱柱中底面为正三角形，．（1）证明：； （2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律及定义得到，即可得证；（2）取中点，连接交于点，连接、，即可得到为异面直线与所成角或其补角，再由余弦定理计算可得.【小问1详解】因为，所以，所以，即.【小问2详解】取的中点，连接交于点，连接、，则为的中点，所以，所以为异面直线与所成角或其补角，在等边三角形中，在平行四边形中，所以，所以，因为，，所以，在矩形中，所以，在中由余弦定理， 所以异面直线与所成角的余弦值为.19.已知圆的圆心在轴上，其半径为1，直线被圆所截的弦长为，且点在直线的下方．（1）求圆的方程；（2）若为直线上的动点，过作圆的切线，切点分别为，当的值最小时，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设圆心，根据直线被圆所截的弦长为列方程得到，然后写圆的方程即可；（2）根据等面积的思路得到当时，最小，然后根据直线为以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线求直线方程.【小问1详解】设圆心到直线的距离为，则，解得或，因为点在直线的下方，所以，，所以圆的方程为.【小问2详解】 因为，所以最小即最小，当时，最小，所以此时，的直线方程为：，联立得，所以，中点，，所以以为直径的圆的方程为：，直线为以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线，联立得，所以直线的方程为.20.已知分别为椭圆的左、右焦点，离心率，点为椭圆上的一动点，且面积的最大值为2．（1）求椭圆的方程；（2）若点为椭圆的左顶点，点在椭圆上，线段的垂直平分线与轴交于点，且为等边三角形，求点的横坐标．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形的面积、离心率以及列出关于的方程组，由此求解出 的值，则椭圆的方程可求；（2）表示出的垂直平分线方程，由此确定出点坐标，再根据为等边三角形可得，由此列出关于的等式并结合椭圆方程求解出点坐标.【小问1详解】依题意当为椭圆的上、下顶点时面积的取得最大值，则，解得，所以椭圆方程为：.【小问2详解】依题意，则，且，若点为右顶点，则点为上（或下）顶点，则，，此时不是等边三角形，不合题意，所以，.设线段中点为，所以，因为，所以，因为直线的斜率，所以直线的斜率，又直线的方程为，令，得到，因为，所以，因为为正三角形， 所以，即，化简，得到，解得，（舍）故点的横坐标为.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问关键在于垂直平分线方程的求解以及将的结构特点转化为等量关系去求解坐标，在计算的过程中要注意利用点坐标符合椭圆方程去简化运算.21.如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且．（1）若点为线段的中点，证明：平面；（2）若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面 所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明；（2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可.【小问1详解】取中点，连接，，因为分别为中点，所以，，因为四边形为菱形，为中点，所以，，所以，，则四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以∥平面.【小问2详解】取中点，连接，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，平面，所以，， 因为，四边形为菱形，所以三角形为等边三角形，因为为中点，所以，，所以两两垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设，则，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，，解得或（舍去），所以线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.22.已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于点．（1）若，求的值；（2）若圆是以为圆心，1为半径的圆，连接，线段交圆于点，射线上存在一点 ，使得为定值，证明：点在定直线上．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设，，联立直线与椭圆方程，求出点坐标，再由两点间的距离公式求出；（2）由点坐标可求得斜率，进而得到方程，与圆的方程联立可得点坐标；设，利用向量数量积坐标运算表示出，可知若为定值，则，知；当直线斜率不存在时，验证可知满足题意，由此可得定直线方程.【小问1详解】依题意可得，可设，，由，消去整理得，，，，，，所以，解得或（舍去），所以.【小问2详解】由（1）知，，若直线斜率存在，则，直线， 由得，又点线段上，所以，即，又，，设，则，；当时，为定值，此时，则，此时在定直线上；当时，不为定值，不合题意；若直线斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设，从而有，，此时，则直线，设，则，，，则时，，满足题意；综上所述：当为定值，点在定直线上.