四川省遂宁市蓬溪中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

蓬溪中学高2022级第三学期第四次质量检测数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化抛物线方程为标准方程，从而可求解.【详解】化抛物线方程为标准方程，所以焦点坐标为.故选：C2.直线平分圆C：，则（）A.B.1C.-1D.-3【答案】D【解析】【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.【详解】变形为，故圆心为，由题意得圆心在上，故，解得.故选：D3.已知双曲线的左、右焦点分别为，，则双曲线的渐近线方程式为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由双曲线的定义与性质计算即可.【详解】由题意可得，故由题意可得，渐近线方程为.故选：D4.下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件，其中，真命题是（）A.①②④B.②④C.③④D.①②【答案】B【解析】【分析】利用互斥事件与对立事件的关系即可求解.【详解】对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故④正确．故选：B.【点睛】本题考查了事件之间的关系，掌握互斥事件与对立事件的关系是解题的关键，属于基础题.5.光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】点关于轴的对称点为,求出即得解.【详解】点关于轴的对称点为，则光线从到经过的路程为的长度，即.故选：C6.长方体中，向量在基底的坐标为，则向量在基底的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性与空间向量的基本定理即可求解【详解】因为，所以向量在单位正交基底下的坐标为，故选：B7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则弦长的值为（） A.8B.C.D.6【答案】B【解析】【分析】设直线，，结合抛物线方程结合韦达定理整理可得，结合抛物线的定义可得，，进而可得的值.【详解】由题意可知：，设直线，，联立方程，消去x得，可得，则，因为在抛物线上，则，可得，即，由抛物线的定义可得，即，所以，则，解得，所以.故选：B．8.如图，在长方体中，，，点E，F，G分别是的中点，点M是侧面内（含边界）的动点，则下列结论正确的是（）A.存在M，使得平面B.存在M，使得平面C.不存在M，使得平面平面D.不存在M，使得平面平面【答案】AD【解析】 【分析】对于A，通过分析图形发现若点M是侧面的中心，则可用线面平行的判定定理证明即可得到A正确；对于B，结合图形、线面垂直的性质采用反正法，即可推翻B；对于C，通过分析图形发现若点M是侧面的中心，则可用面面平行的判定定理证明即可得到C正确；对于D，建立适当的空间直角坐标系，设平面和平面的两个法向量分别为，证明即可推翻D.【详解】对于A，如图所示：若点M是侧面的中心，则三点共线，由题意在长方体中，，所以四边形是平行四边形，从而，即，又因为点E，G分别是的中点，即是的中位线，从而，所以，又因为平面内，平面内，所以存在M是侧面的中心，使得平面，故A正确；若存在M，使得平面，又因为平面内，则，但由图可知，或平行或异面，不可能垂直，产生矛盾，故B错误；对于C，如图所示： 不妨设点M是侧面的中心，则由A选项分析可知，，即，，所以，由题意在长方体中，，所以四边形是平行四边形，从而，又因为点E，F分别是的中点，即是的中位线，从而，所以，面，面，所以平面，同理可得平面，又因为，面，从而平面平面，故存在点M是侧面的中心，使得平面平面，故C错误；对于D，以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，由题意，且注意到点E，F，G分别是的中点，点为侧面矩形内的一点，所以，所以，设平面和平面的两个法向量分别为，则，即， 令，解得，即可取，同理，，即，令，解得，即可取，而，所以当且仅当，即与重合，这与成为平面矛盾，因此只能，从而不存在M，使得平面平面，故D正确.故选：AD.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.9.已知直线，，则（    ）A.直线恒过定点，直线恒过定点B.若与相互平行，则或C.若，则D.若不经过第二象限，则【答案】ACD【解析】【分析】根据直线过定点的求法、两直线平行和垂直的位置关系、直线图象与系数之间的关系依次判断各个选项即可.【详解】对于A，方程可整理为：，令，解得：，直线恒过定点； 令方程中的，解得：，直线恒过定点，A正确；对于B，若，则，解得：，B错误；对于C，若，则，解得：，C正确；对于D，直线方程可整理为：，若不经过第二象限，则，解得：，D正确.故选：ACD.10.近日，华为在美国商务部长雷蒙多访问中国之际发布了备受瞩目的新款手机Mate60pro，该手机采用了自主国产芯片麒麟9000s，这标志着华为成功冲破了美国的限制和封锁.芯片的突破，鼓舞了中国全社会.现甲，乙两人准备各买一部手机，购买华为手机的概率分别为，，购买黑色手机的概率分别为，，若甲，乙两人购买哪款手机互相独立，则（）A.甲，乙两人恰有一人购买华为手机的概率为B.甲购买了华为手机，但不是黑色的概率为C.甲，乙两人都没有购买黑色手机的概率为D.甲，乙至少有一人购买黑色华为手机的概率为【答案】ABD【解析】【分析】本题考查相互独立事件概率的乘法公式，属于基础题，由相互独立事件概率的乘法公式进行分析解答.【详解】解：对于A，甲，乙两人恰有一人购买华为手机的概率，故A正确；对于B，甲购买了华为手机，但不是黑色的概率，故B正确；对于C，甲，乙两人都没有购买黑色手机的概率，故C错误；对于D，甲购买黑色华为手机的概率，乙购买黑色华为手机的概率，则甲，乙至少有一人购买黑色华为手机的概率故选：ABD11.已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A.当时，曲线C是椭圆 B.当或时，曲线C是双曲线C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则【答案】BCD【解析】【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项.【详解】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确.故选：BCD.12.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，，下列说法正确的是（    ）A.与所成的角是B.与平面所成的角的正弦值是C.平面与平面所成的锐二面角余弦值是D.是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为 【答案】BD【解析】【分析】根据题设建立空间直角坐标系，对于A，直接利用直线的方向向量的夹角公式来验证即可；对于B，算出直线、平面的方向向量、法向量，直接由线面角的的正弦公式验证即可；对于C，直接算出平面的法向量，由面面角的余弦公式运算即可，对于B，首先设出参数，得到点到平面距离关于参数的函数关系式，最终求解最值即可得解.【详解】因为，，所以，因为平面，平面，所以，所以两两互相垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，所以，所以，，， 对于A，，所以与所成的角是，故A错误；对于B，由题意不妨设平面的法向量为，则，令，解得，即取平面的一个法向量为，又由A选项分析可知，，设与平面所成的角为，则，即与平面所成的角的正弦值是，故B正确；对于C，由题意，面，所以面，故可取面的一个法向量为，由B选项可知平面的一个法向量为，不妨设平面与平面所成的角为，则，所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是，故C错误；对于D，因为是线段上动点，所以设，因为为中点，所以，，所以，当时，点与点重合，此时点到平面距离为，当时，点不与点重合，设平面的法向量为，则，令，解得，，所以，所以点到平面距离为 ，当时，，当时，，所以当即时，，，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：根据题设建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离是解决问题的关键.第II卷（非选择题）三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知（为虚数单位），则________．【答案】##【解析】【分析】根据复数的代数运算法则即可解出．【详解】∵，∴.故答案为：.14.椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于______.【答案】14【解析】【分析】根据题意，由题意的定义，即可得到结果.【详解】因为椭圆，则，设椭圆的左右焦点分别为， 因为P与它一个焦点的距离等于6，不妨令,由椭圆的定义可知，则，即点P与另一个焦点的距离等于14.故答案为：1415.已知A，B两点的坐标分别是，，直线相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点M的轨迹是___________【答案】直线去掉点【解析】【分析】由题意根据斜率的计算公式列出方程化简即可.【详解】由题意不妨设，则，整理得，所以点M的轨迹是直线去掉点.故答案为：直线去掉点.16.已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为_____________．【答案】##【解析】分析】设，根据勾股定理得到，确定，中，根据余弦定理得到，得到离心率.【详解】不妨取为上顶点，如图所示：则，设，则，则， 整理得到，，中，根据余弦定理：，整理得到，即.故答案为：.四、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求适合下列条件的曲线的标准方程（1）实轴和虚轴长分别为8和10，焦点在轴上的双曲线的标准方程；（2）焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意设出双曲线的标准方程，由实轴、虚轴长度算出即可得解.（2）设出抛物线的标准方程，根据已知列出方程求出参数即可得解.【小问1详解】由题意设双曲线的标准方程为，其中，即，所以满足题意的双曲线的标准方程为.【小问2详解】由题意设抛物线的标准方程为，又焦点到准线的距离是2，所以，即，所以满足题意的抛物线的标准方程为. 18.已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，．（1）求圆C的标准方程；（2）过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，求得线段的垂直平分线方程是，设出圆的标准方程，进而求得圆心坐标和半径，即可求解；（2）根据题意，分直线的斜率不存在斜率存在，两种情况讨论，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：如图所示，设的中点为，则，由圆的性质得，所以，可得，所以线段的垂直平分线方程是，设圆的标准方程为，其中，半径为，由圆的性质，圆心在直线CD上，化简得，所以圆心，，所以圆C的标准方程为．【小问2详解】解：①当直线的斜率不存在时，直线的方程，与圆相切，符合题意；②当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意，解得； 故直线l的方程为，即；综上直线l的方程为或．19.中国人民志愿军被称为“最可爱的人”，2023年7月27日是抗美援朝胜利70周年，为了解抗美援朝英雄事迹、某党支部组织了抗美援朝知识竞赛活动、现抽取其中50名党员的成绩，按进行分组，得到如下的频率分布直方图．（1）求图中的值及估计这50名党员的成绩的平均数；（2）若采用分层随机抽样的方法，从成绩在和内的党员中共抽取4人，再从这4人中任选2人在会上进行演讲，求这2人的成绩不在同一区间的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用面积之和为1求，根据频率分布直方图中平均数的求法求成绩的平均数；（2）计算成绩在和内的党员人数，根据分层抽样确定两个区间内抽取人数，根据古典概型求概率.【小问1详解】由图可知：，所以.平均数：.所以这50名党员的成绩的平均数.【小问2详解】由图可知分数在的频率为，分数在的频率为， 所以若按分层抽样从这两组中抽4人，则分数在的人数为3人，记为A,B,C,分数在的人数为1人,记为D，所以从4人中任选2人有：，共6种基本情况，其中2人的成绩不在同一区间有共3种情况所以，所以这2人的成绩不在同一区间的概率为．20.已知，，动圆与圆和圆都外切，圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线C的方程；（2）若过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能否为线段的中点？为什么？【答案】20.21.能，理由见解析【解析】【分析】（1）画出图形，由圆外切、圆心坐标、圆的半径以及双曲线的定义即可得解.（2）画出图形，中点弦问题用到中点坐标公式以及点差法来做稍微方便一些.【小问1详解】如图所示： 由题意，的圆心分别为，，且动圆与两定圆分别外切与两点，所以，，解得，所以圆心的轨迹是以为焦点，为实轴顶点的双曲线但不包括实轴顶点，所以曲线C的方程为，（且）.【小问2详解】如图所示： 过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能为线段的为中点，理由如下：由题意设点在双曲线上，且点为弦的中点，所以，又因为，所以，即，，存在过点且斜率为的直线：，即，且联立，消去并整理得，，满足题意，综上所述：存在过点且斜率为的直线交曲线C于A，B两点，且点Q为线段的中点.21.已知在多面体中，，，，，且平面平面. （1）设点F为线段BC的中点，试证明平面；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由四边形为平行四边形.∴，再结合平面，即可证明平面；（2）由空间向量的应用，建立以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】取的中点，连接，，∵在中，∴.∴由平面平面，且交线为，平面，得平面.∵，分别为，的中点，∴，且.又，，∴，且.∴四边形为平行四边形.∴，∴平面.【小问2详解】∵平面，平面，所以，又因为，所以三者两两互相垂直，∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，.∵平面，∴直线与平面所成的角为.∴.∴.可取平面的法向量，设平面的法向量，，，则，取，则，.∴，∴，∴二面角的余弦值为.22.已知椭圆经过两点．（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，求面积的最大值；（3）若该椭圆的左右焦点分别为，，经过左焦点的直线交椭圆于两点，求内切圆半径的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】 【分析】（1）由题意将两点的坐标代入表达式求出参数即可得解.（2）由题意通过换元得到，由于弦长固定，故只需由点到直线的距离公式结合辅助角公式即可求出最值.（3）由三角形的两个面积公式首先得到，然后设出过点的直线的方程，将其与椭圆方程联立，由韦达定理即可算出的表达式，进一步即可求出其最值.【小问1详解】由题意点椭圆上，所以，解得，即椭圆的方程为.【小问2详解】由题意不妨设点（不与重合），在双曲线上，则，不妨设， 且直线的斜率为，弦长，所以直线的方程为，点到直线的距离为，所以，其中，，所以等号成立当且仅当，即当且仅当且，取最大值.【小问3详解】如图所示：由题意设内切圆的半径为，则一方面 ，，另一方面，所以，由题意直线斜率不为0，不妨设过点的直线的方程为，，将其与椭圆方程联立得，消去得，所以，所以，设，则，令，则，所以当且仅当即，即时，内切圆的半径为有最大值.【点睛】关键点睛：第一问的方法比较常规，仔细运算即可，第二问的关键是转换为三角函数辅助角来求最值，第三问的关键是首先得到内切圆半径的表达式，进一步结合判别式得出参数范围即可求解.