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四川省广安第二中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题(Word版附解析)
四川省广安第二中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题(Word版附解析)
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秘密★启用前2023年秋广安二中高2022级第二次月考数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班次、学号、智学网号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将直线化为斜截式方程得出斜率,根据斜率与倾斜角的关系,即可得出答案.【详解】将直线化为斜截式方程为,斜率.设直线的倾斜角为,则.又,所以.故选:C.2.设等差数列的公差为,若,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式可得出关于的等式,解之即可.【详解】由已知可得,解得.故选:B.3.已知,,且,则的值为() A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量共线列出关于的方程,由此求解出结果.【详解】因为,所以,,解得,故选:A.4.如图,在四面体中,是的中点.设,,,用,,表示,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量的线性运算直接得解.【详解】由是的中点,可知,所以,故选:D.5.已知表示的曲线是圆,则的值为()A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】方程配方后得,根据圆的半径大于0求解.【详解】由方程可得,所以当时表示圆,解得.故选:C.6.已知双曲线的离心率为,且双曲线上的点到焦点的最近距离为2,则双曲线的方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用双曲线上的点到焦点的最近距离为,结合离心率计算可得答案.【详解】结合题意:双曲线上的点到焦点的最近距离为,因为双曲线离心率为,所以,解得,故双曲线的方程为.故选:B.7.直线与曲线只有一个公共点,则实数范围是() A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】确定直线恒过定点,确定曲线表示圆心为,半径为1,且位于直线右侧的半圆,包括点,由直线与圆位置关系解决即可.【详解】由题知,直线恒过定点,曲线表示圆心为,半径为1,且位于直线右侧的半圆,包括点,当直线经过点时,与曲线有2个交点,此时,不满足题意,直线记为,当直线经过点时,与曲线有1个交点,此时,满足题意,直线记为,如图,当直线与半圆相切时,由,解得,直线记为,由图知,当或,与曲线有1个交点,故选:C8.已知为椭圆C:的右焦点,P为C上的动点,过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,若等于的最小值的3倍,则C的离心率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据椭圆的性质以及通径,可得,,再根据已知列式,结合椭圆的关系,求出离心率即可.【详解】为椭圆C:的右焦点,P为C上的动点,由椭圆的性质,可得.过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,.等于的最小值的3倍,.椭圆中,,即,则.,,解得或(舍).故选:B.二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.已知数列的通项公式为,则()A.数列为递增数列B.C.为最小项D.为最大项【答案】CD【解析】【分析】根据数列的通项公式,利用分离常数法得出,结合及函数的性质 即可判断A、C、D;求得即可判断B.【详解】,当()时,,且单调递减;当()时,,且单调递减,则为最小项,为最大项,故C、D正确,A错误;,,则,故B错误,故选:CD.10.已知曲线C的方程为,则下列说法正确的是()A.存在实数,使得曲线为圆B.若曲线C为椭圆,则C.若曲线C为焦点在x轴上的双曲线,则D.当曲线C是椭圆时,曲线C的焦距为定值【答案】AC【解析】【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可.【详解】A正确:曲线C为圆即;B错误:C为椭圆C正确:C为焦点在x轴上的双曲线,D错误:C是椭圆,此时焦距,不是定值.故选:AC11.如图,在四棱锥中,平面,,,,,M为PD的中点,则() A.直线CM与AD所成角的余弦值为B.C.D.点M到直线BC的距离为【答案】ABD【解析】【分析】过A作,垂足为E,以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量法逐一判断各个选项即可.【详解】过A作,垂足E,则,以A为原点,分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,,,,,因为,所以直线CM与AD所成角的余弦值为,故A正确;因为,所以B正确;因为,所以BM与PC不垂直,故C不正确;设点M到直线BC的距离为d,则,即点M到直线BC的距离为,故D正确.故选:ABD. 12.已知圆:,过直线:上一点作圆的两条切线,切点分别为,,则()A.若点,则直线的方程为B.面积的最小值为C.直线过定点D.以线段为直径圆可能不经过点【答案】BCD【解析】【分析】对A:计算出过、、三点的圆的方程,再两圆方程相减即可得到;对B:当最小时,的面积会有最小值;对C:设出点坐标,再计算出直线的方程,求定点即可得到;对D:可寻找特殊点,如A选项中,计算发现不经过点即可得到.【详解】A选项,若,则直线的方程为,,以P为圆心,4为半径的圆的方程为,即,由,两式相减得,,故A错误; B选项,到直线:的距离为,而,所以的最小值为,所以面积最小值为,故B正确;C选项,设,,线段的中点坐标为,所以以为直径的圆的方程为,化简得:,由,两式相减得,即,由,解得,所以直线过定点,故C正确;D选项,由A选项,由,解得或,即,,,即此时以线段为直径的圆不经过点,故D正确.故选:BCD.三、填空题:本大题共4小题,把答案填写在题中横线上.13.直线与直线的距离为__________. 【答案】##0.7【解析】【分析】把直线方程化为,利用两平行线之间的距离公式,即可求解结果.【详解】由直线,可化为,则直线和直线之间的距离.故答案为:14.已知,则向量在上的投影向量的坐标是______.【答案】【解析】【分析】由已知得出的坐标,然后求出投影向量即可得出答案.【详解】因为,,所以,向量在上的投影向量是,其坐标为.故答案为:.15.已知抛物线:的焦点为,,为上一点,则的最小值为________.【答案】5【解析】【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】过作准线的垂线,垂足为,则,显然点在抛物线内,则当,,三点共线时,最小,其最小值为.故答案为: 16.如图,我们把由半椭圆:和半椭圆:合成的曲线称作“果圆”.,是曲线的焦点,是曲线的焦点,则的周长为______.过且斜率为的直线交曲线于两点,则=________.【答案】①.②.【解析】【分析】(1)根据椭圆方程,求得三个焦点坐标,结合距离公式求得的周长即可.(2)根据点斜式得出直线的方程,与椭圆联立,代入弦长公式即可.【详解】(1)由题意得的周长为故答案为:.(2)根据题意得直线的方程为将直线与曲线联立,得设则弦长. 故答案为:;.四、解答题:本大题共6小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列前项和为.(1)试写出数列的前项;(2)求的通项公式.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由数列的前项和公式,得代入运算即可.(2)根据得验证综合可得的通项公式.【小问1详解】数列前项和为,【小问2详解】由题得时,又不符合上式,18.已知的三个顶点,D为BC的中点.求: (1)中线AD所在直线的方程;(2)BC边上的高所在直线的方程.【答案】18.19.【解析】【分析】(1)求出BC的中点D坐标,求出中线AD所在直线的斜率,代点斜式即可求解.(2)求出直线的斜率,即可得到BC边上的高线的斜率,利用直线方程的点斜式,即可求解.【小问1详解】BC的中点,中线AD所在直线的斜率为,所以BC边上的中线AD所在直线的方程为,即.【小问2详解】、,BC边斜率k,则BC边上的高线的斜率k=,所以BC边上高线所在直线的方程为,即.19.已知圆C的圆心在直线上,且经过点和.(1)求圆C的标准方程;(2)若过点的直线l与圆C交于A,B两点,且,求直线l的方程.【答案】(1)(2)或【解析】 【分析】(1)点和的中垂线经过圆心,两直线联立方程得圆心坐标,再利用两点间距离公式求解半径.(2)已知弦长,求解直线方程,分类讨论斜率是否存在.【小问1详解】点和的中点为,,所以中垂线的,利用点斜式得方程为,联立方程得圆心坐标为,所以圆C的标准方程为.【小问2详解】当过点的直线l斜率不存在时,直线方程为,此时弦长,符合题意.当过点的直线l斜率存在时,设直线方程为,化简得,弦心距,所以,解得,所以直线方程为.综上所述直线方程为或.20.在四棱锥中,底面为直角梯形,,侧面底面,且分别为中点.(1)证明:平面;(2)若直线与平面所成的角为,求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)取中点,连接,通过证明四边形为平行四边形,即可证明结论;(2)由直线与平面所成的角为,可得,建立以G 为原点的空间直角坐标系,利用向量方法可得答案.【小问1详解】证明:取中点,连接,为的中点,,又,,四边形为平行四边形:,平面平面,平面;【小问2详解】平面平面,平面平面平面,平面,取中点,连接,则平面,,,又,如图以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,,,设平面的一个法向量,,则,取,则,平面的一个法向量可取,设平面与平面所成的夹角为,,平面与平面所成的夹角的余弦为 21.已知圆,,动圆与圆,均外切,记圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)直线过点,且与曲线交于两点,满足,求直线的方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解;(2)不妨设,,,由可得,结合韦达定理运算求解.【小问1详解】由题意可知:圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,由条件可得,即,则根据双曲线的定义可知,点是以,为焦点,以2为实轴长的双曲线的右支,则,可得,所以曲线的方程为. 【小问2详解】由(1)可知:双曲线的渐近线方程为,即,由于且直线的斜率不等于0,不妨设,,,则,,由可得,联立方程,消去x得则,由韦达定理可得,由,解得,代入可得,解得,即,因此直线,即. 22.已知椭圆的上顶点为,左、右焦点分别为,,离心率,的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线与椭圆相交于点,,则直线,的斜率分别为,,且,,其中是非零常数,则直线是否经过某个定点?若是,请求出的坐标.【答案】(1);(2)直线经过定点.【解析】【分析】(1)由题可得,再结合即可求解椭圆标准方程;(2)联立直线与椭圆方程,表示出韦达定理,求出,结合韦达定理可得与的代换式,代入整理成点斜式即可求解【详解】(1)因为,的面积,且,故解得,,,则,,则椭圆的标准方程为.(2)假设,, 直线与椭圆联立得消去整理得,则,,又因为,所以,,则,即,代入韦达定理得,即,化简得,因为,则,即,代入直线得,所以恒过,故直线经过定点.
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高中 - 数学
发布时间:2024-01-16 02:20:02
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