安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性学业质量检测数学试题（Word版附解析）

安庆一中2023-2024学年度高二第一学期第二次阶段性学业质量检测数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：A.2.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.380B.200C.190D.100【答案】A【解析】【分析】求得等差数列的公差，进而求得【详解】设等差数列的公差为，则，所以.故选：A3.已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的离心率和性质求解即可.【详解】因为双曲线的离心率，所以由得，所以，即渐近线方程为，故选：A4.⊙C1：(x－1)2＋y2＝4与⊙C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9相交弦所在直线为l，则l被⊙O：x2＋y2＝4截得弦长为（）A.B.4C.D.【答案】D【解析】【分析】由⊙C1与⊙C2的方程相减求出相交弦所在的直线l的方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心O(0，0)到l的距离，再利用勾股定理可求得结果【详解】解：由⊙C1与⊙C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.圆心O(0，0)到l的距离，⊙O的半径R＝2，∴截得弦长.故选：D【点睛】此题考查两圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.5.点是抛物线上一动点，则点到点的距离与点到直线的距离和的最小值是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】过点作准线于点，由抛物线的定义，推得，求得点到的距离与点到准线的距离之和的最小值为，进而求得点到的距离与到直线的距离和的最小值.【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过点作准线于点，连接，如图所示，由抛物线的定义，可得，则，所以当为与抛物线的交点时，点到的距离与点到准线的距离之和的最小值为，所以点到的距离与到直线的距离和的最小值是.故选：D.6.如图，已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与交于点，若，则的离心率为（） A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得为线段的中点；由得，结合双曲线定义求得，利用勾股定理可得，即得a,c的关系式，求得答案.【详解】如图，因为，所以为线段的中点；由于，即,所以，所以为等腰三角形，且有连接，又，点Q在双曲线C上，由双曲线定义，可得，故;所以在中，有，即，整理得，所以离心率，故选:B． 7.已知数列的前n项和为，，，，数列的前n项和为，则（）A.0B.50C.100D.2525【答案】B【解析】【分析】法一：先利用求出，利用累乘法得到，再分组求和；法二：先利用求出，又易知，从而得到为常数列，求出，再分组求和.【详解】法一：由于①，则当时，②，①-②，得，即，易知，所以．又满足，故，则，易知，所以.法二：由于①，则当时，②，①-②，得，即，又易知，所以数列为常数列，所以，所以，则，易知，所以.故选：B．8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点， ，且，椭圆的离心率为，则实数（）A.B.2C.D.3【答案】D【解析】【分析】设，根据椭圆定义求出，，利用即可求解.【详解】因为，设，由椭圆的定义可得：，则，因为，所以，所以，即，又因为椭圆的离心率为，所以，则有，所以，则，则，由，所以，因为，所以，所以，即，解得：，故选：.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知椭圆：与双曲线：（），下列关于两曲线的说法错误的是（）A.的长轴长与的实轴长相等B.的短轴长与的虚轴长相等C.焦距相等D.离心率不相等【答案】AB【解析】【分析】根据椭圆的标准方程确定长轴、短轴、焦距与离心率，以及双曲线的实轴、虚轴、焦距、离心率，再逐项判断即可. 【详解】由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，当时，，，双曲线的焦点在轴上，其实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为．故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，与的焦距相等，离心率不相等．故A，B错误；C，D正确.故选：AB.10.等差数列的前项和为，若，公差，且，则下列命题正确的有（）A.是数列中的最大项B.是数列中的最大项C.D.满足的的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】由得出，代入与，对选项依次判断即可.【详解】∵，∴，∴，∴，∴，，对于A，，∵，∴当时，取最大值，∴是数列中的最大项，故选项A正确；对于B，∵，，所以等差数列是递减数列，数列中的最大项为，故选项B错误；对于C，，故选项C正确； 对于D，∵，∴，解得，∵，∴满足的的最大值为，故选项D正确.故选：ACD.11.已知，点P是直线上动点，过点P作的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（）A.关于直线l的对称圆方程B.若Q是上动点，则线段PQ的最大值为C.线段AB的最小值是D.若，则点P的轨迹长度为【答案】ACD【解析】【分析】根据圆与切线的相关计算对选项一一验证【详解】对于选项A：设的圆心关于直线l的对称的点为，则，解得：，则关于直线l的对称圆方程，故A错误；对于选项B：Q是上动点，P是直线上动点，则线段PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，即，无最大值，故B错误；对于选项C： 根据题意分析，若线段AB最小，则点P到圆心的距离最小，则此时的切线长为，此时线段AB的长度的为：，故C正确；对于选项D：若，则，则，则点P的轨迹长度为，故D正确；故选：ACD.12.已知抛物线的准线与轴相交于点，过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，且两点在准线上的投影点分别为，则下列结论正确的是（）A.B.的最小值为4C.为定值D.【答案】ABD【解析】【分析】由焦点到准线的距离可得的值，进而求出抛物线的方程，可判断A正确；设直线的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B正确；分别表示出可判断C不正确；表示出，，由可判断D正确．【详解】对于A，因为抛物线的准线，所以，则，故A正确； 对于，抛物线，过焦点的直线为，则，整理可得，设，可得，，，所以，当时取等号，最小值为4，所以正确；对于C，，所以所以，所以C不正确；对于D，，，，所以，故D正确.故选：ABD 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.数列满足，（），则_____________．【答案】【解析】【分析】通过计算出等的值可以发现数列是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出的值．【详解】由以上可知，数列是一个循环数列，每三个一循环，所以【点睛】在计算数列中的某一项的时候，可以先通过观察发现数列的规律，在进行计算．14.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则点坐标为___________.【答案】【解析】【分析】先根据直线AC与直线BH垂直，斜率乘积为-1，得到，从而利用点斜式求出直线AC方程，与CM所在直线联立求出点C坐标即可.【详解】因为边AC上的高BH所在直线方程为，∴，且，∴∵的顶点，∴直线AC方程：，即，与联立，，解得：，所以顶点C的坐标为，故答案为：. 15.已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为8，过的直线与该椭圆交于M，N两点，若的最小值为，则周长为______.【答案】【解析】【分析】根据焦距为8，的最小值为可得：，，结合椭圆的定义进而求解.【详解】由题意可知：，解得：，，由椭圆的定义可得：周长为，故答案为：.16.已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_______.【答案】【解析】【分析】利用将变为，整理发现数列{}为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和．【详解】 当时，符合，当时，符合，【点睛】一般公式的使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便．先求，再求，再求，一切都顺其自然．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知直线，以点为圆心的圆C与直线l相切．（1）求圆C的标准方程；（2）过点的直线交圆C于A，B两点，且，求的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径，即可得到圆C的标方程；（2）根据弦长公式可求出圆心C到直线的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨论思想即可求出．【小问1详解】设圆C的半径为r，∵C与l相切，∴，∴圆C的标准方程为． 【小问2详解】由可得圆心C到直线的距离．∴当的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到的距离为3，符合条件；当的斜率存在时，设，圆心C到直线的距离，解得，此时的方程为，即．综上，的方程为或．18.已知数列满足，且.（1）求；（2）证明数列是等差数列，并求的通项公式．【答案】（1）（2）证明见解析，【解析】【分析】（1）由递推公式直接求出；（2）利用构造法得到，即可证明是等差数列，并写出的通项公式.【小问1详解】由题意可得，则，又，所以.由，得，所以.【小问2详解】由已知得， 即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，则，所以.19.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于和两点，且．（1）求该抛物线方程；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出，的坐标结合，求出的坐标，代入抛物线方程求得值．【详解】解：（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为，，故直线的方程为，联立，可得．，，△，解得，．经过抛物线焦点的弦，解得．抛物线方程为；（2）由（1）知，，，代入直线，可求得，，即，，，，，，， ，，点在抛物线上，故，解得：或．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属于中档题．20.已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．（1）求双曲线的方程；（2）直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）由题意可得：，，，解得，，，即可得出双曲线的方程．（2），设直线的方程为，，，联立直线的方程与双曲线的方程化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，利用的面积，解得，即可得出直线的方程．【小问1详解】解：由题意可得：，，，解得，，，所以双曲线的方程为.【小问2详解】解：由题意可知，直线的斜率不为0，设：，设，， 联立，消，得，由，解得，则.所以，所以的面积，由，整理得，解得，，所以直线的方程为或.21.已知数列满足（1）求an.（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将当时，和两式作差即可求出结果，注意检验时是否成立；（2）证得数列的单调性，从而结合不等式恒成立即可求出结果.【小问1详解】当时，；当时，又， 上述两式作差可得，即，不满足，所以；【小问2详解】当时，，即，所以，数列从第二项开始为递增数列，对任意的，恒成立.①若为正奇数，则，，则，可得；②若为正偶数，则，可得.综上所述，.22.已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，椭圆的一条以为中点的弦所在直线的方程为.（1）求椭圆的方程；（2）点为直线上一点，且不在轴上，直线，与椭圆的另外一个交点分别为M，N，设，的面积分别为，，求的最大值，并求出此时点的坐标.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由点差法得出，进而由得出椭圆的方程；（2）设，，，联立直线（）与椭圆方程，求出，，再由面积公式结合相似三角形的性质得出，令，由二次函数的性质得出 的最大值以及点的坐标.【小问1详解】设，，则，两式相减得，，所以，即即，∴又，所以，所以椭圆的方程为.【小问2详解】设，，则：，：联立，消去得同理，联立，消去得所以. 令，则当且仅当，即，即时，取得最大值.综上所述，当时，取得最大值.