四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

嘉陵一中高2023级高一上期第三次月考数学试卷（试卷总分：150分，考试时间：150分钟）一、单选题（每小题5分，共40分）1.若集合，集合，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，用列举法写出集合，对集合取并集即可得到答案.【详解】集合，又集合，所以.故选：C.2.函数定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，列不等式确定函数的定义域.【详解】根据函数的解析式可知，要得到函数的定义域，需满足，得且，即函数的定义域为.故选：C3.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】求出命题为真的充要条件，然后根据必要不充分条件的定义判断．【详解】命题“，”为真命题，，，时，取得最大值，由是，这是命题为真的充要条件，因此只有D是必要不充分条件．故选：D．4.已知函数若，则实数（）A.－5B.5C.－6D.6【答案】A【解析】【分析】先求，再由列方程求解即可.【详解】由题意可得，因为，即，所以，得，故选：A5.设，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据指数函数、幂函数的性质确定范围并比较大小，再判断的范围，即可比较，，的大小关系.【详解】在上单调递增，， 又在上单调递减，，，,又，.故选：D6.已知，则取到最小值时，的值为（）A.16B.12C.9D.8【答案】B【解析】【分析】从条件得到a与b的关系，然后运用均值不等式的性质，找到取到最小值时的值，从而求得答案.【详解】由，得，则，当且仅当时，等号成立，取最小值，此时；则.故选：B.【点睛】方法点睛：基本不等式是建立多项式乘积和和之间的桥梁，可以快速解决多项式最值问题.7.2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（）（参考数据：）A.308B.309C.1023D.1024【答案】B【解析】【分析】由已知可推得当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.两边同时取以10为底的对数，根据对数的运算性质可得，根据已知数据，即可得出答案.【详解】根据题意，得个超导量子比特共有种叠加态， 所以当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.两边取以10为底的对数得，所以.由于，故是一个309位的数，即.故选：B.8.已知函数对任意的，，都有，的图像关于对称、则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意函数对任意的，，都有可得函数在上单调递减，再根据的图像关于对称，将转化为，即可比较出三个函数的大小．【详解】由题意得，函数在上单调递减，且的图像关于对称，可得为偶函数； 故选D．【点睛】本题主要考查函数单调性和对称性的综合应用．二、多选题（每题5分，共20分，全对得5分，部分选对得2分，多选或错选得0分）9.下列命题中正确的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】ABC【解析】【分析】A.取特殊值判断；B.根据和的单调性判断；C.在同一坐标系中作出函数的图象判断；D.根据和的单调性判断.【详解】A.当时，,故正确；B.因为在上递减，在上递增，所以，即，，故正确；C.在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：由图象知：，，故正确； D.因为在上递减，在上递减，所以，，所以，故错误；故选：ABC10.下列说法正确是（）A.函数的图象关于成中心对称B.函数（且）的图象一定经过点C.函数的图象不过第四象限，则的取值范围是D.函数（且），，则的单调递减区间是【答案】AD【解析】【分析】根据分式分离得，结合反比例函数的图象性质即可得的对称中心，从而判断A；由指数函数的定点可得函数的定点，从而判断B；由指数函数的图象平移可得函数的图象不过第四象限时的取值范围，从而判断C；利用复合函数单调即可判断D.【详解】函数，其图象是由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到，故函数的图象关于成中心对称，故A正确；当时，，则函数（且）的图象一定经过点，故B错误；由指数函数的图象可得函数的图象不过第四象限，则，所以的取值范围是，故C错误；函数中，，又且，所以，则， 由于函数，单调减区间为上，单调增区间为，函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是，故D正确.故选：AD11.今有函数又，使对都有成立，则下列选项正确的是（）A.对任意都有B.函数是偶函数(其中常数)C.实数的取值范围是D.实数的最小值是【答案】AC【解析】【分析】根据的解析式可判断AB，，然后可得，然后可得，然后分、两种情况讨论，当时可得，当时，，然后求出右边的最小值即可判断CD.【详解】因为，所以当时，故A正确；令，则，所以函数是奇函数，故B错误，因为，所以因为，使对都有成立，所以，所以， 当时，不等式恒成立，当时，由可得所以，所以当时，成立，当时，，当时，取得最小值，所以，即综上：，故C正确D错误故选：AC12.若函数的定义域为，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（）A.函数不存在保值区间B.函数存在保值区间C.若函数存在保值区间，则D.若函数存在保值区间，则【答案】ACD【解析】【分析】由新定义与函数的性质对选项逐一判断，【详解】对于A，在和上单调递增，令，得，，故不存在保值区间，故A正确，对于B，当时，，当时，，在单调递减，在单调递增，，若存在保值区间， 若，令得无解，若，则，作差后化简得或，不合题意，故不存在保值区间，故B错误，对于C，若存在保值区间，而在上单调递增，故，得，故C正确，对于D，函数在上单调递减，若存在保值区间，则，作差得，得，则原式等价于在上有两解，令，则在上有两解，而在上单调递减，在上单调递增，当时，，故，故D正确，故选：ACD三、填空题（每题5分，共20分）13.函数是指数函数，则的值为________．【答案】【解析】【分析】利用指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】因为函数为指数函数，则，解得.故答案为：. 14.将函数的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数的图象，若为奇函数，则______．【答案】-2【解析】【分析】根据题意可得知与之间的关系式，然后利用函数的奇函数性质，计算可得答案.【详解】由函数的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数的图象，可得：，故，所以,故答案为：-2.15.已知函数对任意两个不相等的实数，，都满足不等式，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据题意得出在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”以及对数函数性质列出不等式求解即可.【详解】由不等式可知，在上单调递增，又因为在上单调递减，则在上单调递减，且在上恒成立， 所以，解得．故答案为：16.已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】由得使得不等式一边是参数，另一边是不含关于的式子，分离参数.【详解】由为奇函数，可得其图像关于对称，所以的图像关于对称，由题目可知函数关于点对称，可得，对任意的，恒成立恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，设，当时，取得最大值，所以的取值范围是.故答案为：. 【点睛】①分离参数法：遇到类似或等不等式恒成立问题，可把不等式化简为或的形式，达到分离参数的目的，再求解的最值处理恒成立问题；②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算公式进行求解即可；（2）根据对数的运算性质进行求解即可.【小问1详解】；【小问2详解】 .18.已知集合A={x|}，B={x|2<x<7}，C={x|5-a<x<a}.（1）求A∪B，（）∩B；（2）若C∩B=B，求a的取值范围.【答案】（1）A∪B，（）∩B；（2）.【解析】【分析】（1）求解分式不等式解得集合，再根据集合的交并补运算，即可求得结果；（2）根据的包含关系，列出不等关系，求解即可.【小问1详解】A={x|，故A∪B，又或，故（）∩B.【小问2详解】B={x|2<x<7}，C={x|5-a<x<a}因为C∩B=B，故可得结合，则，且，解得，故实数的取值范围为：.19.（1）已知，求的解析式．（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式．【答案】（1）（且）（2）【解析】【分析】（1）直接利用换元法即可求出函数的解析式； （2）利用函数的对应关系，建立方程组，进而即可求出函数的解析式．【小问1详解】设，则()，代入中，得，所以的解析式为，(且)．【小问2详解】由于函数为一次函数，设，又，整理得，故，解得，，故的解析式为．20.已知二次函数满足：关于不等式的解集为且.（1）求表达式；（2）若且在区间上的最小值为，求的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用待定系数法设，代入，根据不等式的解集求出，可得的表达式；（2）设，当时，化为，的最小值为，当时，化为，的最小值为，根据二次函数知识列式可求出结果.【小问1详解】 因为为二次函数，且，所以可设，由，得，因为关于的不等式的解集为，所以关于的不等式的解集为，所以的两根为和，所以，，所以，，所以.【小问2详解】由（1）知，，设，当时，由，得，则，，其对称轴为，且，所以，解得；当时，由，得，则，，其对称轴为，且，所以，解得.综上所述：的取值范围是或.21.设函数（1）解关于的方程；（2）令，求的值. 【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据题意,将代入原方程化简可得关于的方程,利用换元法令,转化为关于的一元二次方程,解方程即可求得的值.（2）根据解析式,分析并计算可知为定值,即可求值.【详解】（1）因为函数代入可得令则解得或即或解得或（2）根据题意则所以且所以【点睛】本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基础题. 22.已知函数．（1）若，求与值；（2）由（1）的计算结果猜想函数在时满足什么性质，并证明你的猜想；（3）证明：在区间上单调递增，在区间上单调递减．【答案】（1）（2），理由见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）根据函数解析式求函数值即可；（2）猜想，化简即可；（3）利用作差法结合增函数和减函数的定义即可得证.【小问1详解】解：若，，则；【小问2详解】解：，理由：因为，所以；【小问3详解】证明：任取， 则，因为，所以，所以，所以在区间上单调递增，任取，则，因为，所以，所以，