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四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(Word版附解析)
四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(Word版附解析)
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嘉陵一中高2023级高一上期第三次月考数学试卷(试卷总分:150分,考试时间:150分钟)一、单选题(每小题5分,共40分)1.若集合,集合,则等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意,用列举法写出集合,对集合取并集即可得到答案.【详解】集合,又集合,所以.故选:C.2.函数定义域为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式,列不等式确定函数的定义域.【详解】根据函数的解析式可知,要得到函数的定义域,需满足,得且,即函数的定义域为.故选:C3.命题“,”为真命题的一个必要不充分条件是()A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】求出命题为真的充要条件,然后根据必要不充分条件的定义判断.【详解】命题“,”为真命题,,,时,取得最大值,由是,这是命题为真的充要条件,因此只有D是必要不充分条件.故选:D.4.已知函数若,则实数()A.-5B.5C.-6D.6【答案】A【解析】【分析】先求,再由列方程求解即可.【详解】由题意可得,因为,即,所以,得,故选:A5.设,,,则,,的大小关系为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据指数函数、幂函数的性质确定范围并比较大小,再判断的范围,即可比较,,的大小关系.【详解】在上单调递增,, 又在上单调递减,,,,又,.故选:D6.已知,则取到最小值时,的值为()A.16B.12C.9D.8【答案】B【解析】【分析】从条件得到a与b的关系,然后运用均值不等式的性质,找到取到最小值时的值,从而求得答案.【详解】由,得,则,当且仅当时,等号成立,取最小值,此时;则.故选:B.【点睛】方法点睛:基本不等式是建立多项式乘积和和之间的桥梁,可以快速解决多项式最值问题.7.2023年1月31日,据“合肥发布”公众号报道,我国最新量子计算机“悟空”即将面世,预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态,2个超导量子比特共有4种叠加态,3个超导量子比特共有8种叠加态,,每增加1个超导量子比特,其叠加态的种数就增加一倍.若,则称为位数,已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数,则()(参考数据:)A.308B.309C.1023D.1024【答案】B【解析】【分析】由已知可推得当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.两边同时取以10为底的对数,根据对数的运算性质可得,根据已知数据,即可得出答案.【详解】根据题意,得个超导量子比特共有种叠加态, 所以当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.两边取以10为底的对数得,所以.由于,故是一个309位的数,即.故选:B.8.已知函数对任意的,,都有,的图像关于对称、则下列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意函数对任意的,,都有可得函数在上单调递减,再根据的图像关于对称,将转化为,即可比较出三个函数的大小.【详解】由题意得,函数在上单调递减,且的图像关于对称,可得为偶函数; 故选D.【点睛】本题主要考查函数单调性和对称性的综合应用.二、多选题(每题5分,共20分,全对得5分,部分选对得2分,多选或错选得0分)9.下列命题中正确的是()A.,B.,C.,D.,【答案】ABC【解析】【分析】A.取特殊值判断;B.根据和的单调性判断;C.在同一坐标系中作出函数的图象判断;D.根据和的单调性判断.【详解】A.当时,,故正确;B.因为在上递减,在上递增,所以,即,,故正确;C.在同一坐标系中作出函数的图象,如图所示:由图象知:,,故正确; D.因为在上递减,在上递减,所以,,所以,故错误;故选:ABC10.下列说法正确是()A.函数的图象关于成中心对称B.函数(且)的图象一定经过点C.函数的图象不过第四象限,则的取值范围是D.函数(且),,则的单调递减区间是【答案】AD【解析】【分析】根据分式分离得,结合反比例函数的图象性质即可得的对称中心,从而判断A;由指数函数的定点可得函数的定点,从而判断B;由指数函数的图象平移可得函数的图象不过第四象限时的取值范围,从而判断C;利用复合函数单调即可判断D.【详解】函数,其图象是由反比例函数的图象向左平移一个单位,再向上平移两个单位得到,故函数的图象关于成中心对称,故A正确;当时,,则函数(且)的图象一定经过点,故B错误;由指数函数的图象可得函数的图象不过第四象限,则,所以的取值范围是,故C错误;函数中,,又且,所以,则, 由于函数,单调减区间为上,单调增区间为,函数在上单调递减,则函数的单调递减区间是,故D正确.故选:AD11.今有函数又,使对都有成立,则下列选项正确的是()A.对任意都有B.函数是偶函数(其中常数)C.实数的取值范围是D.实数的最小值是【答案】AC【解析】【分析】根据的解析式可判断AB,,然后可得,然后可得,然后分、两种情况讨论,当时可得,当时,,然后求出右边的最小值即可判断CD.【详解】因为,所以当时,故A正确;令,则,所以函数是奇函数,故B错误,因为,所以因为,使对都有成立,所以,所以, 当时,不等式恒成立,当时,由可得所以,所以当时,成立,当时,,当时,取得最小值,所以,即综上:,故C正确D错误故选:AC12.若函数的定义域为,值域也为,则称为的“保值区间”.下列结论正确的是()A.函数不存在保值区间B.函数存在保值区间C.若函数存在保值区间,则D.若函数存在保值区间,则【答案】ACD【解析】【分析】由新定义与函数的性质对选项逐一判断,【详解】对于A,在和上单调递增,令,得,,故不存在保值区间,故A正确,对于B,当时,,当时,,在单调递减,在单调递增,,若存在保值区间, 若,令得无解,若,则,作差后化简得或,不合题意,故不存在保值区间,故B错误,对于C,若存在保值区间,而在上单调递增,故,得,故C正确,对于D,函数在上单调递减,若存在保值区间,则,作差得,得,则原式等价于在上有两解,令,则在上有两解,而在上单调递减,在上单调递增,当时,,故,故D正确,故选:ACD三、填空题(每题5分,共20分)13.函数是指数函数,则的值为________.【答案】【解析】【分析】利用指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式,即可解得实数的值.【详解】因为函数为指数函数,则,解得.故答案为:. 14.将函数的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数的图象,若为奇函数,则______.【答案】-2【解析】【分析】根据题意可得知与之间的关系式,然后利用函数的奇函数性质,计算可得答案.【详解】由函数的图象先向左平移一个单位、再向上平移一个单位得到函数的图象,可得:,故,所以,故答案为:-2.15.已知函数对任意两个不相等的实数,,都满足不等式,则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据题意得出在上单调递增,根据复合函数单调性“同增异减”以及对数函数性质列出不等式求解即可.【详解】由不等式可知,在上单调递增,又因为在上单调递减,则在上单调递减,且在上恒成立, 所以,解得.故答案为:16.已知函数关于点对称,若对任意的,恒成立,则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】由得使得不等式一边是参数,另一边是不含关于的式子,分离参数.【详解】由为奇函数,可得其图像关于对称,所以的图像关于对称,由题目可知函数关于点对称,可得,对任意的,恒成立恒成立,即在恒成立,所以,令,由,可得,设,当时,取得最大值,所以的取值范围是.故答案为:. 【点睛】①分离参数法:遇到类似或等不等式恒成立问题,可把不等式化简为或的形式,达到分离参数的目的,再求解的最值处理恒成立问题;②恒成立问题最终转化为最值问题,而分离参数法,最好之处就是转化后的函数不含参,避免了麻烦的分离讨论.四、解答题(17题10分,其余每题12分,共70分)17.计算:(1);(2).【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据指数幂的运算公式进行求解即可;(2)根据对数的运算性质进行求解即可.【小问1详解】;【小问2详解】 .18.已知集合A={x|},B={x|2<x<7},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,()∩B;(2)若C∩B=B,求a的取值范围.【答案】(1)A∪B,()∩B;(2).【解析】【分析】(1)求解分式不等式解得集合,再根据集合的交并补运算,即可求得结果;(2)根据的包含关系,列出不等关系,求解即可.【小问1详解】A={x|,故A∪B,又或,故()∩B.【小问2详解】B={x|2<x<7},C={x|5-a<x<a}因为C∩B=B,故可得结合,则,且,解得,故实数的取值范围为:.19.(1)已知,求的解析式.(2)已知是一次函数,且满足,求的解析式.【答案】(1)(且)(2)【解析】【分析】(1)直接利用换元法即可求出函数的解析式; (2)利用函数的对应关系,建立方程组,进而即可求出函数的解析式.【小问1详解】设,则(),代入中,得,所以的解析式为,(且).【小问2详解】由于函数为一次函数,设,又,整理得,故,解得,,故的解析式为.20.已知二次函数满足:关于不等式的解集为且.(1)求表达式;(2)若且在区间上的最小值为,求的取值范围.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)利用待定系数法设,代入,根据不等式的解集求出,可得的表达式;(2)设,当时,化为,的最小值为,当时,化为,的最小值为,根据二次函数知识列式可求出结果.【小问1详解】 因为为二次函数,且,所以可设,由,得,因为关于的不等式的解集为,所以关于的不等式的解集为,所以的两根为和,所以,,所以,,所以.【小问2详解】由(1)知,,设,当时,由,得,则,,其对称轴为,且,所以,解得;当时,由,得,则,,其对称轴为,且,所以,解得.综上所述:的取值范围是或.21.设函数(1)解关于的方程;(2)令,求的值. 【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)根据题意,将代入原方程化简可得关于的方程,利用换元法令,转化为关于的一元二次方程,解方程即可求得的值.(2)根据解析式,分析并计算可知为定值,即可求值.【详解】(1)因为函数代入可得令则解得或即或解得或(2)根据题意则所以且所以【点睛】本题考查了根据函数解析式求值,函数性质的分析及应用,指数幂的化简求值,属于基础题. 22.已知函数.(1)若,求与值;(2)由(1)的计算结果猜想函数在时满足什么性质,并证明你的猜想;(3)证明:在区间上单调递增,在区间上单调递减.【答案】(1)(2),理由见解析(3)见解析【解析】【分析】(1)根据函数解析式求函数值即可;(2)猜想,化简即可;(3)利用作差法结合增函数和减函数的定义即可得证.【小问1详解】解:若,,则;【小问2详解】解:,理由:因为,所以;【小问3详解】证明:任取, 则,因为,所以,所以,所以在区间上单调递增,任取,则,因为,所以,所以,
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高中 - 数学
发布时间:2024-01-15 14:25:02
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文章作者:随遇而安
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