湖南省长沙市名校联考联合体2023-2024学年高一数学上学期第二次联考试题（A卷）（Word版附解析）

名校联考联合体2023年秋季高一年级第二次联考数学（A卷）时量：120分钟满分：150分考试范围：必修第一册第1章一第5章5.4一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，且，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用元素与集合的关系，列式求解即得.【详解】依题意，，解得，所以实数的取值范围是.故选：D2.已知幂函数的图象经过点，则等于（）A.2B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义得到，代入点的坐标求出，从而得到答案.【详解】由题意得，且，解得，所以.故选：B3.若，且，则角α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】A【解析】 【分析】先由条件判断出与的符号，进而判断角的终边所在的象限.【详解】，又，，因此角为第一象限角.故选：A.4.下列命题正确的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】利用全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法，逐项判断即得.【详解】对于A，当时，，A错误；对于B，当时，，B正确；对于C，当时，，当时，，C错误；对于D，，，D错误.故选：B5.已知角的顶点为平面直角坐标系的原点，始边与x轴非负半轴重合，若角的终边所在直线的方程为，则的值为（）A.B.C.3D.5【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角的终边所在直线的方程为，在角的终边取一点，则，所以，则.故选：C. 6.已知条件P：，条件Q：，则P是Q的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用对数函数与指数函数的性质，结合充分必要条件的定义即可得解.【详解】当条件P：成立时，因为为上增函数，又，所以，又为上减函数，所以成立，所以是的充分条件；当时，取，满足条件，但此时无意义，所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件.故选：A.7.计算（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指数运算及根式运算计算即得.【详解】.故选：C8.已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定的各个等式，分别构造函数，利用零点存在性定理确定所在区间即可得解.【详解】依题意，设，函数与互为反函数，其图象关于直线对称，且的图象在直线上方，的图象在直线下方，因此当时，；当时，函数递增，递减，则递增，显然，即有，根据零点存在性定理，得，设，函数在R上递减，在R上递增，则在R上递减，显然，即有，根据零点存在性定理，得，令，当时，是奇函数，其图象如图，观察图象知，，即当时，，当时，，显然，，即有，根据零点存在性定理，得，所以.故选：B【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20.分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（） A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质分析AD，利用幂函数的性质分析B，利用特殊值分析C，从而得解.【详解】对于A，因为，所以，所以，即，故A错误；对于B，因为，函数在上单调递增，所以，故B正确；对于，当时，，故C错误；对于D，因为，所以，所以，所以，故D正确.故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期是B.函数是奇函数C.函数在区间单调递减D.若直线与函数相交于两点P，，则|PQ|的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】求出最小正周期判断A；利用奇偶性定义判断B；由余弦函数单调性判断C；由正切函数的周期列式计算判断D.【详解】函数的最小正周期，A错误；由，得函数是奇函数，又其定义域为，B正确；由，得，则函数在区间上单调递减，C正确；由直线与函数相交于两点，得，则的最小值为，D正确. 故选：BCD11.已知，，且，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判断AB，利用基本不等式“1”的妙用判断C，由基本不等式结合对数运算法则判断D．【详解】对于A，因为，，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；对于，因为，所以，当，即时，等号成立，故B正确；对于C，由，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C错误；对于D，因为，所以，由，得，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.故选：ABD.12.已知函数是定义在实数集上的奇函数，且，当时，的值域为，则下列说法正确的是（） A.若，则B.是周期为2的周期函数C.当时，的值域D.当时，的值域为【答案】BCD【解析】【分析】根据周期性和奇函数可判断AB，由奇函数的对称性可判断C，结合周期性以及奇函数的对称性可判断D.【详解】对于AB，因为是定义在实数集上的奇函数，且，所以，则是周期为2的周期函数，，故A错误，B正确；对于C，令，则的定义域为，又，所以是奇函数，当时，的值域为，故当时，的值域为，进而可得时，的值域为，故C正确，对于D，当时，，则的值域为，即的值域为，又，故值域为，又时，的值域为，因此时，的值域为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数是定义在上的偶函数，则等于__________. 【答案】【解析】【分析】利用分段函数的性质与偶函数的性质即可得解.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.故答案为：.14.化简：___________.【答案】4【解析】【分析】利用对数运算及换底公式计算即得.【详解】.故答案为：415.已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组并求解即得.【详解】由函数在R上是增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：16.已知函数（），.记表示，中的最小者，设函数（），若关于x的方程有3个不同的实数根，则实数m 的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】根据给定函数，按分类讨论，结合函数图象求解即得.【详解】当时，，则，则在上没有实数解；当时，，若，则，，则不是的实数解，若，则，因此，则是的实数解；当时，，则只需讨论在区间的实数解的个数，由，得，即问题等价于与图象的交点个数，由于，在区间上单调递减，在区间上单调递增，结合在区间上的图象知，当时，有3个实数解，所以实数取值范围为.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.四.解答题；本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.己知. （1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用给定等式，结合诱导公式化简即可求得.（2）由（1）的结论，利用齐次式法计算即得.【小问1详解】由，得，即，所以.【小问2详解】由（1）知，，所以18.已知全集为R，集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式求出，根据补集和交集的概念求出答案；（2）分和两种情况，得到不等式，求出答案.【小问1详解】 ，时，，故或，或；【小问2详解】因为，当时，，解得，当时，需满足，解得，综上，实数的取值范围是.19.已知二次函数满足：，不等式的解集为，函数，.（1）求函数解析式；（2）证明；函数为单调递增函数.并求函数的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）设出二次函数解析式，再结合给定的解集列出方程求解即得.（2）求出函数，利用函数单调性定义推理即得，由此求出最大值.【小问1详解】设，由，得，则，又不等式的解集为，则1，2是方程的两根，且，因此，解得，所以函数解析式为. 【小问2详解】由（1）知，，且，显然，而，则，于是，即，所以函数在区间单调递增，.20.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭的初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后的剩余质量，称为火箭的质量比，为火箭的发动机的喷气速度.100多年来，所有的大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式的基本规律.已知某型号火箭的发动机的喷气速度为第一宇宙速度7900m/s.（1）当该型号火箭的质量比为10时，求该型号火箭的理想速度；（2）经过材料更新和技术改进后，某型号火箭的发动机的喷气速度提高到了原来的2倍，质量比缩小为原来的，若要使火箭的理想速度至少增加3950m/s.求在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值，参考数据：，，.【答案】（1）；（2）7.【解析】【分析】（1）将给定数据代入公式计算即得.（2）利用给定的信息，列出不等式，再解指对数不等式即得.【小问1详解】依题意，.【小问2详解】技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度，要使火箭理想速度至少增加，则，即，因此，即，所以，所以在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值为7.21.已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）设，若对任意，当时.都有，求正实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用对数函数的单调性解不等式即得.（2）探讨函数的单调性，求出在上的最值，再借助恒成立的不等式求解即得.【小问1详解】由，得，由，得，且， 于是，解得，即，所以不等式的解集为.【小问2详解】由是增函数，在上单调递减，得函数在上为减函数，因此，因为当，满足，则只需，则，即对任意成立，由，得函数的图象对称轴，于是函数在上单调递增，则，解得，所以的取值范围为.【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，(1)若，总有成立，则；(2)若，总有成立，则；(3)若，使得成立，则；(4)若，使得成立，则.22.已知定义在上的函数是偶函数，定义在上的函数是奇函数，且满足.（1）求函数与的解析式；（2）设函数，若，，求实数m 取值的集合.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用奇偶函数的性质，结合方程组法即可得解；（2）利用换元法与基本不等式，将转化为二次函数，从而分类讨论其最值即可得解.【小问1详解】因为为偶函数，所以，又因为为奇函数，所以，因为，所以，即，联立，解得，所以，.【小问2详解】，所以，令，当，即时，等号成立，设，其中，则开口向上，对称轴为，当时，函数在上为減函数，在上为增函数，则，解得；当时，在上单调递增，则，解得，则；综上，，故实数取值的集合为.