黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2023-2024学年高三上学期11月月考数学试题（Word版附解析）

齐齐哈尔普高联谊校高三第三次月考数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.或2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.3.已知等差数列中，，则公差（）A.4B.3C.D.4.已知向量，若，则（）A.B.C.D.5.已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（）A.B.C.D.6.等比数列中，，则（）A.8B.6C.4D.27.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称，则实数的最小值为（）AB.C.D.28.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（） A.0.62B.0.56C.-0.56D.-0.62二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（）A1B.C.3D.10.是边长为2的等边三角形，为的中点．下列正确的是（）A.B.C.D.11.已知数列满足，且数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.数列是等差数列B.C.D.若，则实数的取值范围为12.已知，，，则（）AB.C.D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则__________.14.若是上的奇函数，且在上单调递减，则函数的解析式可以为________.（写出符合条件的一个解析式即可）15.已知三棱锥中，，，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______.16.已知数列中，，若对任意，则数列的前项 和______．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值及取得最小值时的值．18.已知函数.（1）求的最大值及取得最大值时的值；（2）在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值.19.已知等差数列中，，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和．20.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，向量，，且.（1）求角A的大小；（2）若点D为边BC上靠近B的四等分点，且，求的面积.21.已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，.（1）求和通项公式；（2）设，求数列的前项和.22.已知函数.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）已知，若函数恰有一个零点，求实数的值. 齐齐哈尔普高联谊校高三第三次月考数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】，所以，故选：C2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定写出答案.【详解】命题“”的否定是.故选：B.3.已知等差数列中，，则公差（）A.4B.3C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列通项公式即可求解.【详解】在等差数列中，，所以有．故选：B 4.已知向量，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以.故选：D5.已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据勾股定理求解圆台的高，再根据台体的体积公式求解即可.【详解】由图可得，圆台的高为，故圆台的体积为.故选：B6.在等比数列中，，则（）A.8B.6C.4D.2【答案】C【解析】 【分析】先求出，再利用等比数列的性质可得，从而可得答案.【详解】设该等比数列的公比为，因为，所以由，因此．故选：C.7.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称，则实数的最小值为（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据平移求得平移后函数解析式，再根据的图像关于轴对称建立关系即可求解.【详解】由题意，图像关于轴对称，所以，得，，又，所以实数的最小值为.故选：B.8.《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久､源远流长，音域宽广､音色柔美清澈，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（）A.0.62B.0.56C.-0.56D.-0.62 【答案】A【解析】【分析】首先结合余弦定理求得，再根据角的互补关系，求圆心角的余弦值.【详解】如图，设弧对应圆心是，根据题意，，，则，因为，则在中，，所以.故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（）A.1B.C.3D.【答案】AB【解析】【分析】讨论与两种情况，求得或即可．【详解】设数列的公比为，若，则，满足题意；若，由，得，解得，综上，或．故选：AB. 10.是边长为2的等边三角形，为的中点．下列正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据向量的运算逐个判定即可【详解】对于A：，A正确；对于B：，B错误；对于C：由平行四边形法则可知，所以，C正确；对于D：，D错误，故选：AC11.已知数列满足，且数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.数列是等差数列B.C.D.若，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】由可得，可求出通项公式，从而可判断AB；错位相减法求出，从而可判断CD.【详解】由，得，即，所以是等差数列，公差为，首项为，A正确；所以，则，B正确； 数列的前项和为：，①，②由①减②可得，即，C错误；由，得，因为当时，单调递增，所以当时，的值最小．即，所以，所以实数的取值范围为，D正确．故选：ABD.12.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意可构造函数利用导数判断其单调性可得，再构造函数，由导数可得其单调性可知，便可得出结论.【详解】令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，则，所以，可得，即B错误，C正确；令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，即，所以，可得，即A正确，D错误； 故选：AC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及模公式求得结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.14.若是上的奇函数，且在上单调递减，则函数的解析式可以为________.（写出符合条件的一个解析式即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性，结合初等函数的性质，即可求解.【详解】由函数是上奇函数，且在上单调递减，可取函数.故答案为：（答案不唯一）15.已知三棱锥中，，，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】判断平面时，该三棱锥体积最大，再由球的表面积公式求解．【详解】，的外接圆半径为，由题意得当平面时，该三棱锥体积最大，此时其外接球的球心到平面的距离为，故外接球半径为，表面积为，故答案为：16.已知数列中，，若对任意，则数列的前项 和______．【答案】【解析】【分析】由，可得，利用等比数列的通项与求和公式，结合累加法可得答案.【详解】由，且，可知，则可化为，则有，即是等比数列，且公比2，首项为，则，所以，即数列的前项和为．故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值及取得最小值时的值．【答案】（1）（2）当时，最小，最小值为．【解析】【分析】（1）列方程求出，即可求数列通项公式； （2）由（1）知，利用二次函数的性质可求的最小值及取得最小值时的值．【小问1详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，所以．【小问2详解】由（1）知，又，所以当时，取最小，最小值为．18.已知函数.（1）求的最大值及取得最大值时的值；（2）在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值.【答案】（1）时，最大值（2）【解析】【分析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解；（2）由，求得，再题意得到和，结合余弦定理，即可求得的值.【小问1详解】解：由函数，当时，即，此时函数取得最大值.【小问2详解】 解：由函数，因为，即，即，又因为，可得，可得，解得，因为成等差数列，可得，又因为，可得，所以，又由余弦定理可得，即，所以.19.已知等差数列中，，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2），求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等比中项求出公差即可；（2）根据裂项相消法求和即可.小问1详解】因为为等差数列，设公差为，又因为成等比数列，即，即，解得，所以；【小问2详解】， 所以.20.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，向量，，且.（1）求角A的大小；（2）若点D为边BC上靠近B的四等分点，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由，利用平面向量共线的坐标运算，得出，且，进而得出，即可求出，结合三角形的内角，即可求出的值；（2）设，由点为边靠近点的四等分点，得，由三角形内角和可算出，在中，利用余弦定理求出，从而得出和，最后利用三角形的面积公式即可求出的面积.【小问1详解】由题可知，，，且，所以，即，所以，又，所以，即，所以，若，则，与矛盾，所以，所以， 又为的内角，所以，所以的值为.【小问2详解】设，由点为边靠近点的四等分点，得，由（1）得，且已知，则，在中，根据余弦定理：，得，解得：，所以，所以，所以的面积为.21.已知数列是公差为1的等差数列，且，数列是等比数列，且，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等差等比数列的公式法求得通项；（2）先求解，根据并项求和法得出结果.【小问1详解】由题可知数列是公差为1的等差数列，且，则，解得，所以， 设等比数列的公比为，且，则解得，所以，所以和的通项公式为.【小问2详解】由（1）得为，则，所以数列的前项和.22.已知函数.（1）求函数的图象在处的切线方程；（2）已知，若函数恰有一个零点，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程；（2）二次求导，确定导函数的最值情况，进而确定函数的单调性与零点情况.【小问1详解】，，所以，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即；【小问2详解】由题知，因为函数恰有一个零点，且，故是函数的一个零点，又，不妨设，函数定义域为，则，当时，，又，，所以在恒成立，则函数在上单调递增，即函数在上单调递增，又，当时，可得，，则，则存在，使得，此时在上，有，在上，，故在上为减函数，在上为增函数，此时，又，故函数在上存在一个零点，则此时函数至少存在两个零点，又因为是函数的唯一零点，故不符合题意；当时，可得，又，所以区间上存在一点，使得，故当在上，有，在上，有，故在上为增函数，在上为减函数， 则，又，故此时函数在上至少存在一个零点，又因为是函数的唯一零点，故不符合题意；当时，即时，函数在有唯一零点为，此时在上单调递减，在上单调递增，则当时，函数取得最小值，，符合题意，综上，满足条件的值为.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．