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黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2023-2024学年高三数学上学期期中考试试题(Word版附解析)
黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2023-2024学年高三数学上学期期中考试试题(Word版附解析)
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齐齐哈尔普高联谊校高三期中考试数学考生注意:1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:集合,逻辑,不等式,函数,导数占40%;三角函数及解三角形(含三角恒等变换),平面向量占60%.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A.B.C.D.2.命题“,”的否定是()A.,B.,C.,D.,3.已知角终边经过点,则()A.B.C.D.4.已知平面向量,,若,则()A.B.C.D.5.已知函数,则的图像大致是()A.B.C.D. 6.已知函数在上是增函数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.7.已知函数,若函数在区间上有且只有两个零点,则的取值范围为()A.B.C.D.8.世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆(瑞典语:EricssonGlobe),在世界上最大的瑞典太阳系模型中,由该体育馆代表太阳的位置,其外形像一个大高尔夫球,可容纳16000名观众观看表演和演唱会,或14119名观众观看冰上曲棍球比赛.某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径,在体育馆外围测得,,,(其中,,,四点共面),据此可估计该体育馆的直径大约为()(参考数据:,)A.B.C.D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在中,,,为内角,,的对边,若,则角()A.B.C.D.10.已知,,则下列关系正确的是()A.B.C.D.11.函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的有() A.B.的一个对称中心为C.的一个单调递增区间为D.可将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象12.设函数的定义域为,且满足,,当时,,则()A.是奇函数B.C.的值域是D.方程在区间内恰有1518个实数解三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.中,已知,则___________.14.设,且,,若定义在区间上的函数是奇函数,则的值可以是___________.(写出一个值即可)15.已知向量,满足,,,则___________.16.已知函数,若,则的取值范围是___________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知的内角,,所对的边分别为,,,且.(1)证明:; (2)若,求的值.18.(12分)已知为等边所在平面内的一点,,,且线段上存在点,使得.(1)试确定点的位置,并说明理由;(2)求的值.19.(12分)已知函数.(1)求方程的解集;(2)求函数在上的单调增区间.20.(12分)已知在中,角,,的对边分别为,,,.(1)求;(2)若的角平分线交于点,且,求面积的最小值.21.(12分)已知向量,,函数.(1)求函数的最小正周期;(2)若,存在,对任意,有恒成立,求的最小值.22.(12分)已知函数,.(1)求函数的图象在点处的切线方程;(2)求证:当时,. 齐齐哈尔普高联谊校高三期中考试—数学参考答案、提示及评分细则1.C因为,,所以由交集的定义可知.2.A命题“,”的否定是“,”.3.B由题意角终边经过点,可得,由诱导公式得.4.D平面向量,,则,由,则,解得.5.C由,而恒成立,对于,则,即在定义域上单调递增,所以时,恒成立,综上,在上,排除A、B、D.6.A由于函数在上是增函数,因为函数为减函数,则函数在区间上为减函数,所以,得,当时,有,得,因此实数的取值范围是.7.B因为,,所以,因为,当时,,所以时,有且只有两个零点,只能是0,,所以,解得,所以的取值范围为.8.C连接,,在中,由正弦定理知,即,解得,在中,由余弦定理得:,即,所以. 9.BD由题得,根据余弦定理可知,所以或.10.AC由题知,,,A正确;因为,所以,B错误;因为,,所以,所以,C正确;,D错误.11.ABD由图象可知,,则可得,所以A正确;又,所以,又,所以,即;对于B,当时,,所以函数图象关于成中心对称,即B正确;对于C,由,,可得,,令,可得是函数的一个单调增区间,所以不是函数的一个单调增区间,故C错误;对于D,将函数向右平移个单位长度得到,即D正确.12.ACD函数的定义域为,关于原点对称,因为,所以,又因为,所以,所以是奇函数,A正确;由,得,所以以4为周期,因为 ,所以,故B错误;因为当时,,所以,当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,又,所以.因为为奇函数,所以当时,,因为的图象关于直线对称,所以当时,,因为的周期为4,所以当时,,故C正确;方程的解的个数,即的图象与的图象交点个数.因为的周期为4,且当时,与有3个交点,所以当时,与有个交点,故D正确.13.在中,,则,由,得,即,所以.14.(答案不唯一,即可)因为是奇函数,所以,即,即,解得,因为,所以,则,由,解得:,所以的定义域为的非空子集,即,所以.15.因为向量,满足,,,所以,又,所以,所以. 16.易知函数是定义在上的奇函数,,当时,,所以在上单调递增,又,所以,所以,而,,所以,所以,解得或,所以,所以,,则的取值范围是.17.(1)证明:由,整理得,再由正弦定理可得.(2)解:由余弦定理可得,再由(1)可得,整理得.令,则,即,解得,即的值为.18.解:(1)因为,所以,所以,从而,故点为靠近点的一个三等分点.(2)因为,所以,, .19.解:(1),令,则,,解得,.故方程的解集为.(2)令,,解得,,当时,满足条件;当时,满足条件;综上所述:在上的单调增区间是和.20.解:(1)由正弦定理及,得,由得,所以,所以,由于,则,所以,即.又,所以.(2)因为的角平分线交于点,且,所以,根据三角形面积公式可得,又,得,得,当时等号成立,所以,即的面积最小值为.21.解:(1)由题知, ,故最小正周期.(2)结合(1)得,令,则,所以,即可得,当,即时,;当,即时,.因为存在,,对任意,有恒成立,所以为的最小值,为的最大值,所以,,若求的最小值,即求的最小值,利用正弦函数的图象与性质,不妨在一个周期内取两个相邻的满足题意的自变量,即,所以.22.(1)解:,,所以,,所以函数的图象在点处的切线方程为,即.(2)证明:因为,,令得,得,所以在上单调递减,在上单调递增, ,由,得,则有,即,故,即有.又,,由,则有,得,即,函数在上单调递减,当时,,时,则,,此时,则时,,时,,在上单调递增,在上单调递减,,函数在上单调递减,,故,即.所以当时,.
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