山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题（Word版附解析）

2021级高三第一学期期中测试数学试题一、单选题1.复数满足，则（）A.B.C.D.2.等比数列中，，则（　　）A.B.C.2D.123.已知集合，则的真子集个数为（）A.2B.3C.4D.54.如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为12，上､下底面的半径分别为4和2.为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不计，则此杯套使用的皮革的面积为（）A.B.C.D.5.函数（且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（）A.B.C.D.6.在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（）A.B.C.D.1 7.设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（）A.B.C.D.8.已知数列满足，设前项和为，则的值为（    ）A.B.C.3D.2二、多选题9.下列说法正确的是（）A.若，，则B.若数列为等差数列，则C.若，，且，则最小值为9D.命题“，”的否定为“，”10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于对称C.函数在的值域为D.要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 11.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有12个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要．则下列说法正确的是（）A.游客距离地面的高度与时间的函数为B.摩天轮转动一周，游客距离地面的高度不低于的时间为C.经过，游客距离地面D.甲乙两人分别坐在两个相邻的座舱，在运行一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为12.已知数列的前项和，，数列的前项和为，则下列命题正确的是（）A.B.当为奇数时，CD.数列的最大项为第10项三、填空题13.曲线在点处的切线方程为______．14.已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为______.15.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是______.16.已知是边长为的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是________． 四、解答题17.已知等差数列的前项和为，，且，．（Ⅰ）求通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．18.在中，（其中分别为的对边）．（1）求B的大小；（2）若，，求的周长．19.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点在平面和上射影分别为，，已知m，m，梯形的面积是面积的2.2倍．设．（1）求屋顶面积关于的函数关系式．（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为．现欲造一栋总高度为m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？20.已知向量，，函数.（1）若，求的值；（2）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）若bn=nan+n，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值．22.已知函数，.（1）若，求函数的极值；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（3）当时，函数恰有两个不同零点，，且，求证：. 2021级高三第一学期期中测试数学试题一、单选题1.复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则及其模长公式求解即可.【详解】由已知得，则，故选：B．2.等比数列中，，则（　　）A.B.C.2D.12【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.【详解】.故选：A3.已知集合，则的真子集个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】先将两个集合化简求其交集，然后根据集合元素个数与真子集个数关系求出真子集个数.【详解】因为，， 所以，的真子集个数为.故选：B.4.如图是一个圆台形的水杯，圆台的母线长为12，上､下底面的半径分别为4和2.为了防烫和防滑，该水杯配有一个皮革杯套，包裹住水杯高度以下的外壁和杯底，水杯和杯套的厚度忽略不计，则此杯套使用的皮革的面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出杯套部分圆台的较大底面的半径，根据圆台的侧面积公式以及底面圆的面积，即可求得答案.【详解】由题意可知杯套部分依然是圆台，则此杯套使用的皮革的面积即为对应圆台的侧面积加上较小底面面积；如图，作出水杯的轴截面，作于G，设为杯套部分对应的轴截面，AG交EF与H，则，，则由∽可得，故， 故此杯套使用的皮革的面积为，故选：C5.函数（且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据可知，函数的图象过定点，再根据三角函数的定义以及诱导公式即可求出．【详解】令，所以，所以函数的图象过定点．因为点在角的终边上，所以，即有．故选：C．6.在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.【详解】因为，则，整理得，可得，所以.故选：A. 7.设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得4为的周期，根据题意结合周期性运算求解.【详解】因为，则，可知4为的周期，且，可得.故选：C.8.已知数列满足，设的前项和为，则的值为（    ）A.B.C.3D.2【答案】D【解析】【分析】将已知条件变形得到为等比数列，由此求解出的通项以及的表达式，从而可求解出结果.【详解】因为，则，即， 得，且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以．故选：D.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.若，，则B.若数列为等差数列，则C.若，，且，则的最小值为9D.命题“，”的否定为“，”【答案】BC【解析】【分析】举反例可判断A；根据等差数列通项公式直接推导可判断B（或由等差数列下标和性质可得）；妙用“1”，利用基本不等式即可判断C；根据全称量词命题的否定形式即可判断D.【详解】A选项：取，显然满足，，但，故A错误；B选项：记数列的公差为d，则，，所以，B正确；C选项：因为，，且，所以， 当且仅当，即时，等号成立，C正确；D选项：命题“，”的否定为“，”，D错误.故选：BC10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于对称C.函数在的值域为D.要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位【答案】AD【解析】【分析】先由图象信息求出表达式，从而即可判断A；注意到是的对称中心当且仅当，由此即可判断B；直接由换元法结合函数单调性求值域对比即可判断C；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断.【详解】由图可知，又，所以，所以， 又函数图象最高点为，所以，即，所以，解得，由题意，所以只能，故A选项正确；由A选项分析可知，而是的对称中心当且仅当，但，从而函数的图象不关于对称，故B选项错误；当时，，，而函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以函数在的值域为，故C选项错误；若将函数的图象向左平移个单位，则得到的新的函数解析式为，故D选项正确.故选：AD.11.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有12个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要．则下列说法正确的是（） A.游客距离地面的高度与时间的函数为B.摩天轮转动一周，游客距离地面的高度不低于的时间为C.经过，游客距离地面D.甲乙两人分别坐在两个相邻的座舱，在运行一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出游客距离地面的高度与时间的函数关系式，根据题意可求得参数，可得，结合余弦函数性质可判断A，B，C；表示出两人距离地面的高度差的表达式，结合两角和的余弦公式以及辅助角公式，求得两人距离地面的高度差的最大值，判断D.【详解】以摩天轮轴心O为原点，水平线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：由题意可知O离地面，设游客距离地面的高度与时间的函数为，设时，游客位于点处，此时可取，根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的速度约为，故，A正确；摩天轮转动一周，游客距离地面的高度不低于，即令，由于，则，即游客距离地面高度不低于的时间为，B正确； 当时，（m），C错误；如图，甲，乙两人的位置分别用点表示，则，经过后，甲距离地面的高度为，点B相对A始终落后，此时乙距离地面的高度为，则甲、乙高度差,结合辅助角公式可知h最大值为（m），D正确，故选：ABD12.已知数列的前项和，，数列的前项和为，则下列命题正确的是（）A.B.当为奇数时，C.D.数列的最大项为第10项【答案】ACD【解析】【分析】利用与的关系可求得，即可判断A选项；利用分组求和可求得，即可判断C选项；利用求得为偶数时的，进而由可得为奇数时的，即可判断B选项；设数列的最大项为第项，由求得的取值，即可判断D选项. 【详解】由，当时，，当时，，满足上式，所以，故A正确；由，所以，则，故C正确；当为偶数时，，当为奇数时，，故B错误；设数列的最大项为第项，由，解得，又，则，所以数列的最大项为第10项，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】利用导数的乘法法则求出的导数，即可求得，又，利用直线的点斜式即可得出结论. 【详解】由题意得，所以，又，所以切线方程为．故答案为：.14.已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标为______.【答案】【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据向量垂直数量积为求出参数的值，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为，，所以，又，所以，解得，所以，则，，所以在方向上的投影向量为.故答案为：15.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是______.【答案】【解析】【分析】求出每个面的面积即可求得表面积. 【详解】因为八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形，所以每个面的面积为（），则这个八面体的表面积（）.故答案为：16.已知是边长为的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】以中点坐标原点建立平面直角坐标系，由此可得点轨迹方程，设，利用向量数量积坐标运算和三角恒等变换知识可化简得到，结合正弦函数值域可求得结果.【详解】以中点为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则，，，，点轨迹是以为圆心，为半径的圆，点轨迹方程为：，不妨设，，，，， ，，，即的取值范围为.故答案为：.四、解答题17.已知等差数列的前项和为，，且，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】(Ⅰ)设出公差，借助题设条件建立方程组求解；(Ⅱ)借助题设条件运用裂项相消法求解．【详解】(Ⅰ)设的公差为，．，．联立方程，解得．(Ⅱ)．18.在中，（其中分别为的对边）．（1）求B大小； （2）若，，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理求解即可；（2）由面积公式得，根据，利用（1）式所得式变形求解，进而求周长.【小问1详解】在中，因为，故由可得，，由正弦定理得，代入上式整理得，，即．则，又，故．【小问2详解】，得，由（1）知，，又，得，即，则，所以周长为19.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面和 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点在平面和上射影分别为，，已知m，m，梯形的面积是面积的2.2倍．设．（1）求屋顶面积关于的函数关系式．（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为．现欲造一栋总高度为m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？【答案】（1）；（2）当为时，该别墅总造价最低．【解析】【分析】（1）先求得,进而求得屋顶面积关于的函数关系式.（2）首先求得别墅总造价，利用导数求得当时，总造价最低.【详解】（1）由题意，知平面，因为平面，所以．在中，，，所以．所以的面积为．所以屋顶面积．所以关于的函数关系式为．（2）在，，所以下部主体高度为．所以别墅总造价为．设，，则，令，得，又，所以． 与随的变化情况如下表：0所以当时，在上有最小值．所以当为时，该别墅总造价最低．20.已知向量，，函数.（1）若，求的值；（2）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量共线定理可得，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式的应用可得解；（2）根据向量数量积公式可得，进而可得，再利用正弦定理和面积公式可将三角形面积转化为三角函数求值域问题，确定自变量范围，即可得解.【小问1详解】，，则； ；【小问2详解】，又，所以，，得，即，因为，所以，所以，所以，解得，则故，即面积的取值范围为.21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若bn=nan+n，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值．【答案】（1），n∈N*；（2）11【解析】【分析】（1）易求得=1,由题意，所以 ，两个式子做差变形可得递推关系式．根据等比数列的定义可得结论，利用等比数列通项公式可求得an．（2）bn是一个等比数列与一个等差数列相乘的形式，利用错位相减可求得其前n项和．再通过构造新数列以及其增减性得出满足不等式的最小n值．【详解】（1）证明：当n=1时，a1+1=2a1，∴a1=1．∵Sn+n=2an，n∈N*，∴当n≥2时，Sn-1+n-1=2an-1，两式相减得：an+1=2an-2an-1，即an=2an-1+1，∴an+1=2（an-1+1），∴数列{an+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，∴，则，n∈N*；（2）∵，∴，∴，两式相减得：，∴，由，得，设，∵＞0，∴数列{cn}为递增数列，∵，，∴满足不等式的n的最小值为11．【点睛】本题考查了通项与前n项和之间的关系，考查等比数列定义，错位相减法求前n项和，考查数列不等式的解法以及数列单调性的判断．22.已知函数，.（1）若，求函数的极值；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（3）当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：.【答案】（1）有极大值，无极小值（2）2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出，再利用导数求出的单调增区间； （2）先利用分离参数法得到对恒成立.构造和，求导结合零点存在性定理判断出，，得到.由，求出整数的最小值；（3）用分析法证明：当时，先整理化简得到，只需证.令，构造函数，利用导数证明出.即证.【小问1详解】当时，，所以，则，定义域为.令，解得：所以的单调增区间为，单调减区间为；则当时，有极大值，无极小值；【小问2详解】依题意对恒成立，等价于对恒成立.令，则令,则在上是增函数，， 所以，使即对，，，所以在上单调递增；对，，，所以在上单调递减.所以.所以.又，所以整数的最小值2【小问3详解】当时，，令，故在上单调递增，在上单调递减且，时，；时，；依题意存在使得，已知可得，要证成立，因为，是的零点，所以，两式相减得：，即，要证，只需证，又因为只需证， 即证，令，则，所以，所以在增函数，所以即.即成立.所以原不等式得证.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）利用导数证明不等式.