山东省济宁市兖州区2023-2024学年高三上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年第一学期期中质量检测高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（）AB.C.D.2.命题p：，，则命题p的否定为（）A，B.，C.，D.，3.函数的单调递增区间为（）A.B.C.D.4.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心5.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E（单位：焦耳）的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：，）A.焦耳B.焦耳C.焦耳D.焦耳6.记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（）A.B.0C.1D.e8.已知是正整数，函数在内恰好有4个零点，其导函数为，则的最大值为（）A.2B.C.3D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（）A.B.在复平面上对应点在第二象限C.D.的虚部为10.下列命题中正确的是（）A.若向量，，则可作为平面向量的一组基底B.若四边形为平行四边形，且，则顶点坐标为C.若是等边三角形，则．D.已知向量满足，，且，则在上的投影向量的坐标为11.若，则下列说法不成立的是（）A.若且，则B.若且，则C.若，则D.若，则12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，有两个极值点B.当时，的图象关于中心对称 C.当，且时，可能有三个零点D.当上单调时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知，则___________.（用表示）14.曲线在点处的切线方程为__________．15.如图，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则______.16.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作圆弧交AD于点F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式的解集为集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．18.已知、是非零向量，，且、．（1）求与的夹角；（2）求．19.已知，其中向量, （1）求的最小正周期和最小值；（2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值.20.已知数列的前项和,.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为,若对恒成立，求实数的最大值.21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.（1）求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值.（参考公式：）22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，． 2023-2024学年第一学期期中质量检测高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，C错误；对于D：，D正确.故选：D2.命题p：，，则命题p的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，判断命题p的否定形式.【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p的否定应该为，．故选：C．3.函数的单调递增区间为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间.【详解】由题意，令，即或，根据二次函数性质知：在上递减，在上递增又在定义域上递增，故的单调递增区间为.故选：C4.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.5.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生 2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E（单位：焦耳）的常用对数与震级M之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为焦耳，6级地震所释放的能量为焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：，）A.焦耳B.焦耳C.焦耳D.焦耳【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算性质即可代入数据求解,进而可求解.【详解】由题意可设，则，解得，所以，所以，所以当时，焦耳.故选:D.6.记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，即，则，有，两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即，即，，当时，上两式相减得：，当时，上式成立，于是，又为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C7.已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（）A.B.0C.1D.e【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性可以求出函数的周期，利用周期运用代入法进行求解即可.【详解】为奇函数，即，所以关于中心对称，则，为偶函数，即， 所以，故，即是周期为8的周期函数，所以，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的奇偶性求出函数的周期.8.已知是正整数，函数在内恰好有4个零点，其导函数为，则的最大值为（）A.2B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】根据函数零点的定义，导数的运算公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】因为在内恰好有4个零点，所以，即，所以，又，所以，所以，，所以，其中．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（）A.B.在复平面上对应点在第二象限C.D.的虚部为【答案】ACD【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B 选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数的概念可判断D选项.【详解】因为.对于A选项，，A对；对于B选项，在复平面上对应点的坐标为，位于第四象限，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，的虚部为，D对.故选：ACD.10.下列命题中正确的是（）A.若向量，，则可作为平面向量的一组基底B.若四边形为平行四边形，且，则顶点的坐标为C.若是等边三角形，则．D.已知向量满足，，且，则在上的投影向量的坐标为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由基底的定义分析判断，对于B，由可求出点的坐标，对于C，由向量夹角的定义分析判断，对于D，由数量积的几何意义分析判断.【详解】对于A，因为，，且满足，所以不共线，所以可作为平面向量的一组基底，所以A正确，对于B，设，因为四边形为平行四边形，所以，所以，解得，所以顶点的坐标为，所以B正确，对于C，因为是等边三角形，所以，所以C错误，对于D，因为向量满足，，且，所以在上的投影向量的坐标为，所以D正确，故选：ABD 11.若，则下列说法不成立的是（）A.若且，则B.若且，则C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】A.由判断；B.由判断；C.作差法判断；D作差法判断.【详解】A.若得不到，故错误；B.若时，不成立，故错误；C.因为，所以，故正确；D.，所以，故错误；故选：ABD.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.当时，有两个极值点B.当时，的图象关于中心对称C.当，且时，可能有三个零点D.当在上单调时，【答案】BC【解析】【分析】特殊值法可排除A项，利用函数的对称性可判定B，取特殊值结合导数研究函数的单调性、极值与最值可判定C，利用导函数非负结合判别式可判定D.【详解】对于A，当时，，，若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误；对于B，当时，，，则，所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于C项，当时，，，取，即时，此时，所以当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以函数极小值为，函数极大值为，即，所以在有一个零点，又因，，所以在有一个零点，在有一个零点，即当时，有三个零点，故C正确；对于D项，若在定义域上是单调函数，则恒成立，所以，解得，所以D错误，故选：BC．【点睛】关键点睛：本题C项，利用导数研究函数的零点个数，结合极大小值的正负及取特殊点判断函数值符合是关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则___________.（用表示）【答案】##【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，求出，结合对数的运算法则化简，即可得答案.【详解】因为，所以，故，故答案为：14.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．15.如图，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则______.【答案】【解析】【分析】结合图形，可得，利用正切的和角公式,即可得出答案.【详解】由图得：，所以，又因为为锐角，从而.故答案为：.16.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作圆弧交AD 于点F，若P为劣弧EF上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，设，利用坐标运算求出，再利用辅助角公式即可求解.【详解】解：如图所示：建立平面直角坐标系，则，，由题意可设：，则，，，其中，∴的最小值为.故答案：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式的解集为集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）可得出时，可得出集合，然后进行并集的运算即可；（2）根据，并且即可得出或，从而可得出的取值范围．【小问1详解】时，解得，，且，∴；【小问2详解】由解得，，，且，或，或，∴实数的取值范围为或．18.已知、是非零向量，，且、．（1）求与的夹角；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，根据数量积的运算律求出，再根据计算可得； （2）根据及数量积的运算律计算可得；【小问1详解】解：因为，所以，即，即，所以，因为，所以；【小问2详解】解：19.已知，其中向量,（1）求的最小正周期和最小值；（2）在△中，角A、B、C的对边分别为、、，若，，，求边长的值.【答案】（1）最小正周期为π，最小值为.（2）2或6．【解析】【分析】（1）利用向量的数量积化简的解析式，进而可得的最小正周期和最小值；（2）先由求得，再利用余弦定理列方程，即可求得边长的值.【详解】（1）则的最小正周期，最小值为.（2），则，又，则，故，解之得 又，，由余弦定理得，即，解之得或.经检验，均符合题意.20.已知数列的前项和,.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为,若对恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先求得的值，然后利用与的关系推出数列的通项公式；（2）首先结合（1）求得的表达式，然后用裂项法求得，再根据数列的单调性求得的最大值．【小问1详解】当时，由；当时，，又满足上式，所以的通项公式为.【小问2详解】由，可得，则.因为，所以，所以数列是递增数列，所以，所以实数的最大值是. 21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要.（1）求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值.（参考公式：）【答案】（1），（2），；45m【解析】【分析】（1）设，根据所给条件求出、、、；（2）由题意得：号与号座舱的角度差为，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min时1号与9号的高度分别为，即可得到，再由和差化积公式得到，，最后根据余弦函数的性质计算可得.【小问1详解】设，则， 令时，，，又，所以，.【小问2详解】由题意得：号与号座舱的角度差为.不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min时1号与9号的高度分别为，则，，所以高度，由参考公式得，上式为，从而高度差为，；当，即，，解得，，又，所以min或min，此时高度差的最大值为45m.22.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕