山东省济宁市兖州区2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年第二学期期中质量检测高二数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则的值为（）A.3B.6C.9D.3或6【答案】D【解析】【分析】根据组合数公式的性质计算可得.【详解】因为，所以或，解得或.经检验符合题意故选：D2.若X的概率分布列为：X01Pa0.5则等于（）A.0.8B.0.6C.0.5D.0.25【答案】C【解析】【分析】由分布列的性质求得a，再求数学期望.【详解】由，得，∴．故选：C．3.若函数，则（）A.0B.C.D.1【答案】B【解析】 【分析】根据导数的定义以及导数运算公式求解.【详解】，因为，，所以，故选：B．4.一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则，，则．故选：A．5.某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有3次试验未成功的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据二项分布的概率公式即可求解.【详解】由题意可知，重复进行10次该试验，恰好有3次试验未成功，说明7次成功，3次未成功，所以所求概率为．故选：B．6.随机变量，已知其概率分布密度函数在处取得最大值为 ，则（）附：，.A.0.97725B.0.84135C.0.15865D.0.02275【答案】C【解析】【分析】由正态分布的性质求出，再利用特殊区间的概率及正态分布的性质求解．【详解】由题意，，，所以，，所以．故选：C．7.展开式中的系数是（）A.126B.125C.96D.83【答案】B【解析】【分析】运用二项式定理求解.【详解】由题意原式中的系数；故选：B.8.已知，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用导数和函数的单调性得到和，然后得到，根据题意进而求解即可.【详解】令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则； 令，则，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，要使成立，则有，所以，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确有（）A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种B.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种C.抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种D.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种【答案】ABD【解析】分析】根据题意，由排列组合公式，结合分步计数原理以及分类计数原理和间接法，依次分析选项，即可得答案．【详解】根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，则合格品的取法有种，不合格品的取法有种，则恰好有1件是不合格品的取法有种取法；则正确，若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有种取法，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有种取法， 则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，正确；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品，用间接法分析：在100件产品中任选3件，有种取法，其中全部为合格品的取法有种，则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种取法，正确；若抽出的3件产品中至多有1件是不合格品，用间接法分析：在100件产品中任选3件，有种取法，其中有2件为不合格品的抽法有种，则至多有1件是不合格品的抽法有有种，错误；故选：．10.下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由题意利用组合数公式、排列数公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于A，，故A正确；对于B，，，所以所以，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：ABD11.如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（） A.在区间上是增函数B.在区间上是减函数，在区间上是增函数C.是的极大值点D.是的极小值点【答案】BCD【解析】【分析】根据函数得出导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解.【详解】根据图象知，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确；当时，取得是极大值，是的极大值点，故C正确；当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确.故选：BCD.12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.依据不动点理论，下列说法正确的是（）A.函数有1个不动点B.函数有2个不动点C.若定义在R上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D.若函数在区间上存在不动点，则实数a满足（e为自然对数的底数）【答案】ACD【解析】 【分析】利用“不动点”的定义，研究的零点个数，构造新函数和，结合导数研究函数的单调性即可判断选项，,利用奇函数的性质结合是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，即可判断选项，将函数在区间，上存在不动点，转化为在，上有解，然后构造新函数，利用导数研究函数的性质进行分析，即可判断选项．【详解】解：对于选项,令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以所以在上有且仅有一个零点，即有且仅有一个“不动点”，故选项正确；对于选项,令，则，所以在上单调递增，所以在上最多有一个零点，即最多只有一个“不动点”，故选项错误；对于选项，因为是上的奇函数，则为定义在上的奇函数，所以是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，其个数的和为偶数，所以一定有奇数个“不动点”，故选项正确；对于选项,因为函数在区间，上存在不动点，则在，上有解，则在，上有解，令，则，再令，则，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在，上恒成立，所以在，上单调递增， 所以，，所以实数满足为自然对数的底数），故选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是函数的新定义问题，试题以函数和方程的有关知识为背景设计问题，要求学生能理解函数性质的基础上，利用基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中任取3球，恰有两个白球的概率是__________．【答案】##0.3【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中任取3球，恰有两个白球的概率．故答案为：.14.若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意知在上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于的不等式，进而可求其取值范围.【详解】由题意知，在上恒成立，则，解得.故答案为：．15.1260有__________个不同的正因数.（用数字作答）【答案】36 【解析】【分析】将1260分解，然后根据分步乘法计数原理计算即可.【详解】，第一步，可以取，共3种，第二步，可以取，共3种，第三步，可以取，共2种，第四步，可以取，共2种，所以一共有种取法，对应36个不同的正因数.故答案：3616.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有__________种.（用数字作答）【答案】1560【解析】【分析】分别用3种颜色、4种颜色、5种颜色涂色即可.【详解】如图所示，用3种颜色涂色，则①、③⑤同色、②④同色，所以涂色方案有种，用4种颜色涂色，则①、③、⑤、②④同色或①、③⑤同色、②、④，所以涂色方案有种，用5种颜色涂色，则①、③、⑤、②、④异色，所以涂色方案有种， 所以涂色方案共有种.故答案：1560.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知二项式的展开式中第三项的二项式系数为15.（1）求；（2）求展开式中的常数项.【答案】（1）6（2）15【解析】【分析】（1）根据题意，化简求解即可；（2）利用二项展开式的通项求解.【小问1详解】由题意得，即，化简得，解得或（负值舍去）．所以.【小问2详解】由二项展开式的通项得，因为，令，得，所以常数项为．18.求函数，（1）求在处的切线方程；（2）求在区间内的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）利用导数求函数最值的方法求解；【小问1详解】解：由，可得，，故，所以在处的切线方程为，即所求的切线方程；【小问2详解】因为，令，解得或.当x变化时，及随x的变化而变化如下表所示．x-23+0-0+8↗极大值↘极小值↗18由上表可知当时，取得最小值；当时，取得最大值18.故在区间内的值域为.19.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（算出具体数字）（1）排成前后两排，前排3人，后排4人；（2）全体排成一排，女生必须站在一起；（3）全体排成一排，男生互不相邻；（4）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【答案】（1）5040（2）576（3）1440 （4）3720【解析】【分析】（1）分两步完成，先选3人站前排，余下4人站后排，再利用分步乘法计数原理求解；（2）利用捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，再与3名男生进行全排列求解；（3）利用插空法，先排女生，再在空位中插入男生求解；（4）先7名学生全排列，再减去甲在最左边，乙在最右边，然后加上甲在最左边且乙在最右边的情况求解.【小问1详解】解：分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，所以一共有（种）；【小问2详解】将女生看成一个整体，进行全排列，有种，再与3名男生进行全排列有种，共有=（种）.【小问3详解】先排女生有种方法，再在空位中插入男生有种方法，故有（种）；【小问4详解】7名学生全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有（种）.20.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试,在备选的6道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)得0分.(1)求乙得分的分布列和数学期望;(2)规定:每个人至少得20分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设乙的得分为的可能值有，分别计算概率，列出分布列，求解数学期望；（2）先由（1）中分布列算出乙通过的概率，再计算出甲通过的概率，然后计算出甲乙都没有通过的概率，用1去减即可得出甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.【详解】（1）设乙的得分为的可能值有乙得分的分布列为:X0102030P所以乙得分的数学期望为(2)乙通过测试的概率为甲通过测试的概率为,甲、乙都没通过测试的概率为所以甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与概率的计算，遇到至多至少常采用间接法求解.21.一个圆柱形圆木的底面半径为，长为，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一 个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中为圆心，，在半圆上），设，木梁的体积为（单位：），表面积为（单位：）．（1）求关于的函数表达式；（2）求的值，使体积最大；【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）根据圆的性质和三角函数的定义可得出；（2）对函数求导，得到增、减区间，进而求出极值，最后可以得到最大值时的.试题解析：（1）梯形的面积.体积.（2）.令得或，，当时，为增函数；当时，为减函数；当时，体积最大.考点：1、数学建模能力及三角函数求导法则；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值.【方法点睛】本题主要考查数学建模能力以及利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导； ③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1，利用导数易得，即得证.【详解】（1）的定义域为（0，+），.若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.若a＜0，则当时，时；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设g（x）=lnx-x+1，则.当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+ ）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.