四川省宜宾市叙州区第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

叙州区一中2023年秋期高二期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．第I卷选择题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法计算求出，进而可得的共轭复数．【详解】解：由得，∴．故选：C2.已知点，点，则直线的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.135°【答案】B【解析】【分析】先由，求斜率，再求倾斜角.【详解】设直线的斜率为k,则.令直线的倾斜角为，则，，.故选：B3.甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，则谜题被破解的概率为（）AB.C.D.1【答案】C 【解析】【分析】利用对立事件即可求得概率.【详解】设甲，乙两人破解出谜题分别为事件，则有，则，谜题被破解的对立事件是甲乙都没有破解谜题，则故选：C.4.某公园对“十一”黄金周天假期的游客人数进行了统计，如下表：日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日旅游人数（万）则该公园“十一”黄金周天假期游客人数平均数和第百分位数分别是（）A.万､万B.万､万C.万､万D.万､万【答案】D【解析】【分析】利用平均数的公式求出平均数，再将数据由小到大排列，根据，即可求出第75百分位数．【详解】解：游客人数的平均数为，将数据由小到大排列0.6，1.4，1.5，2.2，2.2，2.3，3.8，，这组数据的第75百分位数是2.3，故选：．5.若直线（）经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（）A.同号B. C.D.【答案】B【解析】【分析】将直线方程转化为斜截式，再利用直线斜率与截距的意义即可得出.【详解】由题意得，直线，即，直线经过第一、二、三象限，所以,，即，，故选：B.6.已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A.或B.或C.D.【答案】B【解析】【分析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解.【详解】由可得：，由可得，所以直线：过定点，作出图象如图所示： ，，若直线与线段相交，则或，所以实数的取值范围是或，故选：B7.已知圆关于直线对称，则的最大值为（）A.2B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】由圆的方程求出圆心坐标，将圆心坐标代入直线方程，由基本不等式即可求出的最大值.【详解】解：由题意在圆中，∴圆心为，半径为1在直线中，圆关于该直线对称∴直线过圆心，∴，即：∵解得：当且仅当时等号成立∴的最大值为.故选：D.8.已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线 与圆交于点（点不在椭圆内部），则A.B.4C.3D.1【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积运算可得，利用，进一步利用椭圆的定义可转化为，进而得解.【详解】连接,设椭圆的基本量为，,故答案为：3.【点睛】本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算.二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则（）A.A与B相互独立B.A与D相互独立C.B与C为互斥事件D.C与D为互斥事件【答案】ABD【解析】【分析】先求出,再利用公式判断选项AB，利用概念判断选项CD得解. 【详解】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：．共36个．依题意，，事件C包括，共5个，，事件D包括，共6个，．对于选项A，事件只有结果，A与B相互独立，所以选项A正确；对于选项B，事件只有结果，A与D相互独立，所以选项B正确；对于选项C，当第一次的点数是3点，第二次是5点时，两个事件同时发生了，所以事件不是互斥事件，所以选项C不正确；对于选项D，事件是不可能事件，即C与D是互斥事件，所以选项D正确．故选：ABD10.下列说法中，正确有（）A.过点且在轴，轴截距相等的直线方程为B.直线在轴的截距是2C.直线的倾斜角为30°D.过点且倾斜角为90°的直线方程为【答案】CD【解析】【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案.【详解】A选项，直线过点且在轴，轴截距相等，所以A选项错误.B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误. C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.故选：CD11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，圆，是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（）A.若，则的面积为B.若为圆上任意一点，则的最小值为0C.椭圆的离心率为D.【答案】ABC【解析】【分析】对于A，由椭圆的定义、勾股定理及三角形面积公式可求解；对于B，利用椭圆的定义，转化为圆心到右焦点的距离问题；对于C，直接用离心率公式求解即可；对于D，由可判断.【详解】对于A，由椭圆知，，.当时，，因为，所以，所以，所以的面积为，故选项A正确；对于B，由知，所以.因为是圆上的动点，所以，故选项B正确；对于C，椭圆的离心率为，故选项C正确；对于D，显然，即，故选项D错误.故选：ABC. 12.如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是（）A.三棱锥的体积为1B.平面EFGC.过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是D.平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为【答案】ABC【解析】【分析】A选项：用顶点转化法转换成G为顶点，直接计算体积即可判断；B选项：建系，用空间向量计算证明垂直即可判断；C选项：补全完整截面为正六边形，直接计算面积即可判断；D选项：用空间向量求平面的法向量再计算二面角的余弦值即可判断.【详解】对于A，，故A正确；对于B，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，则， 则平面，B正确；对于C，作中点N，的中点M，的中点T，连接，则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故C正确；对于D，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，设两个平面夹角为，，故D错误．故选：ABC．第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.两条平行直线和的距离为______.【答案】2【解析】【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】根据平行线间距离公式可得，故答案为：214.已知椭圆的左、右焦点为，，椭圆上一点满足，则______.【答案】【解析】【分析】先计算长轴长2a，再根据椭圆定义，计算即可.【详解】椭圆中，，即，，因为，所以.故答案为：.15.若圆与圆外切，则______.【答案】2【解析】【分析】根据圆的方程得出圆心与半径，根据两圆外切的计算公式进行计算即可.【详解】由题意得，，，，，因为圆与圆外切，所以，解得.故答案为：216.点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为________.【答案】【解析】【分析】易知直线过定点，再由在动直线上的投影为点M，得到，进而得到的轨迹是以为直径的圆求解.【详解】解：因为直线过定点，且， 所以的轨迹是以为直径的圆，且圆心为，半径，所以，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的三个顶点，，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上中线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由直线的两点式方程求解即可；（2）先由中点坐标公式求出中点的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可.【详解】（1）因为，，由直线的两点式方程可得：边所在直线的方程，化简可得；（2）由，，则中点，即，则边上中线所在直线的方程为，化简可得. 【点睛】本题考查了中点坐标公式，重点考查了直线的两点式方程，属基础题.18.已知点，，，H是的垂心．（1）求点C的坐标；（2）求的外接圆的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，求出直线的方程，联立方程组求出两直线的交点C的坐标；（2）先得到边和边的中垂线方程，进行联立得圆心坐标，再利用两点距离公式算出半径，即可得到答案【小问1详解】因为点，，，H是△ABC的垂心，所以，所以，∴直线的方程为即，又∵，∴所在直线与x轴垂直，故直线BC的方程为，联立直线与的方程得点的坐标为；小问2详解】边的中垂线方程为，因为，所以边的中垂线的斜率等于，因为边的中点为，故边的中垂线的方程为：，所以联立两条中垂线得解得，所以圆心坐标为，半径， 则的外接圆的标准方程为.19.“星光大道”是观众喜爱的央视栏目．现有位周冠军和甲、乙两位挑战者参加月冠军比赛，比赛规则是：第一轮甲、乙两位挑战者从位周冠军中各选一位进行比赛，胜者进入第二轮比赛，未被选中的周冠军直接进入第二轮比赛；第二轮比赛从位选手中淘汰一位，胜者进入第三轮比赛；第三轮比赛胜者为月冠军．每位选手被淘汰的可能性相同．（1）求周冠军和挑战者甲、乙进行第一轮比赛，且至少有一位挑战者进入第二轮比赛的概率；（2）求月冠军是挑战者的概率.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)“周冠军进入第一轮”和“至少有位挑战者进入第二轮比赛”是相互独立的事件，由乘法公式计算概率.(2)月冠军是挑战者包括三种情况：恰有一位挑战者进入第二、三轮比赛并获得月冠军，两位挑战者都进入第二轮比赛但只有一位进入第三轮比赛并获得月冠军，两位挑战者都进入第三轮比赛，分别求出概率再求和.【详解】（1）周冠军和挑战者甲、乙进行第一轮比赛的概率为，至少有一位挑战者进入第二轮比赛的概率为,所以周冠军和挑战者甲、乙进行第一轮比赛，且至少有一位挑战者进入第二轮比赛的概率为.（2）恰有一位挑战者进入第二、三轮比赛并获得月冠军的概率是；两位挑战者都进入第二轮比赛但只有一位进入第三轮比赛并获得月冠军的概率是；两位挑战者都进入第三轮比赛的概率是. 故月冠军是挑战者的概率是.20.已知圆C经过两点，圆心在直线上.（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C与y轴相交于A，B两点（A在B上方）.直线与圆C交于M，N两点，直线，相交于点T.请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】（1）（2）是，【解析】【分析】（1）由已知设出圆心，再由圆心到的距离都为半径列出方程解出答案即可；（2）联立直线与圆的方程并化简，然后求出直线和的方程，进而结合根与系数的关系得到答案.【小问1详解】依题意可设圆心，则半径，解，，故，即圆C的标准方程为.【小问2详解】设，由（1）可知，，联立方程组，消去x并化简得，容易判断直线所过定点（0,1）在圆内，即直线与圆一定有两个交点，所以，直线的方程为…①，直线的方程为…②，由①②可得：，由，化简得，故点T在定直线上. 【点睛】解析几何压轴题运算量一般都比较大，这个需要平时加大练习力度.本题涉及定点问题，思路一定要直接一点，需要交点，那就解出交点；另外这种题往往和根与系数的关系联系紧密.21.如图，已知直三棱柱中，，，､､分别是､､的中点，点在直线上运动，且（1）证明：无论取何值，总有平面；（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，位置满足【解析】【分析】（1）以为坐标原点，､､所在的直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，计算，可得证；（2）假设存在，由空间向量法求二面角可得．【小问1详解】证明：如图，以为坐标原点，､､所在的直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，，，，，，由，可得，所以，，又所以，，所以，，.又，平面， 所以平面，所以无论取何值，总有平面.【小问2详解】解：设是平面的法向量，则，即，令，所以是平面的一个法向量，取平面的一个法向量为假设存在符合条件的点，则，化简得，解得或（舍去）.综上，存在点，且当时，满足平面与平面的夹角为.22.已知椭圆的左右焦点分别是和，离心率为，以在椭圆上，且的面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若轴上存在点，使得 ，求点的横坐标的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先判断P在短轴端点时，的面积最大，得到，再结合，，即解得参数a，b，得到方程；（2）先联立方程得到中点坐标，再利用已知条件得到，设点坐标，得到m，k的关系，讨论m的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）依题意，显然当P在短轴端点时，的面积最大为，即，又由离心率为，，解得，故椭圆的方程为；（2）联立方程组，得，因为直线l恒过定点，故直线与椭圆必有两个交点，设，则，设中点为，则，，，设，则，化简得.当时，当且仅当时，即时等号成立，故；当时，当且仅当时，即时等号成立，故；综上，点的横坐标的取值范围为.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建 立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；