四川省合江县马街中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

马街中学高2022级高二（上）期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在直角坐标系中，直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求斜率，再求倾斜角.【详解】直线斜率，所以倾斜角为150°.故选：C2.直线在轴和轴上的截距分别为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别取和计算得到答案.【详解】直线，当时，；当时，，直线在轴和轴上的截距分别为，.故选：B.3.下列试验是古典概型的是（）A.种下一粒大豆观察它是否发芽B.从规格直径为（2500.6）mm的一批产品中任意抽一根，测量其直径C.抛一枚硬币，观察其正面或反面出现的情况D某人射击中靶或不中靶【答案】C【解析】 【分析】根据古典概型的定义判断．【详解】只有Ｃ具有古典概型两特点.【点睛】本题考查古典概型的定义，在这个型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的．4.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是(　　)A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量【答案】C【解析】【分析】由题意结合空间向量的运算法则可得，据此可知，，三向量共面．【详解】如图所示，因，而，，即由于与不共线，所以，，三向量共面．本题选择C选项.【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，向量共面的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（）A.，B.， C.，D.，【答案】C【解析】【分析】利用平均数和方差的公式即可求解.【详解】设这个班有n个同学，分数分别是，，，…，，第i个同学的成绩没录入，第一次计算时，总分是，方差；第二次计算时，，方差，故.故选：C.6.已知，则直线通过（）象限A.第一、二、三B.第一、二、四C.第一、三、四D.第二、三、四【答案】A【解析】【分析】将直线化为斜截式，进而通过斜率和纵截距的范围得到直线所过的象限.【详解】由题意，直线，因为，所以，所以直线过第一、二、三象限.故选：A.7.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意，化简曲线为，再由直线恒过定点，结合图象和圆心到直线的距离，列出方程，即可求解.【详解】由曲线，可得，又由直线，可化为，直线恒过定点，作出曲线与直线的图象，如图所示，结合图象，可得，所以，当直线与曲线相切时，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.8.已知，是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于，两点，若，则斜率的值为（）A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件先求出椭圆的方程和的方程，然后联立直线与椭圆方程，由此求 解出的横坐标，再结合向量共线以及在直线上分别求解出点横坐标，根据横坐标相等可求出的值.【详解】由题可知，椭圆的方程为，直线，的方程分别为，.设，，，其中，联立，故.由，得.由点在直线上，得，所以或.故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是对于题设中点的坐标的表示，其中在直线上也在直线上是求解出的值的重要条件.二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件为“”，事件为“为奇数”，事件为“”，则下列结论正确的是（）A.与互斥B.与对立C.D.与相互独立【答案】AD【解析】【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义直接求解．【详解】解：定义事件：“”，事件“为奇数”，事件“”，对于A，事件：“”包含的基本事件有：，，，，，， 事件“为奇数”，包含的基本事件有：，，，，，，与不能同时发生，是互斥事件，故A正确；对于B，与不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故B错误；对于C，的所有可能结果如下表：123456123456（C），，，故C错误；对于D，（A），（C），，（A）（C），与相互独立，故D正确．故选：AD．10.已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.存在不全为零的实数x，y，z，使得B.对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得C.在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有D.不存在另一个基底，使得【答案】BC【解析】 【分析】若成立则不能构成空间的基底，A错误，根据基底的定义知B正确，排除，，再确定能够得到C正确，举反例得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：若存在不全为零的实数x，y，z，使得，则不能构成空间的基底，错误；对选项B：是空间的一个基底，故对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得，正确；对选项C：，，和不能与，构成空间另一个基底，设，则，则，故能与，构成空间另一个基底，正确；对选项D：表示以为顶点，以为相邻三边的长方体对角线向量，绕此对角线长方体旋转，基底变成了另一基底，满足，错误；故选：BC11.已知椭圆M：（）的左､右焦点分别为，，若椭圆M与坐标轴分别交于A，B，C，D四点，且从，，A，B，C，D这六点中，可以找到三点构成一个等边三角形，则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】对所有可能的等边三角形分类讨论，得的关系，从而求得离心率.【详解】不妨设为长轴端点，为短轴端点，已知关于原点对称，，关于原点对称，关于原点对称，相应的三角形只取其中一个即可； 首先可能是等边三角形，因为，所以，此时不可能是等边三角形，不合题意；若为等边三角形，则，所以选项B有可能;若为等边三角形，则,所以选项A有可能;若为等边三角形，则；综上可知，可以是椭圆M的离心率的有选项A和B.故选：AB.12.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（）A.图形关于轴对称B.曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）C.曲线上存在到原点的距离超过的点D.曲线所围成的“心形”区域的面积大于3【答案】ABD【解析】【分析】将换成方程不变，得到图形关于轴对称，根据对称性，分类讨论，逐一判定，即可求解.【详解】对于A，将换成方程不变，所以图形关于轴对称，故A正确；对于B，当时，代入可得，解得，即曲线经过点，当时，方程变换为，由，解得，所以只能取整数， 当时，，解得或，即曲线经过，根据对称性可得曲线还经过，故曲线一共经过6个整点，故B正确；对于C，当时，由可得，（当时取等号），，，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故C错误；对于D，如图所示，在轴上图形的面积大于矩形的面积：，轴下方的面积大于等腰三角形的面积：，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于，故D正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及曲线与方程的应用，其中解答中合理利用图形的对称性，逐一判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.为估计池塘中鱼的数量，负责人将条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞条鱼，其中带有标记的共5条.利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼________条.【答案】【解析】【分析】设池塘中原来有鱼条，由带标记的鱼和总的鱼比例相同列等式求解即可.【详解】由题意，设池塘中原来有鱼条， 则由比值相同得，解得，故答案为：350【点睛】本题主要考查古典概型的应用，属于简单题.14.已知，，分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．【答案】0【解析】【分析】由数量积公式判断即可.【详解】因为，，，所以中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．故答案为：015.直线与圆相交于、两点，若,则_________．（其中为坐标原点）【答案】【解析】【分析】取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，先求出O点到直线MN的距离，再求出∠MON，再由数量积公式即可求出答案.【详解】解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2=a2+b2，∴O点到直线MN的距离，x2+y2=16的半径r=4，∴在直角三角形△AON中,设∠AON=θ,得，∠MON==，由此可得：.故答案为：. 16.设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案.【详解】设，，则，，即，，即，当且仅当时等号成立，故，即，.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.甲乙两人各有个材质、大小、形状完全相同的小球，甲的小球上面标有五个数字，乙的小 球上面标有五个数字.把各自的小球放入两个不透明的口袋中，两人同时从各自的口袋中随机摸出1个小球.规定：若甲摸出的小球上的数字是乙摸出的小球上的数字的整数倍，则甲获胜，否则乙获胜.(1)写出基本事件空间；(2)你认为“规定”对甲、乙二人公平吗？说出你的理由.【答案】（1）见解析（2）规定是不公平的（理由见解析）.【解析】【分析】（1）由题意易求得基本事件空间.（2）分别求出甲、乙各自获胜概率，若概率相等，则“规定”对甲乙二人公平；若概率不相等，则“规定”对甲乙二人不公平.【详解】（1）用表示发生的事件，其中甲摸出的小球上的数字为，乙摸出的小球上的数字为.则基本事件空间：（2）由（1）可知，基本事件总数个，设甲获胜的事件为，它包括的基本事件有，共含基本事件个数个.所以.因此乙获胜的概率为，即乙获胜的概率大，这个规定是不公平的.18.如图，四棱锥P-ABCD中，为正三角形，ABCD为正方形，平面平面ABCD，E､F分别为AC､BP中点. （1）证明：平面PCD；（2）求直线BP与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析；（2）【解析】【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而得到线面平行；（2）先做出辅助线，证明线面垂直和线线垂直，进而建立空间直角坐标系，用空间向量进行求解线面角.【小问1详解】连接BD，因为E是AC的中点，故对角线AC，BD相交于点E，即E为BD的中点，又因为F是BP的中点，所以EF是三角形PBD的中位线，所以EFDP，因为PD平面PBD，EF平面PBD，所以平面PCD【小问2详解】取AB的中点O，连接OP，取CD中点H，连接OH，因为为正三角形，所以由三线合一知：OP⊥AB，因为平面平面ABCD，交线为AB，所以OP⊥平面ABCD，又四边形ABCD为正方形， 故OH，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，OP，OB，OH所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，设AB=2a，则，设平面ACP的法向量为，则，令得：，则，设直线BP与平面PAC所成角为，则所以直线BP与平面PAC所成角的正弦值为19.在平面直角坐标系中，已知四点．（1）这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；（2）以线段为直径作圆，过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1）在，；（2）或﹒【解析】【分析】(1)设出经过，，三点的圆的方程，将三点代入解方程，求出，，的值，再将点坐标代入即可得出结论；(2)求出以线段为直径的圆的方程，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可．小问1详解】设经过，，三点的圆的方程为，∴，解得，，，∴经过，，三点的圆的方程为，由于，故点也在这个圆上，因此，四点，，，都在圆上．【小问2详解】以线段为直径作圆，圆心，半径为：1，过点作圆的切线，当切线斜率存在时，设切线方程为：，即可得：，解得，当切线的斜率不存在时，也满足题意，∴切线方程：或．20.已知椭圆（）的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆C交于A、B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在实数k，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据题意，结合椭圆的基本量的关系求解即可；（2）联立直线与椭圆的方程，设，，可得韦达定理，从而得到的中点坐标为，再根据垂直直线的斜率之积为-1列式求解即可【小问1详解】依题意有解得，.∴椭圆C的方程为.【小问2详解】假设在线段的中垂线上，联立消去y得.设，，则，.∴.∴的中点坐标为.∴，∴，即，解得. ∴存在时，点在线段的中垂线上.21.已知三棱柱中，.（1）求证:平面平面.（2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点.【解析】【分析】(1)连接，根据给定条件证明平面得即可推理作答.(2)在平面内过C作，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答.【小问1详解】在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则是菱形，连接，如图， 则有，因，，平面，于是得平面，而平面，则，由得，，平面，从而得平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面，则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，因，，则，假设在线段上存在符合要求的点P，设其坐标为，则有，设平面的一个法向量，则有，令得，而平面的一个法向量，依题意，，化简整理得：而，解得， 所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为.22.设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、，求证：为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由离心率为，得，再根据圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为，得到点在椭圆上，解方程组即得椭圆的标准方程．（2）先证明当过点与圆相切的切线斜率不存在时，，再证明当过点与圆相切的切线斜率存在时，，即得证．【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，由题知，，椭圆的方程为，解得，点在椭圆上，，解得，，椭圆的方程为．证明：（2）当过点与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为，由（1）知，，， ，，，，当过点与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，，，，，即，联立直线和椭圆的方程得，，得△，且，，，，，，，，综上所述，圆上任意一点、、处的切线交椭圆于点，都有．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．