山东省普高大联考2023-2024学年高二上学期11月联合质量测评数学试题（Word版附解析）

山东普高大联考11月联合质量测评试题高二数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置.2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点，，则、的中点的坐标为（）A.B.C.D.2.已知直线，，若，则的值为（）A.B.6C.4D.3.过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短为（）A.5B.2C.D.44.已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，则向量可表示为（）A.B. C.D.5.已知实数满足方程，则最大值是（）A.B.C.0D.6.战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A.或B.C.D.7.已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（）A.B.C.或D.或8.苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（）米.（注意：取）A.B.C.D.以上都不对二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9空间直角坐标系中，已知，，，，则（） A.B.是直角三角形C.与平行的单位向量的坐标为D.可以作为空间的一组基底10.在如图所示的三棱锥中，，面，，下列结论正确的为（）A.直线与平面所成的角为B.二面角的正切值为C.到面的距离为D.异面直线11.已知直线和圆，则（）A.直线恒过定点B.存在使得直线与直线垂直C.直线与圆相交D.若，则圆上到直线的距离为的点有四个12.已知抛物线，焦点，过点作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于及两点.则下列说法正确的是（）A.拋物线的准线方程为 B.若，则直线的斜率为1C.若，则直线的方程为D.三、填空题：本题共4小题，每小题分，共20分.13.过、两点直线的倾斜角为，那么实数__________.14.，，，若共面，则实数__________.15.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD.已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则该双曲线C的离心率为_______.16.如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为__________，点的轨迹的长度为__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点，，，向量.（1）若，求实数的值；（2）求向量在向量方向上的投影向量.18.已知的顶点，，.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求的外接圆的方程.19.如图，在长方体中，为上一点，已知，，，．（1）求直线和平面的夹角；（2）求点到平面的距离．20.已知定点，点为圆上的动点.（1）求的中点的轨迹方程；（2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程.21.如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且. （1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.22.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设轨迹与轴从左到右交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、.（i）求证：为定值；（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标. 山东普高大联考11月联合质量测评试题高二数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置.2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠、不破损.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点，，则、的中点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据中点坐标公式求解.【详解】因为，所以中点故选：B.2.已知直线，，若，则的值为（）A.B.6C.4D.【答案】C【解析】【分析】由两直线平行的条件求解．【详解】因为，所以，故选：C. 3.过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短为（）A.5B.2C.D.4【答案】D【解析】【分析】求过圆内一点的最短弦长，可连接该点与圆心，再过该点作这条直线的垂线即得.【详解】如图，点在圆内，连接，过点作直线，分别交圆于两点，则弦长最小，理由如下：过点作任意直线，分别交圆于两点，过点作于点，则在中，易得，因为，而，故，故弦是过点最短弦，因为，则最短弦长为.故选：D.4.已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，则向量可表示为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由空间向量的线性运算求解．【详解】，．故选：D.5.已知实数满足方程，则的最大值是（）A.B.C.0D.【答案】B【解析】【分析】表示圆上的点与点的连线的斜率，数形结合可得解.【详解】的方程可化为，它表示圆心，半径为1的圆，表示圆上的点与点的连线的斜率，设过圆上点与点的直线方程为， 则圆心到直线的距离，可得，即最大值为，故选：B.6.战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”.这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧.在平面直角坐标系中，一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A.或B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出与点关于轴的对称点，分析可知，反射光线经过点，且与圆相切，分析可知，反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在直线的方程为：，根据直线与圆的位置关系可得出关于的等式，即可解得的值.【详解】根据题意，设与点关于轴的对称，则的坐标为，则反射光线经过点，且与圆相切，若反射光线所在直线的斜率不存在，则反射光线所在直线的方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意，所以，反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在直线斜率为，则反射光线所在直线的方程为：，即， 圆的圆心为，半径，则由圆心到反射光线的距离等于半径可得，即，解得：或，故选：A.7.已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（）A.B.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解.【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则，直线的斜率. 由，得，得，所以，即，，，，，所以，所以椭圆的标准方程为.故选：B.8.苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（）米.（注意：取）A.B.C.D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴、过点且平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，设所求圆的半径为，由勾股定理可列等式求得的值，进而可求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点的纵坐标，可计算出的长，即可得出结论.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴、过点且平行于的直线为轴建立平面直角坐标 系，由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为，，由勾股定理可得，即，解得，所以，圆心坐标为，则圆的方程为，将代入圆的方程得，，解得，（米）.故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的应用，求得圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.空间直角坐标系中，已知，，，，则（）A.B.是直角三角形C.与平行的单位向量的坐标为D.可以作为空间的一组基底【答案】ABD【解析】【分析】求出，结合空间向量模长公式计算A；计算，即可证明，从而判断B；利用计算即可判断C；由，，是否共面即可判断D.【详解】因为， 所以，所以，选项A正确；又因为，所以，所以，所以是直角三角形，选项B正确；因为，所以与平行的单位向量的坐标为：，选项C错误；假设，，共面，则存在唯一的有序数对使，即，所以，此方程组无解，故，，不共面，故可作为空间一组基底，选项D正确.故选：ABD.10.在如图所示的三棱锥中，，面，，下列结论正确的为（）A.直线与平面所成的角为B.二面角的正切值为C.到面的距离为D.异面直线【答案】AC【解析】 【分析】根据线面角的定义判断A，取取中点为，连接，即可得到为二面角的平面角，从而判断B，利用等体积法判断C，利用线面垂直的性质推出矛盾，即可判断D.【详解】因为面，故为直线与平面所成的角，又，所以，故直线与平面所成的角是，故A正确；取中点为，连接，因为面，面，所以、、，，所以，，，故为二面角的平面角，则，故二面角的正切值为，故B错误；因为，所以，设到面的距离为，则，解得，故C正确；若，又面，面，所以，又，面，所以面，面，所以，与矛盾，故D错误；故选：AC.11.已知直线和圆，则（） A.直线恒过定点B.存在使得直线与直线垂直C.直线与圆相交D.若，则圆上到直线的距离为的点有四个【答案】BC【解析】【分析】将直线方程整理成，即可求出定点，可判断A；利用直线垂直的判断方法计算，即可判断B；根据定点在圆内判断C；借助圆心到直线的距离和半径的关系判断D.【详解】由直线，整理成，则直线恒过定点，故A错误；若直线与直线垂直，则，解得，故B正确；因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆相交，故C正确；当时，直线化为，圆心到直线的距离，圆半径，因为且，所以圆到直线距离为的点有三个，故D错误.故选：BC12.已知抛物线，焦点，过点作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于及两点.则下列说法正确的是（）A.拋物线的准线方程为B.若，则直线的斜率为1C.若，则直线的方程为D.【答案】ACD【解析】 【分析】对于A，根据抛物线方程即可判断，对于B，根据求出A点坐标，即可判断；对于C，由可得坐标之间的关系，结合抛物线方程求得坐标，即可判断；对于D，设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系，求出相关弦长的表达式，推出，继而证明∽，即可判断.【详解】对A：由抛物线可得准线方程为，正确；对B：设A点的坐标为，，则，所以，又，从而直线的斜率为或，故B错误；对C：设，.又，即，又或，当时；当时，，此时直线的斜率不存在，直线的斜率为0，不合题意，舍去，直线的方程为：，故C正确.对于D；由题意知的斜率存在，设直线，则直线，设，由，即，则， 由于在抛物线内部，必有，所以，又，，同理可证：，，又∽，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题分，共20分.13.过、两点的直线的倾斜角为，那么实数__________.【答案】【解析】【分析】由倾斜角得斜率，由斜率公式可得参数值．【详解】过两点的直线的倾斜角为，则，又.故答案为：1.14.，，，若共面，则实数__________.【答案】【解析】【分析】利用空间向量共面定理列式求解即可.【详解】由于共面，则存在，使得，又，，，故，故，解得. 故答案为：.15.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的顶点和轴都重合)，已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD.已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，且C的两条渐近线分别平行于AC，BD，则该双曲线C的离心率为_______.【答案】【解析】【分析】以矩形中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，由题，得，从而可得到本题答案.【详解】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，圆锥的底面直径均为4，则半径，侧面积均为 可得，则，即，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据圆锥曲线的定义将问题抽象为平面解析几何问题，关键利用渐近线求出，考查了计算求解能力以及转化能力.16.如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为__________，点的轨迹的长度为__________．【答案】①.②.##【解析】【分析】通过证明面得，故与的夹角为；设是的中点，可证的轨迹与的轨迹相同，求得的轨迹之后再求的轨迹.【详解】由为边的中点知：且，易知，而，面，故面， 又面，所以，故与的夹角为．设是的中点，又为的中点，则且，而且，所以且，即为平行四边形，故且，故轨迹与的轨迹相同.因为面且，所以的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，设的中点为，则，，又面，面，所以面，故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，所以的轨迹长度为.故答案为：；【点睛】关键点点睛：①将轨迹转化为的轨迹；②若的轨迹为圆，则的中点的轨迹也是圆.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点，，，向量.（1）若，求实数的值；（2）求向量在向量方向上的投影向量.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表达式解方程即可；（2）利用投影向量公式计算即可.【小问1详解】由题意，，，因为，所以，即，得.【小问2详解】由题意，，，所以向量在向量上上的投影向量为：.18.已知的顶点，，.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求的外接圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出高所在直线的斜率，点斜式求解即可；（2）判断三角形为直角三角形，可得圆心半径求解.【小问1详解】，直线的斜率，边上的高所在直线的斜率为2， 边上的高所在直线过点，边上的高所在直线的方程为，即.【小问2详解】，即为以角为直角的直角三角形，故的外接圆以中点为圆心，为半径，的外接圆的方程为.19.如图，在长方体中，为上一点，已知，，，．（1）求直线和平面的夹角；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得与平面所成夹角为，判断为等腰直角三角形，即可求出，（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点到平面的距离，求出法向量即可求出． 【小问1详解】解：依题意，平面，连接，则与平面所成夹角为，，∴为等腰直角三角形，则，∴直线和平面的夹角为，【小问2详解】解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，、、的方向为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，，设平面的法向量，由，取，可得， ∴点到平面的距离.20.已知定点，点为圆上的动点.（1）求的中点的轨迹方程；（2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设，由中点坐标公式得出点的坐标，代入，即可得到点的轨迹方程；（2）当直线的斜率不存在时，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用弦心距，半径，半弦长的关系，即可求解.【小问1详解】设点的坐标为，则点的坐标为，点为圆上的动点，，即，的中点的轨迹方程为.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，可得，此时，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，圆的半径且，圆心到直线的距离， ，解得，直线的方程为，即；综上，直线的方程为或.21.如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，先证明平面，然后根据面面垂直的判定得出结论；（2）建立空间直角坐标系，先根据线面角算出，然后在利用法向量求二面角的大小【小问1详解】 如图，连接，因为该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，，所以，所以，所以.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以.因为平面，平面，所以.因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.【小问2详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则即令，则，记直线与平面所成的角为，则，解得（负值舍去），即. 设平面的一个法向量为，，，则即令，则.所以.因此平面与平面所成角的余弦值为.22.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一定点，记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点（即折叠后图中的点与点重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与的交点为；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.现取半径为4的圆形纸片，设点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点.直线、的斜率分别为、.（i）求证：为定值；（ii）证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析，该定点的坐标为【解析】【分析】（1）由折纸的对称性，可知，从而确定点的轨迹；（2）（i）设点，，，根据斜率公式分别求出、，结合椭圆方程证明；（ii）设直线的方程为，直曲联立，结合韦达定理和（i）的结论求出，根据直线方程即可求出定点.【小问1详解】由题意可知，，故点的轨迹是以，为焦点，且长轴长的椭圆，焦距，所以，因此轨迹方程为.【小问2详解】证明：（i）设，，，由题可知，如下图所示：则，，而，于是，所以，又，则， 因此为定值.（ii）设直线的方程为，，，由，得，所以.由（i）可知，，即，化简得，解得或（舍去），所以直线的方程为，因此直线经过定点.【点睛】本题第二问（ii）解题关键是设出直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理结合（i）的结论列方程可得.