四川省叙永第一中学校2024届高三上学期数学（理）“一诊”模拟测试（二）试题（Word版附解析）

叙永一中高2021级“一诊”模拟测试（二）数学（理）试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.ÆC.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A，B，然后由交集运算可得.【详解】由指数函数性质可知，，由得，所以，所以.故选：D2.下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A，由题意可知的定义域为,，所以是偶 函数且在上不是单调递减，不符合题意；故A错误；对于B，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递减，符合题意；故B正确；对于C，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数且在上单调递增；不符合题意；故C错误；对于D，的定义域为，不是偶函数，不符合题意；故D错误；故选：B.3.命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据恒成立问题分析可得命题“”是真命题等价于“”，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若命题“”是真命题，则，可知当时，取到最大值，解得，所以命题“”是真命题等价于“”.因为Ü，故“”是“”的必要不充分条件，故A正确；因为，故“”是“”的充要条件，故B错误；因为Ü，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；因为与不存在包含关系，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故D错误；故选：A.4.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算； 1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，，则的值约为（）A.1.322B.1.410C.1.507D.1.669【答案】A【解析】【分析】由可得,进而将条件代入求解即可.【详解】,,故选:A【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.5.如图所示，一船向正北方向航行，当航行到点时，看见正西方向有两个相距10海里的灯塔和恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达点后，看见灯塔在船的南偏西方向上，灯塔在船的南偏西方向上，则这艘船的速度是（）A.5海里/时B.海里/时C.10海里/时D.海里/时【答案】A【解析】【分析】依题意有，在中，求得，从而求得速度．【详解】依题意有，，，从而，在中，求得，这艘船的速度是（海里/时）．故选：A6.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理将中的边化为角，变形整理可得，进而可得，同样的将中的边化角，结合的正弦余弦值，可得，最后通过可求出结果.【详解】解：，由正弦定理得：，，，，则，又，，，则，，，又，得，，故选：A【点睛】本题考查正弦定理的应用，通过边化角求出角，考查了学生的计算能力，是中档题. 7已知，且满足，则（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由二倍角余弦公式和两角差的正弦公式化简得到，再利用基本关系式求解.【详解】解：因为，且，所以，化简得，两边平方化简得，所以，即，则，两式联立求得，所以，故选：A8.已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值可以是（）A.B.1C.2D.3 【答案】D【解析】【分析】分析函数图像即可求解.【详解】由题意知函数的图象与直线有两个交点，作出图象如图所示，当时，，故在点处的切线斜率为，直线恒过定点，时的图象与直线有1个交点，不合题意，排除AB；时直线过点，结合图象知也只有1个交点，不合题意，排除C；抛物线部分和直线相切时，联立得，由得直线过点时，结合图象知满足题意；故选：D.9.某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为，因为，所以，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以，所以该实心模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为故选：C10.已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据构造函数，利用导数判断其单调性，将不等式化为，利用的单调性求解可得结果.【详解】设，由题设条件，得，故函数在上单调递减.由为奇函数，得，得，所以，不等式等价于，即，又函数在上单调递减，所以，故不等式的解集是．故选：D．11.已知函数，，若在区间内没有零点，则的 取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用辅助角公式得到，得到，进而得到不等式组，求出的取值范围.【详解】，，时，，要想在区间内无零点，则要满足，解得，要想不等式组有解，则要，解得，故或0，当时，，解得， 当时，，解得，则的取值范围是.故选：D12.已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的个数是（）①②平面③动点的轨迹长为④与所成角的余弦值为A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合向量法判断各结论是否正确，进而确定正确结论的个数.【详解】以B为原点，以的正方向分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.对于①，,所以，.因为，所以与不垂直，即与不垂直，故①错误.对于②，.设，则设平面的法向量，则，令，则，所以平面的一个法向量.因为，所以.又平面，所以平面，故②正确； 对于③，因为平面，所以，所以，即点P坐标满足.又为侧面上，则P在线段上，且，，故③正确；对于④，，，所以与所成角余弦值为，故④错误.故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.13.求曲线与直线，和轴围成的区域的面积为________．【答案】【解析】【分析】根据定积分的运算规则计算即可.【详解】.故答案为：.14.函数单调递增的区间是__________.【答案】 【解析】【分析】把已知函数解析式变形，再由正弦型函数的单调性求解即可．【详解】解：函数，则函数在上的单增区间满足：，，解得，．函数单调递增的区间是．故答案为：．15.在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为________．【答案】##【解析】【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点处，要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点．【详解】如图，正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径要使所求截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点,连接，则所以此时截面圆的半径，截面面积的最小值.故答案为：. 16.已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性，结合已知条件可得出，可得，构造函数，利用导数求出函数在上的最小值可得解.【详解】函数的定义域为，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，所以时，；时，；时，，同时注意到，所以若存在，，使得成立，则且，所以，所以，所以构造函数，而，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即．故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点利用导数分析函数得，再构造函数，考查了学生分析问题、解决问题的能力..三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象.当时，求的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据最值求出，再根据周期求出，最后根据对称中心求出，可得解析式；（2）先根据平移伸缩求出，再根据求出值域即可.【小问1详解】根据图像可得， ，则，因为，所以将代入的解析式，得，则，得因为，所以，所以.【小问2详解】由（1）知，将的图像向左平移个单位长度得的图象，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得的图像，因为，所以，则所以,故在上的值域为18.已知函数，.（1）当时，求在处的切线方程；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，求得，结合导数的几何意义，即可求解；（2）求得，得出函数的单调区间和最小值为，结合题意，，即可求解.【小问1详解】解：当时，，可得，则且，所以在处的切线方程为，即.【小问2详解】解：因为，可得，令，可得或，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为当时，恒成立，所以，解得，又因为，所以，所以实数的取值范围为.19.从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题． 在锐角中，角所对的边分别为，且________．（1）证明：；（2）求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）选择①：由余弦定理化简可得，再由两角和的余弦公式即可得，根据角的范围可得出证明；选择②：由余弦定理和正弦定理以及两角和的正弦公式即可得，结合角的范围可得出证明；选择③：由两角差的正弦公式以及同角三角函数之间的基本关系可得，结合角的范围可得，即得出证明；（2）根据（1）中的结论，可知，利用锐角三角形可得，再由对勾函数性质可求得的取值范围．【小问1详解】选择①：由及余弦定理可得；即，又，所以，即，可得．又易知，可得， 所以或，即或（舍），故．选择②：由及，得，则由正弦定理得，又，，即，所以．又，可得，所以，故．选择③：由可得，即，所以．又，可得，所以，故．【小问2详解】令，由（1）可知，可得． 由锐角可得，即，解得，所以．令，根据对勾函数的性质知在上单调递增，可得，即的取值范围是．20.如图，正三棱柱的体积为，，P是面内不同于顶点的一点，且．（1）求证：；（2）经过BC且与AP垂直的平面交AP于点E，当三棱锥E-ABC的体积最大时，求二面角平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）．【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）由分析知，三棱锥E-ABC的体积最大，等价于点E到面ABC的距离最大，由分析知，∠PFD为二面角的平面角，以F为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和，代入即可得出答案.【小问1详解】设线段BC的中点为F，则，∵，，AP公共边，∴，∴，∴，又，面APF，∴BC⊥面APF，面APF∴；【小问2详解】设线段的中点为D，由题意，点P在线段上，由，得，∴三棱锥E-ABC的体积最大，等价于点E到面ABC的距离最大，∵AP⊥面BCE，面BCE，∴，∴点E在以AF为直径的圆上，如图，易知，从而，由（1）知PF⊥BC，DF⊥BC，平面，DF平面，平面平面，∴∠PFD为二面角的平面角， 如图，以F为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，于是，，从而，∴二面角平面角的余弦值为．21.已知函数．（1）是否存在实数使得在上有唯一最小值，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由；（2）已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是，．求证：；【答案】（1）存在，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导讨论单调性即可；（2）先分离常数，转化成图像交点的个数问题，令再求函数的图象在点，处的切线方程，再构造函数求出两个根取值范围.【小问1详解】，，则，，当时，恒成立，函数单调增，没有最值； 当时，令，解得，负值舍去，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取到最小值，，解得，所以存在满足条件的；【小问2详解】证明：由，得，令，则，令，解得，当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在单调递增，故在上有唯一最小值，最小值点为，若方程有两个不同的零点，，且，因为，所以，函数的图象在点，处的切线方程分别为和，如图： 且在内，在上，先证：即，即，，，令，解得，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以；再证：，即，令，则恒成立，所以在，上单调递减，所以（1），令，，即可得，，即； 【点睛】第一问是在给定区间有最值求参数问题，属于含参数的单调性讨论问题，然后求出符合条件的参数值；第二问是零点比大小问题，先确定零点的范围，再构造函数用单调性分析零点的大小.22.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(为直线的倾斜角)．（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;（2）设，直线与曲线相交于两点，求的最大值．【答案】（1）；；（2）2【解析】【分析】（1）利用与正弦的和差公式可求得直线的直角坐标方程；利用消参法可求得曲线的普通方程；（2）法一：先由条件得到直线的参数方程，再联立直线与曲线的方程，利用参数的几何意义得到，从而得解；法二：利用圆的切割线定理得到，从而得到，由此得解.【小问1详解】由，得，由，得直线的直角坐标方程为，由(为参数)，两式相除得，所以，整理得曲线的普通方程为.【小问2详解】 法一：因为直线经过点，所以直线的参数方程为(为参数)，代入中，得，由，得，又，故，所以，所以，因为，所以，故，则，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为2.法二：直线经过点，曲线为除点外，以为圆心半径为的圆，易得圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，且为切点，所以由圆的切割线定理得，所以，当且仅当为圆的直径时，等号成立，故的最大值为2．23.不等式对于恒成立．（1）求证：；（2）求证：【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得出，再利用基本不等式可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出，，，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.【小问1详解】证明：因为对于恒成立，又因为，所以，由基本不等式可得，，，所以，，所以，所以.【小问2详解】证明：因为，所以，所以，同理可得：，，所以，