四川省叙永第一中学2024届高三上学期一诊数学（理）试题（Word版附答案）

叙永一中高2021级“一诊”数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，，则中元素的个数为　　A．3B．4C．5D．62．给定下列两种说法：①已知，，，命题“若，则”的否命题是“若，则”；②“，使”的否定是“，使”，则　　A．①正确②错误B．①错误②正确C．①和②都错误D．①和②都正确3．函数的最小正周期是　　A．B．C．D．4．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是　　A．B．C．D．5．塑料袋给我们生活带来了方便，同时也给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合印度《关于礼实推进型科技染物理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的．该品牌塑料袋大约需要经过　　年，其残留量为初始量的．（参考数据：，A．20B．16C．12D．76．函数，是的导函数，则的图象大致是　　 A．B．C．D．7．已知函数，设，则，，的大小关系为　　A．B．C．D．8．函数，．若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间，上有且只有一个极大值点，则的最大值为　　A．B．C．D．129．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，有如下记载：将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．现有如图所示的直径长为2的胶泥球胚，某数学兴趣小组的同学需在此胶泥球胚中切割出底面为正方形，且垂直于底面的侧棱与底面正方形边长相等的阳马模型的几何体（实物体），若要使该阳马体积最大，则应削去的胶泥的体积大约为　　A．2.8B．3.2C．3.5D．4.810．函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论不正确的是　　A．（1）B．C．是以4为周期的函数D．的图象关于对称11．在锐角中，若，且，则能取到的值有　　A．2B．C．D．4 12．已知函数，设方程的3个实根分别为，，，且，则的值可能为　　A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.13．计算：　　．14．已知函数的定义域是，，则函数的定义域是　　．15．若为偶函数，则实数　　．16．如图1，在矩形中，，为的中点，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，为的中点，如图2．某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论：①恒有；②异面直线与所成角的正切值为2；③存在某个位置，使得平面平面．④三棱锥的体积的最大值为；其中所有正确结论的序号是　　．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．在中，内角，，所对的边分别为，，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长． 18．设函数．（1）设，若函数有三个不同零点，求的取值范围；（2）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件．19．已知函数，再从条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为，这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，求：（1）函数的解析式；（2）已知，若在区间，上的最小值为，求的最大值．20．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上．（1）证明：；（2）当平面与平面所成的锐二面角为时，求平面与侧面的交线长．21．已知函数，，为自然对数的底数）（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间，上恒成立，求实数的取值范围．22．平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点，记和交于、两点，求的值．23．已知函数．（1）求不等式的解集；叙永一中高2021级“一诊”一、选择题题号123456789101112答案BDBCBAAACBDD二、填空题13.514.　，　15.　1　16.①②④三．解答题17.解：（1）因为，由正弦定理得，整理得，所以，且，故；（2），，由得，又由余弦定理得，，解得，的周长为． 18.解：（1）设，即有，由，可得，由的导数，当或时，，递增；当时，，递减．即有在处取得极大值，且为0；在处取得极小值，且为．由函数有三个不同零点，可得，解得，则的取值范围是；（2）证明：若有三个不同零点，令，可得的图象与轴有三个不同的交点．即有有3个单调区间，即为导数的图象与轴有两个交点，可得△，即，即为；若，即有导数的图象与轴有两个交点，当，时，满足，即有，图象与轴交于，，则的零点为2个．故是有三个不同零点的必要而不充分条件．另解：必要性：若连续函数有三个零点，那么的单调性变化至少两次，其导数有两个零点，从而△，即；非充分性：取，，，，导数为，于是其极大值，极小值（1）， 所以只有一个零点．19.解：（1）由题意，函数，若选①：的最大值为1，则，则，若选②：的一条对称轴是直线，则由，不符合正弦函数对称轴的要求，不合题意；若选③：的相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期，可得；所以只能选择条件①③作为已知，此时；（2）由题意，，当，，则，若在区间，上的最小值为，则，所以，所以的最大值为．20.（1）证明：由题意，，两两垂直．所以以分别作为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，0，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1， ．是的中点，是的中点，，设，，0，，则，则，所以．（2）设，则，设平面的一个法向量为，则，即令，则，又平面的一个法向量为，平面与平面所成的锐二面角为时，，即，解得，此时，如图位置，设为的中点，连接，交于点，由且，所以△，则为中点．连接，由，分别为，中点，可知， 又，分别为，中点，则，所以，所以点，，，共面，又，所以，，，，共面，即面与面重合．所以平面与侧面的交线为，所以交线长度为．21.解：（1）由题意，，，则，由在上均单调递减，所以在上单调递减，又（1），所以当时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）不等式，即在区间，上恒成立，令，，则，，（1），所以（1），若（1），即时，此时存在使得当时，，函数在上单调递增，（1），不合题意；若时，，，令，，则，所以单调递减，（1），所以，当且仅当时等号成立， 所以在，上单调递减，所以（1），符合题意；综上，实数的取值范围为．22.解：（1）曲线的参数方程为为参数），整理得；曲线的极坐标方程为，根据，整理得；（2）直线，转换为参数方程为为参数），代入得到，设，对应的参数为，，所以，；故．23.解：（1）由已知可得，，则，即，解得，故解集为．（2）因为，且，为正实数，，当且仅当，即时等号成立．因为对任意正实数，恒成立， 所以，即，即．当时，不等式化为恒成立；当时，不等式化为，解得，又，所以不等式解集为；当时，不等式化为，显然不等式无解．综上，不等式解集为．