四川省叙永第一中学2024届高三上学期一诊模拟（二）数学（理）（Word版附答案）

叙永一中高2021级“一诊”模拟测试（二）数学（理）试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，，则　　A．B．C．D．2．下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是　　A．B．C．D．3．命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是　　A．B．C．D．4．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，成为历史上的珍闻．若，，则的值约为　　A．1.322B．1.410C．1.507D．1.6695．如图所示，一船向正北方向航行，当航行到点时，看见正西方向有两个相距10海里的灯塔和恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到达点后，看见灯塔在船的南偏西方向上，灯塔在船的南偏西方向上，则这艘船的速度是　　A．5海里时B．海里时C．10海里时D．海里时 6．中，，，对边为，，，，，则　　A．B．C．D．7．已知，且满足，则　　A．B．C．D．8．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值可以是　　A．B．1C．2D．39．某校科技社利用打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．其原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为　　A．B．C．D．10．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为　　A．B．C．D．11．已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是　　A．B．C．D．12．已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的个数是　　 ①②平面③动点的轨迹长为④与所成角的余弦值为A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.13．求曲线与直线，和轴围成的区域的面积为　　．14.函数单调递增的区间是　　．15．在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为　　．16．已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为　　．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象．当时，求的值域．18．已知函数，．（1）当时，求在，（1）处的切线方程；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．19.从①；②；③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且_____．（1）证明：；（2）求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．如图，正三棱柱的体积为，，是面内不同于顶点的一点，且．（1）求证：；（2）经过且与垂直的平面交于点，当三棱锥的体积最大时，求二面角平面角的余弦值．21．已知函数．（1）是否存在实数使得在上有唯一最小值，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由；（2）已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是，．求证：；22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为为直线的倾斜角）．（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）设，直线与曲线相交于，两点，求的最大值．23．不等式对于恒成立． （1）求证：；（2）求证：叙永一中高2021级“一诊”模拟测试（二）数学（理）试题答案一、选择题：题号123456789101112答案DBBAABADCDDC二、填空题：13.14.15.16.三、解答题：17.解：（1）根据函数的部分图象可得，，则，因为，所以．将代入的解析式，得，则，得．因为，所以，所以．（2）由（1）知，将的图象向左平移个单位长度得的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得的图象．因为，所以， 则，所以，故在上的值域为，．18．解：（1）当时，，，则（1），（1），所以在，（1）处的切线方程为，即；（2），又，令，解得，令，解得，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，即实数的取值范围为，．19.解：（1）选择①：因为，所以由余弦定理可得：，即，所以，即，所以，又因为，所以，所以或，即或（舍，即；选择②：由及余弦定理：，得，则由正弦定理得， 所以，即，所以，又因为，可得，所以，即；选择③：由，可得，即，所以，又因为，可得，所以，即；（2）令，由（1）可知，可得，因为为锐角三角形，所以，即，解得，所以，令，根据对勾函数的性质知在上单调递增，可得，即的取值范围是． 20．解：（1）设线段的中点为，，，，，为公共边，，，，又，，面，面，面，；（2）设线段的中点为，由题意，点在线段上，由，，解得，三棱锥的体积最大，等价于点到面的距离最大，面，，点在以为直径的圆上，如图，可得，从而，由（1）可得，，为二面角的平面角，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，1，，，0，，于是，1，，，0，，从而，． 二面角平面角的余弦值为．21．解：（Ⅰ），，则，，当时，恒成立，函数单调增，没有最值；当时，令，解得，负值舍去，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取到最小值，，解得，所以存在满足条件的；证明：（Ⅱ）由，得，令，则，令，解得，函数在上单调递减，在单调递增，故在上有唯一最小值点，若方程有两个不同的零点，，则，且，，①函数的图象在点，处的切线方程分别为和，且在内，在上，先证：即，即，，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以；再证：，即， 令，则恒成立，所以在，上单调递减，所以（1），令，，即可得，，即；22．解：（1）由，得，由，，得直线的直角坐标方程为，由为参数），两式相除得，所以，整理得曲线的普通方程为；（2）因为直线经过点，所以直线的参数方程为为参数），代入中，得，由△，得，又，，故，所以，，所以，因为，所以，故，则，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为2．23．（1）证明：对于恒成立，且，当且仅当，即时等号成立． ．，当且仅当时等号成立．，；（2），，，同理可得：，，，由（1）知，，．