四川省容城名校联盟2024届高三上学期第一次联考数学试题（文）（Word版附答案）

2024届高三第一次联考文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则A．B．C．D．2．已知幂函数的图象过点，则A．B．C．D．3．已知为虚数单位，，则的模为A．B．C．D．4．在中，“”是“为锐角三角形”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在等比数列中，，是方程两根，若，则的值为A．B．C．D．6．已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为 A．B．C．D．7．已知函数，则函数的图象可能是ABCD8．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则A．B．C．D．9．已知，若，则A．B．C．D．10．已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．11．若，，，则，，的大小关系为A．B．C．D．12．已知函数若有个实数解，则实数的取值范围为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数则_______．14．已知数列的前项和为，且，则_______．15．设是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为_______． 16．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）某地区运动会上，有甲、乙两位田径运动员进入了男子100m决赛，某同学决定运用高中所学的知识对该次决赛的情况进行预测，为此，他收集了这两位运动员近几年的大赛100m成绩（单位：秒），若比赛成绩小于10秒则称为“破十”．甲：10.54，10.49，10.31，10.37，9.97，10.25，10.11，10.04，9.97，10.03；乙：10.32，10.06，9.99，9.83，9.91；（1）求甲成绩的中位数与平均数（平均数的结果保留3位小数）；（2）从乙的5次成绩中任选3次，求恰有2次成绩“破十”的概率；18．（12分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角；（2）若边上的中线长为2，求面积的最大值．19．（12分）如图，在直三棱柱中，底面是以为底边的等腰直角三角形，，．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，短半轴长为，点在椭圆上运动，且的面积最大值为．（1）求椭圆的方程； （2）当点为椭圆的上顶点时，设过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．21．（12分）已知函数，．（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，设函数，求证：有解．（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交弦的中点坐标为，求直线的极坐标方程．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知定义域为的函数.（1）若，求函数的最小值；2024届高三第一次联考文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112CCABBBACDADB 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．15．16．三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）解：（1）甲的成绩从低到高依次为10.54，10.49，10.37，10.31，10.25，10.11，10.04，10.03，9.97，9.97，所以这10次成绩的中位数为，………………3分平均数为；………………6分（2）设10.32，10.06，9.99，9.83，9.91依次为，，，，，从乙的5次成绩中任选3次的基本事件有，，，，，，，，，共10种，………………9分恰有两次成绩“破十”的基本事件是，，，，，共6种，………………11分设恰有两次成绩“破十”的概率为，则．………………12分18．（12分）解：（1）由得：，………………2分由余弦定理，………………4分又，………………5分 所以；………………6分（2），………………8分化简得：，解得：，………………10分，所以面积的最大值为．………………12分19．（12分）解：（1）在中，，又平面，故，………………3分又，所以平面，平面，故平面平面，………………6分（2），………………8分，………………10分由等体积法：，得：，解得：． ………………12分20．（12分）解：（1），的面积最大值为，且，，，，………………2分椭圆的方程为：；………………4分（2）①当直线斜率不存在时，，，，，………………6分②当直线斜率存在时，设直线方程为，，，，由联立解得：………………8分，由韦达定理知：，，，，………………9分，………………11分 综上所述，为定值．………………12分21．（12分）解：（1），，………………1分，，………………2分，在处的切线方程为：，即；………………4分（2）当时，，………………5分，………………6分令，函数单调递增，故存在唯一，使得，即，………………8分当时，，单调递减，………………9分当时，，单调递增，………………10分故，………………11分故有解．………………12分 22．（10分）解：（1）直线l的参数方程为，（为参数），转换为直角坐标方程为，………………2分曲线C的参数方程为，（为参数），转换为直角坐标方程为；………………5分（2）方法一（几何意义）：将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理得关于t的方程，………………7分因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以方程有两个解，设为，，则，故，所以直线的斜率，………………8分所以直线l的直角坐标方程，所以直线l的极坐标方程．………………10分方法二（点差法）：设直线与曲线的两个交点分别为，，代入椭圆方程得，两式作差，………………8分所以直线的直角坐标方程， 所以直线的极坐标方程．………………10分23．（10分）解：（1）方法一（几何意义）：当时，，即数轴上任意一点到1和3的距离之和，当时，；………………5分方法二（去绝对值），结合函数图象知；………………5分（2）依题意知，恒成立，，………………6分由绝对值三角不等式得：，即，………………8分，即或，解得或，又，所以，所以的最小值为．………………10分 解析：1．解：集合A：由，解得：或，故，集合B：函数的定义域为：，则，故选C．2．解：，则，故选C．3．解：由得，，所以，，，故选A．4．解：在中，，则，不能说明就是锐角三角形；但是锐角三角形时，可得．所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件，故选B．5．解：由韦达定理：，由等比数列的等积性知，，所以，，故选B．6．解：易知，则，，，，，当且仅当，即时取等号，故选B．7．解：为偶函数，为奇函数，故为奇函数，排除B，D；又时，，故选A．8．解：易知：，，设，由M，H，N三点共线可得：，，故选C．9．解：由得：，故，所以，故选D．10．解：时，，，解得：，故选A． 11．解：依题意，，，，，所以，，的大小关系为，故选D．12．解：，根据相关图象，要使有3个实数解，只需：，即，故选B．13．解：，．14．解：由可知，数列为等差数列，，又．15．解：易知，，当是单调递增函数，由即，解得．16．解：由可得，，令，令，令，， 所以在上单调递减，所以，，所以在上单调递减，所以，，在上单调递减，，所以实数m的最大值为．