四川省泸州市泸县第一中学2024届高三一模数学（文）试题（Word版附解析）

泸县一中高2021级高三一诊模拟考试数学（文史类）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为，集合，，则集合等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先计算，再计算.【详解】，，，故选：B．2.若复数，为虚数单位，则的虚部为（）A.B.C.1D.2【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的定义和复数虚部的定义求解.【详解】复数，则，的虚部为1.故选：C3.若，则=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运用整体代换的思想，找出已知角与所求角之间的关系，根据诱导公式即可求解. 【详解】.故选：C.4.已知，则（）A.B.0C.D.【答案】A【解析】【分析】由弦切互化可得，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解.【详解】由可得，故，故选：A5.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)．A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c【答案】D【解析】【详解】试题分析：，，；且；.考点：对数函数的单调性.6.已知函数且，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据分段函数解析式及求出，再计算即可得解.【详解】若，则，即，无解；若，则，即，解得，所以，故选：A7.将函数f(x)=sin2x-cos2x的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间[0，]上单调递增B.最小正周期为C.图象关于对称D.图象关于(，0)对称【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式可得，再由三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】，其图象向左平移个单位长度，可得，当时，，所以函数在区间[0，]上不单调，故A不正确；最小正周期为，故B不正确； 当时，，即，故C正确、D不正确；故选：C8.已知直线,和平面，，若，，，要使，则应增加的条件是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β,α∩β＝m，nα，应增加的条件n⊥m，才能使得n⊥β.9.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.不存在这样的实数k【答案】B【解析】【分析】利用导数与函数单调性的关系以及一元二次方程的根进行求解.【详解】由题意得，在区间上至少有一个实数根，又的根为，且在或两侧异号，而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，∴或，∴或，故A，C，D错误故选：B.10.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图象之间的平移变换及所给奇、偶函数判断A，给出满足条件的特殊函数排除BCD.【详解】因为为奇函数，所以的图象经过原点，即， 由的图象向右平移2个单位可得函数的图象知，图象过点，即，因为为偶函数，所以，所以当时，，故A正确；令，则满足为奇函数，为偶函数，显然BCD不满足.故选：A11.已知点、．若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设出点的坐标，以为底结合的面积计算出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，求出方程的解，即可得出结论.【详解】设点的坐标为，直线的方程为，即，设点到直线的距离为，则，解得，另一方面，由点到直线的距离公式得，整理得或，，解得或或.综上，满足条件的点共有三个．故选：C.【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．12.已知且，且，且，则（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】可设，利用导数说明其单调性，依题意可得，，，从而得出，根据题意可知，，，这样即可得出，，的大小关系．【详解】解：记，有，所以当时，当时，在单调递减，在单调递增，因为且，且，且即，，即，，，则，，，，，，，，．故选：．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.当时，幂函数为减函数，则实数的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知，再根据函数在上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的值应满足以上两条.【详解】解：因为函数既是幂函数又是上的减函数， 所以，解得：.故答案为：2.【点睛】本题考查了幂函数的概念及性质，解答此题的关键是掌握幂函数的定义，此题极易把系数理解为不等于0而出错，属基础题.14.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边过点，则______.【答案】【解析】【分析】根据角终边过点，可求出角三角函数值，再利用正弦和余弦的和差角公式，以及同角三角函数的平方关系，即可求出结果.【详解】∵的终边过点，∴，（三角函数的概念），∴，故答案为：.15.如图，圆台中，，其外接球的球心O在线段上，上下底面的半径分别为，，则圆台外接球的表面积为________. 【答案】【解析】【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.【详解】设外接球半径为R，则，解得，所以外接球表面积为，故答案为：.16.若面积是外接圆面积的，则______．【答案】##【解析】【分析】由正弦定理表示外接圆的面积，由的面积是外接圆面积的得出，又，化简即可得出结果.【详解】由正弦定理得，则，又的面积是外接圆面积的，所以，即.故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知，且.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由诱导公式结合同角三角函数基本关系运算求解；（2）由题意构造角，结合两角和差公式可得，再结合倍角公式和诱导公式运算求解.【小问1详解】由题意可得：,即，又因为，则，所以.【小问2详解】因为,则，又因为，则,可得,所以. 18.在中,角、、所对的边分别为、、.已知,且.（1）求的值；（2）若，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知式子和三角函数公式可得，进而得到的值；（2）由可得，利用基本不等式可求出的最大值，即可求出周长的最大值.【详解】解：（1）由,得,由正弦定理，得,由余弦定理，得，整理得，因为,所以，所以.（2）在中,,由余弦定理得，,因为,所以,即,所以,当且仅当时，等号成立.故当时，周长的最大值.19.已知函数．（Ⅰ）若是的极值点，确定的值；（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】 （Ⅰ）求导，根据得到答案.（Ⅱ），讨论，，三种情况，计算得到答案.【详解】（Ⅰ）的定义域为，，由题意.若，则，当时，；当时，.所以是极大值点，故．（Ⅱ），①若，则，在上单调递增，，满足题意．②若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；此时当时，，不合题意.③若，则时，，单调递减.，不合题意.综上可知，当，时，，故.【点睛】本题考查了函数的极值点问题，恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.20.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面．（1）证明：平面；（2）若，且，求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，再得线线垂直，由线面垂直的判定定理得证；（2）根据等体积法求出点到面的距离即可.【小问1详解】证明：因为四边形是矩形，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以．因为平面，所以平面．【小问2详解】如图，取中点为，连接，由（1）知平面，所以，又，所以且，由平面平面，平面平面平面，则平面，即点到平面的距离为1，因为，所以，又，所以，所以．所以，设点到平面的距离为，则，，解得，即点到平面的距离为．21.已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）． （1）当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求的最大值．【答案】（1）f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）3【解析】【分析】(1)求导得，当a≤0时，恒成立；当0＜a≤e时，令g′（x）＝ex﹣a，分析g（x）单调性结合取值得，进而可得结论.(2)函数f（x）恰有两个极值点x1，x2得，故令，则，，构造结合导数分析单调性，再判断最值.【小问1详解】函数的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当0＜a≤e时，令，则ex﹣ax＝0，设g（x）＝ex﹣ax，则，易知，当0＜x＜lna时，，g（x）单调递减，当x＞lna时，，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（lna）＝elna﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，∴，在（0，+∞）上单调递增；综上，当a≤e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；【小问2详解】依题意，，则，两式相除得，，设，则t＞1，x2＝tx1，， ∴，，∴，设，则，设，则，∴在（1，+∞）单调递增，则，∴，则h（t）在（1，+∞）单调递增，又x1+x2≤2ln3，即h（t）≤2ln3，h（3）＝2ln3，∴t∈（1，3]，即的最大值为3．【点睛】思路点睛：对于带参函数讨论单调性的问题，一般在求导后结合对参数分类讨论进行分析；导数问题中带有不等式求范围或最值问题，一般先根据条件转化为它的等价条件，结合式子特征构造合适的函数，再求导结合单调性分析最值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知曲线C：(α为参数)和定点A(0,)，F1，F2是此曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线AF2的极坐标方程；(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值．【答案】（1）ρcosθ＋ρsinθ＝;（2）【解析】【分析】（1）先将曲线C参数方程化为普通方程，求出F2点坐标，进而求出直线AF2的直角坐标方程，再化为极坐标方程； （2）根据条件求出具有几何意义的直线l参数方程，代入曲线C的普通方程，运用韦达定理和直线参数的几何意义，即可求解.【详解】(1)曲线C：可化为，故曲线C为椭圆，则焦点F1(－1，0)，F2(1，0)．所以经过点A(0，)和F2(1，0)的直线AF2的方程为x＋＝1，即x＋y-＝0，所以直线AF2的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝.(2)由(1)知，直线AF2的斜率为-，因为l⊥AF2，所以直线l的斜率为，即倾斜角为30°，所以直线l的参数方程为(t为参数)，代入椭圆C的方程中，得13t2－t－36＝0.因为点M，N在点F1的两侧，所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝.【点睛】本题考查普通方程化参数方程、直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的运用，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】 （1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解；（2）等式恒成立等价于，再分类讨论解绝对值不等式.【详解】(1)当时，有或或解得或或所以的解集为.(2)对于任意实数，不等式成立，即恒成立.又因为.要使原不等式恒成立，则需要.当时，无解；当时，由，解得；当时，由，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.