广东省汕头市金山中学2023-2024学年高三上学期10月阶段数学试题（Word版附答案）

高三第一学期阶段性测试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（  ）A．B．C．D．2．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（）A．B．C．D．3．中，“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知等差数列的前项和为，若，则（  ）A．7B．C．D．105．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（）（参考数据）A．11分钟B．14分钟C．15分钟D．20分钟6．已知，则（  ）A．B．C．D．7．若过点可作曲线三条切线，则（  ）A．B．C．或D．8．已知函数，若函数恰有5个零点，且，，则的取值范围是（  ）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．试题共4页（第8页） 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．已知复数z满足，则（  ）A．B．C．D．10．已知为圆的直径，直线与轴交于点（三点不共线），则（  ）A．与恒有公共点B．是钝角三角形C．的面积的最大值为1D．被截得的弦的长度的最小值为11．如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的是（       ）A．若E为的中点，则直线平面B．三棱锥的体积为定值C．E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为D．过点，C，E的截面的面积的范围是12．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A．函数的图象关于对称B．的周期为C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中项的系数是________．（用数字作答）14．已知函数，若，则_______．15．设函数是定义在上的偶函数，为其导函数．当时，，且，则不等式的解集为___________．16．已知函数（其中，）.T为的最小正周期，且满足试题共4页（第8页） .若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.（本小题满分10分）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若为边中点，且，求的最小值.18.（本小题满分12分）已知数列满足，.(1)记，求证：数列是等比数列；(2)若，求.19．（本小题满分12分）已知函数在上有两个极值点，且．(1)求实数的取值范围；(2)证明：当时，．20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且．(1)证明：；(2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为试题共4页（第8页） ？若存在，并求出的值．21.（本小题满分12分）已知为双曲线的焦点，点在上．(1)求的方程；(2)点在上，直线与轴分别相交于两点，若，证明：直线过定点.22．（本小题满分12分）已知函数，，其中为实数.(1)求的极值；(2)若有4个零点，求的取值范围.高三第一学期阶段性测试数学参考答案CBCBAADBBDABDBCDABC17.解：(1)∵,由正弦定理得.……1分∵，∴.……2分∵，∴，……3分又∵,   ∴，∴……5分(2)∵为边中点，∴，即,……6分∵，∴，∴,……7分试题共4页（第8页） ∴，即,当且仅当时取等号,……8分∵，……9分∴，即.故的最小值为.……10分18.解：（1）因为，所以，故，故，……2分当时，，故，……5分所以数列是首项为5，公比为2的等比数列；……6分（2）由（1）知：，故，……7分其中，……8分故，……9分设，……11分故.……12分19．（1）解：∵，∴，……1分∵函数在上有两个极值点，且∴由题意知方程在上有两不等实根，……2分设，其图像的对称轴为直线，故有，解得∴实数的取值范围是.……5分（2）证明：由题意知是方程的较大的根，故，……6分由于，∴，∴．……8分设，，，……9分试题共4页（第8页） ∴在单调递增，……10分∴，即成立．……11分∴当时，……12分20．（1）证明：∵，为的中点  ∴……1分又∵平面平面，平面平面，平面∴平面……3分∵平面  ∴……4分（2）解：分别取的中点为，连结，∵为的中点，是边长为1的等边三角形∴是直角三角形，，，……5分∵的中点为，∴，，由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形∵，∴，……6分以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，……7分若在棱上存在点，使二面角的大小为，设，,，……8分是平面的一个法向量……9分设是平面的一个法向量，则即取，，……10分∵二面角的大小为∴，即……11分试题共4页（第8页） 整理得，  解得，或（舍去）∴，即，∴在棱上存在点，使二面角的大小为，.……12分21.解：（1）设双曲线的方程为，，由题意知，解得，∴双曲线的方程为；……4分（2）设直线的方程为，，，，消去，得，则，，，……6分∴直线方程为，令，则，同理，……7分由，可得，∴，……8分，∴，∴，∴，∴，∴，即，……10分当时，，此时直线方程为，恒过定点，显然不可能；……11分∴，此时直线方程为，恒过定点，……12分22．解：解：（1）因为，，所以，令，解得，令，解得，……2分所以在上单调递增，在上单调递减，试题共4页（第8页） 所以在处取得极大值，即，无极小值.……4分（2）由即，可得，令，则，……5分设，则，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，即，，所以存在，使得，，即，①，……7分故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故的极大值为，极小值为和对①式两边取对数可得，②，将①②代入得，同理可得，……9分要使有四个零点，则必有，解得，……10分而，，……11分由零点存在定理可知，当时有且仅有个零点，即有个零点，所以实数的取值范围为.……12分试题共4页（第8页）