重庆市 2024届高考适应性月考卷(四)（期中）数学试题（Word版附解析）

巴蜀中学2024届高考适应性月考卷(四)数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合，则M∩N=（）A.[0,6)B.C.[3,6)D.[0,+∞)【答案】A【解析】【分析】由函数性质求得集合，再由交集定义计算．【详解】由已知，∴，故选：A．2.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式列出其满足的不等式，即可求得答案.【详解】由题意知函数要有意义，需满足，解得，故的定义域为， 故选：B3.在中，D为AC上一点且满足若P为BD的中点，且满足则的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.【详解】因为，所以，则，所以，，.故选：D.4.已知变量x，γ呈线性相关关系，回归方程为，且变量x，y的样本数据如下表所示x-2-1012y54m21据此计算出在时，预测值为-0.2，则m的值为（）A.3B.2.8C.2D.1【答案】C【解析】【分析】由题意求出，即得回归直线方程，表示出样本中心点坐标，代入回归方程，即可求得答案.【详解】由题意知回归方程为过点，则，即； 又，，由于回归方程为必过样本中心点，故，故选：C5.已知数列满足且，则（）A.3B.C.-2D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.【详解】由题意数列满足，则，故由，得，由此可知数列的周期为4，故，故选：B6.若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简为，再利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系，化为齐次式，结合齐次式法求值，即可得答案.【详解】由题意知， 故，故选：D7.已知Q为抛物线C:上的动点，动点M满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为则|QM|+|QF|的最小值是（）A.B.C.D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意得到点的轨迹，然后将的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当三点共线时，最小，然后求最小值即可.【详解】由题意得，等于点到准线的距离，过点作垂直准线于点，则，设动点，则，整理得，所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，，所以当三点共线时，最小，.故选：B. 8.若关于x的不等式的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（）(参考数据:ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】根据时不等式成立得到不等式的-个整数解为1，然后时将不等式变形为，然后根据的单调性得到不等式的两个整数解只能是2,3，最后列不等式求即可.【详解】不等式可整理为，当时，成立，所以其它两个整数解大于1，当时，原不等式可整理，令，则，令，则，当时，，则在上单调递增，又，所以，所以在上单调递增，所以不等式的两个整数解只能是2,3，所以不等式的三个整数解为1,2,3，则，解得，因为，，，所以整数. 故选：B.二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.已知等差数列{}的前n项和，则下列选项正确的是（）A.B.C.当取得最大值时D.当取得最大值时【答案】ABC【解析】【分析】A选项，根据等差数列的求和公式列方程得到；B选项，根据等差数列的通项公式判断；CD选项，根据等差数列的求和公式和二次函数单调性判断.【详解】设公差为，则，所以，解得，故A正确；，故B正确；，所以当时，最大，故C正确，D错.故选：ABC.10.函数的最小正周期，则下列说法正确的是（）A.B.的图象关于点中心对称C.在上最小值为 D.将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象【答案】BD【解析】【分析】A选项，化简得，然后根据最小正周期求；B选项，利用代入检验法判断；C选项，利用换元法和三角函数的性质求最值；D选项，根据图象的平移变换判断.【详解】，因为，所以，，故A不正确；因为，所以关于对称，故B正确；，则，，所以在上的最小值为，故C错；将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度可得，故D正确.故选：BD.11.设函数的导函数为，且满足，则下列说法正确的是（）A.B.C.D. 【答案】ABD【解析】【分析】AB选项，求导，利用赋值的思路得到，；C选项，根据的单调性和得到时，，即可得到不成立；D选项，根据的单调性求最值.【详解】由题意得，，令得，解得，所以，，故AB正确；因为单调递增，，所以时，，时，，所以在上单调递减，上单调递增，所以，故C错，D正确.故选：ABD.12.已知平面向量a，t满足则下列说法正确的是（）A.的最小值为B.若则的最大值为C.若向量满足则的最大值是D.若向量满足，则的最小值是2【答案】ACD【解析】【分析】由向量垂直的数量积表示得出，然后把向量的模转化为数量积的运算后，分别利用二次函数知识，基本不等式可得选项AB中最值，从而判断AB，利用平面向量的几何意义，由圆的性质可得点轨迹是图中两段优弧，再由圆的性质可得所求距离的最值，判断CD．【详解】选项A，因为，所以，， ，所以时，取得最小值，A正确；选项B，，，当且仅当时等号成立，B错；选项CD，，，，又，所以，作，，，，以为圆心，为半径作圆，如图，当是圆的优弧上点时，即时，满足，再作点关于直线的对称点，以为圆心，为半径作圆，当是圆的优弧上点时，即时，也满足，当不是这两段优弧上的点时，都不满足，即不满足，是等边三角形，因此，两圆半径都是2，由图可知即的最小值是2，最大值是，CD都正确，故选：ACD．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13已知复数z满足，则________.【答案】##【解析】【分析】根据复数的除法运算求得复数z，再根据复数模的计算公式，即可得答案.【详解】由可得，故，故答案为：14.已知向量，且，则________.【答案】【解析】【分析】表示出的坐标，根据向量的垂直条件列式计算，求出t的值，再根据向量夹角的计算公式即可求得答案.【详解】由题意知向量，且，故，则，故，则，故答案为：15.已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】先通过构造得到数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列，再求的通项公式， 代入到不等式可得，利用作差法可判断的最大值，则答案可求.【详解】由可得，又因为，所以，即数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列，所以，对任意正整数都有，则，即，设，则，当时，，当时，，即，所以，所以故答案为：.16.已知△ABC的面积为1，且AB=2BC，则当AC取得最小值时，BC的长为________.【答案】【解析】【分析】记，由面积得，由余弦定理得，结合导数可得．【详解】记，由已知，，，令，则，所以当时，，当时，，设，则时，单调递增， 当时，单调递减，所以当即时，，即AC取得最小值，此时，.故答案为：．四、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知等差数列的前n项和为，且满足（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意列出方程组，求得首项和公差，即可求得答案；（2）由（1）结果可得的表达式，利用分组求和法，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.【小问1详解】设等差数列公差为d，则，解得，故；【小问2详解】由（1）可得，故. 18.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求角A的大小;（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，再结合余弦定理即可求得答案；（2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求出的值，即可得答案.【小问1详解】因为，故，而，即，即，所以，因为，故；【小问2详解】由（1）可知，的面积为，即，故；又，即，则，故的周长为.19.第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动会大量使用了高科技.为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3分才能参加复试，复试每人都回答A，B，C三道题，每一题答对得2分，答错得0分.已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能 答对的概率都是，乙每题能答对的概率都是.（1）求甲、乙至少一人通过初试的概率；（2）若测试总得分大于等于6分为合格，问参加完测试甲、乙合格的概率谁更大.【答案】（1）（2）甲【解析】【分析】（1）求出甲、乙通过初试的概率，则甲、乙至少一人通过初试的概率即可用1减去两人都没通过初试的概率即可；（2）考虑两人初试通过得分情况，再考虑复试得几分才可合格，由此可求得两人合格的概率，比较大小，即得结论.【小问1详解】由题意得甲通过初试的概率为，乙通过初试的概率为，则甲、乙至少一人通过初试的概率为；【小问2详解】考虑甲初试若得4分，要合格则复试答对一道即可，初试若得3分，则复试答对2道或3道才可合格，故甲合格的概率为；乙要合格，则需初试通过，复试答对答对2道或3道才可合格，故乙合格的概率为，因为，故甲合格的概率更大.20.数列的前n项和，已知，，k为常数.（1）求常数k和数列的通项公式；（2）数列的前n项和为，证明： 【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用，和累加法求，然后根据等差数列求和公式求；（2）利用裂项相消和放缩的思路证明.【小问1详解】由得，，两式相减的，整理得，当时，得，，当时，，，，，相加得，所以，，当，2时符合，所以，则，，则，即.【小问2详解】由（1）得，所以，因为，， 所以，综上可得，.21.已知椭圆C:的左、右焦点分别为，椭圆C上一动点A在第二象限内，点A关于x轴的对称点为点B，当AB过焦点时，直线过点.（1）求椭圆C的方程；（2）点B与焦点所在直线交椭圆C于另一点P，直线AP交x轴于点T，求面积最大时，点A横坐标的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意确定，结合焦点坐标列出方程组，求得，即得答案；（2）设，设直线的方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系式，利用直线的方程并化简求得T点坐标，进而求得面积的表达式，利用导数确定其取最值时自变量的值，即可求得答案.【小问1详解】由题意可知当AB过焦点时，直线过点,，则为的中点，则，则，解得，故椭圆C的方程为；【小问2详解】 设，设直线的方程为，联立，得，由于直线过椭圆焦点，必有，则，直线的方程为，令，得，即；设，则当，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，即在时取到最大值，故面积最大时，点A横坐标为.【点睛】 难点点睛：本题考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的最大值问题，解答的难点在于第二问求解时计算量较大，计算过程比较复杂，解答时利用直线方程和椭圆方程联立得根与系数的关系，化简确定T的坐标，进而求出面积的表达式，利用导数解决其最值问题，即可解决问题.22.已知函数.（1）若求曲线f(x)在处的切线方程；（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求切斜方程；（2）将不等式，不等式恒成立转化为，恒成立，然后根据得到的范围.【小问1详解】当时，，，，则，所以曲线在处的切线方程为，即.【小问2详解】不等式可整理为，令，则，令，，则，所以当时，单调递减，，则，即，所以，所以. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题：①恒成立转化为；②恒成立转化为.