浙江省台州市山海协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附答案）

绝密★考试结束前2023学年第一学期台州山海协作体期中联考高二年级数学学科试题命题学校：玉城中学、平桥中学审题学校：城峰中学考生须知：1．本卷共6页满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4．考试结束后，只需上交答题纸。一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角是（）A．B．C．D．02.已知双曲线C：，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．3.平面的一个法向量为，一条直线l的方向向量，则这条直线l与平面所成的角为（）A．B．C．D．4.如图，在四面体OABC中，，，点M在OA上，且M，N分别为OA，BC中点，则（） A．B．C．D．5.设，，则以线段AB为直径的圆的方程是（）A．B．C．D．6．已知点P，Q是圆O：上的两个动点，点A在直线l：上，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标是（）A．B．C．D．7．在长方体中，，，E，F，G分别是棱，BC，的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为（）（第7题图）A．B．9C．D．8．如图，已知，是双曲线C：的左､右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（）（第8题图）A．B．C．D． 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知、，则下列命题中正确的是（）A．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支C．平面内满足的动点P的轨迹为抛物线D．平面内满足的动点P的轨迹为圆10.正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，，的中点．则正确的是（）A．B．平面AEFC．点B、C到平面AEF的距离相等D．若P为底面ABCD内一点，且，则点P的轨迹是线段11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若△ABC满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（）A．题中的“欧拉线”的方程为：B．圆M上的点到直线的最小距离为C．若点在圆M上，则的最大值是D．若圆M与圆有公共点，则12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，，，，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是（） A．平面PAD⊥平面ABCDB．二面角P-BC-A的大小为30°C．异面直线AD与PB所成的角为90°D．三棱锥P-ABD外接球的表面积为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线：，直线：，若，则.14.已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为.15.已知点，，则满足点A到直线l的距离为2，点B到直线l距离为3的直线l的条数有条.16.已知椭圆C：，点，M为椭圆上任意一点，A，B为椭圆的左，右顶点，当M不与A，B重合时，射线MP交椭圆C于点N，直线AM，BN交于点T，则动点T的轨迹方程为.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题共10分）已知△ABC的三个顶点是，，．（1）求边AB上的中线所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．18．（本小题共12分）如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B 岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由．19.（本小题共12分）在直三棱柱中，，D，F分别是，的中点，，（1）求证：平面；（2）求异面直线BD与AF所成角的余弦值；（3）求直线AF与平面所成角的正弦值.20.（本小题共12分）已知动圆过定点，且与直线相切.（1）求动圆圆心C的轨迹的方程.（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且为定值，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．21．（本小题共12分）如图，在三棱柱与四棱锥的组合体中，已知，四边形ABCD是菱形， ，，，．（1）求证：平面ABCD．（2）点P为直线上的动点，求平面PAB与平面所成角的余弦值的取值范围.22.（本小题共12分）已知点P是抛物线：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点.（1）写出抛物线焦点及准线方程；（2）求弦AB长的最小值；（3）若直线AB交椭圆：于C、D两点，、分别是△PAB、△PCD的面积，求的最小值.2023学年第一学期台州山海协作体高二期中联考高二年级数学学科参考答案命题老师：金晓蓬：13968479612李飞红：15906868112罗明月：17858961525一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）题号12345678答案CADABACB 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ADBCDACACD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.，114.15.316.（）（算出就给5分）8.【详解】延长与双曲线交于点P＇，因为，根据对称性可知，设，则，可得，即，所以，则，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.16.由题知MN不与x轴重合，设直线MN的方程为，联立方程组，消x整理得，， 设、，则，.因为AM的方程为，AN的方程为两直线方程联立得：因为.所以，解得.所以动点T的轨迹方程为（）四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）∵，，∴AB中点为，所以中线斜率为，由，（两点式同等给分）得边AB上的中线所在直线的方程为：.（2），边AB所在的直线方程为：，点到直线AB的距离所以（公式1分，结果1分）18.（1）由已知，，．（A、B两点写对一个就给分）解法1： 设圆C的一般方程为，将O，A，B三点代入得解得，∴圆C的方程为解法2：设圆C方程为，将O，A，B三点代入得解得，∴圆C的方程为（2）由已知该船初始位置为点，且该船航线所在直线l的斜率为．∴海船行驶路线l:即（斜率对1分，直线方程对2分）圆心到l的距离（圆心对给1分）∵，∴没有触礁危险．19.（1）∵D，F分别是，的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面.（坐标法同等给分）（2）解法1：取BC中点E，连接EF，∵中，且；又∵，且，∴四边形EFDB是平行四边形，∴，∴∠AFE是异面直线BD与AF所成角或补角。，，，，∴，∴异面直线BD与AF所成角的余弦值为.解法2：如图所示，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系。∴，，，，，，，（建系有点坐标就给两分） ∴，，设异面直线BD与AF所成角为，则，∴异面直线BD与AF所成角的余弦值为.（3），，设平面的一个法向量为，，即，取，则，，（公式对就给2分）设直线AF与平面所成角为，∴直线AF与平面所成角的正弦值为.（公式对就给1分）20.（1）设动圆圆心，设C到直线的距离为d，则，∴点C的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.设抛物线方程为：，由，得，∴点C的轨迹方程为：.（单答案只给2分）（2）设，，， ∵，显然直线AB斜率存在，∴设直线AB的方程为：，消x得：，设OA的斜率为，OB的斜率为，∵则，，∴，∴，∴，∴，∴直线AB的方程为：，即，恒过定点（其他解法同等给分）21．（1）证明：在三棱柱中，∵，，∴，∵，，，∴∴，又∵ ∴平面ABCD（2）连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为菱形，∴以O为原点，OA，OB为x，y轴，向上方向为z轴建立空间直角坐标系，则，，设∴，，设为平面PAB的一个法向量，由，得，取，则.∵是平面的一个法向量，设平面PAB与平面所成角为∴.平面PAB与平面所成角的余弦值的取值范围为.22.（1）由题意得，∴，焦点，准线方程为.（2）先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为， 证明如下：由于点在抛物线上，则，联立，消去x得，，即，所以，关于y的方程有两个相等的实根，此时，因此，直线与抛物线相切，且切点为.设点、，则以A为切点的切线方程为，同理以B为切点的切线方程为，∵两条切线均过点，∴，即，所以，点A、B的坐标满足直线的方程，所以，直线AB的方程为，在直线AB的方程中，令，可得，所以，直线AB过定点；（二级结论不证不扣分）由题意可知，直线AB不与x轴重合，可设直线AB的方程为，由，得，恒成立，由韦达定理得，，由弦长公式可得，当时，弦AB长的最小值为4.（二级结论不证不扣分）（3）设点P到直线AB的距离为d，则设、， 由，得，恒成立.由韦达定理得，，由弦长公式得.（两个弦长对1个给2分，对2个给3分）∴，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.