江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

常州市第一中学2023~2024学年第一学期期中考试高二年级数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.2.已知直线，则间的距离为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用平行直线的距离公式可得.【详解】将直线方程化为，由平行直线的距离公式得.故选：C3.点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A.4B.3C.5D.【答案】B【解析】【分析】写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得. 【详解】双曲线中，，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为，即，由对称性可知，点到两条渐近线的距离相等，不妨求点到的距离，得.故选：B4.抛物线的准线方程是A.x=1B.x=-1C.D.【答案】C【解析】【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【详解】解：整理抛物线方程得，∴p＝∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y＝﹣故答案为C．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题．5.已知双曲线(，)的右焦点为，若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线与双曲线的位置关系，结合图形，得到直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率的关系，求得结果.【详解】已知双曲线(，)的右焦点为，若有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴，离心率，∴.故选：A.【点睛】该题考查的是有关直线与双曲线的位置关系的问题，解决该题的关键是结合图形，得到其斜率所满足的关系，属于基础题目．6.设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（）A.16B.4C.3D.5【答案】B【解析】【分析】设得，利用，配方后利用的范围可得答案.【详解】，设，则，所以，，因为，所以当时，有最大值为.故选：B.7.已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于两点，且是线段的中点，则直线的斜率为（）A.B.C.1D.【答案】A 【解析】【分析】设，则由题意可得，，两式相减化简结合斜率公式可求得结果.【详解】设，因为是线段的中点，所以，因为在椭圆上，所以，两式相减得，，即，所以直线的斜率，故选：A8.若存在实数使得直线与圆无公共点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】根据直线和圆的位置关系求得正确答案.【分析】圆，即，由，解得或，直线，即，所以直线过，要使直线和圆没有公共点， 则点在圆外，即，综上所述，的取值范围是.故选：D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线，以下说法正确的是（）A.若，则是椭圆，其焦点在轴上B.若，则是两条直线C.若，则是双曲线，其渐近线方程为D.若，则是圆，其半径为【答案】BC【解析】【分析】根据，结合椭圆的标准方程即可判断A；时，方程化为，即可判断B；根据条件结合双曲线标准方程以及双曲线渐近线方程可判断C；结合圆的方程判断D.【详解】对于A，若，则化为，则，则是椭圆，其焦点在x轴上，A错误；对于B，若，即为，即，即是两条直线，B正确；对于C，若，不妨设，则化为，则表示焦点在x轴上的双曲线，，故其渐近线方程为； 同理当，则化为，则表示焦点在y轴上的双曲线，，故其渐近线方程为；综合知是双曲线，其渐近线方程为，C正确；对于D，若，则即为，则是圆，其半径为或，D错误，故选：BC10.已知圆，圆，圆，圆，直线，则（）A.与圆都外切的圆的圆心轨迹是双曲线的一支B.与圆外切､内切的圆的圆心轨迹是椭圆C.过点且与直线相切的圆的圆心轨迹是抛物线D.与圆都外切的圆的圆心轨迹是一条直线【答案】ABC【解析】【分析】根据几何关系确定，A正确，，B正确，根据抛物线定义知C正确，确定，得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：设圆心为，半径为，则，，故，圆心轨迹是双曲线的一支，正确；对选项B：设圆心为，半径为，则，，故，圆心轨迹是椭圆，正确； 对选项C：设圆心为，半径为，故到定点和定直线的距离相等为，圆心轨迹是抛物线，正确；对选项D：设圆心为，半径为，则，，故，在两圆外，圆心轨迹两条射线，错误；故选：ABC.11.瑞士数学家欧拉(Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是（）A.(2,0)B.(0,2)C.(－2,0)D.(0,－2)【答案】AD【解析】【分析】由已知求出垂直平分线方程，与欧拉线方程联立求得外心坐标，从而得到圆的方程，设，根据三角形的重心在欧拉线上，再与圆的方程联立即可求出的坐标．【详解】，，的垂直平分线方程为，又外心在欧拉线上，联立，解得三角形的外心为，又，外接圆的方程为．设，则三角形的重心在欧拉线上，即． 整理得．联立，解得或．所以顶点的坐标可以是，故选：AD．12.已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（）A.B.C.D.为中点【答案】BCD【解析】【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.【详解】如下图所示：分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，，则， 设，，由，则，可得，所以，,解得所以,所以B正确.，得，A选项错误；所以,满足,所以C正确.而,所以D正确.故选：BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上.13.点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为_______【答案】3x－y＋3＝0【解析】【分析】先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程．【详解】对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线，A、B的中点坐标(1,6)，AB的斜率为：中垂线斜率为：3则l的方程为：y−6=3(x−1)即：3x−y+3=0故答案为：3x−y+3=0【点睛】本题主要考查直线垂直斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题.14.设椭圆，双曲线的离心率为，且，则__________.【答案】##【解析】 【详解】根据离心率公式得到，解得答案.【分析】，即，解得.故答案为：.15.分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围．【详解】是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，所以，代入，得，当且仅当时取等号，即，又点是双曲线左支上任意一点，所以，即：.故答案为：．16.椭圆的弦满足，记坐标原点在的射影为，则到直线的距离为1的点的个数为__________.【答案】4【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合直线与这个轨迹的位置关系求解即得.【详解】椭圆的弦满足，即有设，则，，于是，解得，同理，则，即，由原点在的射影为，得，而，因此，即点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为，圆心到直线的距离，显然此直线与圆相交，垂直于直线的圆的直径端点到直线距离分别为，于是圆上到直线的距离为1的点有4个，所以到直线的距离为1的点的个数为4.故答案为：4【点睛】思路点睛：涉及用椭圆上的动点处理问题时，可以借助正余弦函数设出此点坐标，再利用三角函数关系求解.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，，其中，如图所示． （1）若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程；（2）若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据为焦点和椭圆定义得，求得，；利用求得，进而得到椭圆方程；（2）根据为焦点和双曲线定义得，求得，；利用求得，进而得到双曲线方程.【详解】（1）为椭圆的焦点，且椭圆经过两点根据椭圆的定义：，椭圆方程为：（2）为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，根据双曲线的定义：，双曲线方程为：【点睛】本题考查利用椭圆、双曲线定义求解椭圆、双曲线的标准方程问题，属于基础题.18.在平面直角坐标系中，设命题直线与平行；命题：圆与圆相交.若命题､命题中有且只 有一个为真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】求出命题p、p为真时的取值范围，再根据命题p、q中有且只有一个为真命题，分p真q假和p假q真时两种情况，求出实数m的取值范围．【详解】解：命题为真：由题意得，或，检验符合，命题为真：，圆相交，所以或，因为命题、命题中有且只有一个为真命题，若真假，则：，解得，若假真，则：，解得：，综上：实数的取值范围是.19.已知椭圆的右焦点F，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于A、B两点．（1）若离心率为，求椭圆的方程；（2）当时，求椭圆离心率的取值范围．【答案】（1）＋y2＝1.（2）【解析】【分析】（1）由准线方程，焦点坐标可求得的值，从而利用离心率可得到m的关系式，求得m，进而得到值，确定椭圆方程；（2）将A，B，F坐标代入向量中可得到关于m的不等式，得到m的范围，将离心率用m表示可求得离心率范围【详解】（1）由已知，得c＝m，＝m＋1， 从而＝m（m＋1），＝m．由e＝，得b＝c，从而m＝1．故a＝，b＝1，得所求椭圆方程为．（2）易得A（－m－1，－m－1），B（m＋1，m＋1），从而＝（2m＋1，m＋1），＝（1，m＋1），故＝2m＋1＋（m＋1）2＝＋4m＋2＜7，得0＜m＜1．由此离心率故所求的离心率取值范围为．20.有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O点百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A、B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA､OB，其中小路的宽度忽略不计.（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）过再做一条与垂直的笔直小路交草坪圆周于两点，求四点构成的四边形面积的最大值.【答案】（1）（百米）（2）6【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合圆的几何性质求得小路的最短长度.（2）先求得四边形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值. 【小问1详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，小路的长度为，因为为定值，故只需要最小即可.作，垂足为，记，则，又，故，此时点为中点.故小路的最短长度为（百米）.【小问2详解】设到的距离为，设到的距离为，由垂径定理可得，所以，当且仅当时，四边形面积的最大值6.21.已知抛物线经过点.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交直线于点和点，求证：以为直径的圆经过定点. 【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程可求出，从而可求出抛物线方程和准线方程；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程化简，利用根与系数关系，表示出直线方程，表示出点和点的坐标，设，由可求得结果.【小问1详解】由抛物线经过点，得所以抛物线的方程为，其准线方程为.【小问2详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为.由，得.设，则.直线的方程为，令，得，同理.由抛物线的对称性可得若以为直径的圆过定点，则定点必在轴上.设，则，所以.令，即，得或.综上，以为直径的圆经过轴上的定点和. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，第（2）问解题的关键是根据题意表示出直线方程，从而可表示出点和点的坐标，设，再由化简计算可得结论，考查计算能力，属于较难题.22.已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知为直线上任一点，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，过的实轴右顶点作垂直于轴的直线与直线分别交于两点，点的纵坐标分别为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设双曲线，将点代入计算即可求解；（2）设，，求出m、n的表达式并分别联立双曲线方程，利用可得、，即是方程的解，根据韦达定理表示出，代入化简计算即可求解.【小问1详解】设双曲线，过点，代入坐标可得， 所以双曲线C的标准方程为；【小问2详解】设，，所以，即，则，化简可得：，同理可得：；所以均是方程的解；所以，，，故.