江苏省南京市第九中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

南京市第九中学阶段学情调研试卷高二数学2023.10注意事项：1.本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第12题）､填空题（第13题~第16题）､解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､学校､班级填在答题卡上指定的位置.3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】考查三角函数的定义，利用定义即可得出结果.【详解】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：.故选：B.2.已知等差数列的前n项和为，，，则（）A.55B.60C.65D.75【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式列方程，解方程得到，，然后根据等差数列求和公式求和即可.【详解】设等差数列的公差为d，，，，，解得，，则.故选：C.3.在平面直角坐标系中，已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值为（）A.B.C.1D.-1【答案】A【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断在圆上，进而求得切线的斜率，再根据直线的垂直关系求解即可.【详解】解：因为，所以，在圆上，圆心为，所以，，所以，直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以，解得.故选：A.4.已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D5.已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知得函数f(x)的图象关于x＝对称，可求得a＝－b，从而得出直线的斜率k的值，由直线的斜率与直线的倾斜角的关系可得选项.【详解】由知，函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝，所以a＝－b，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为.故选：D．【点睛】本题考查函数的对称性，直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于中档题．6.的内角的对边分别为.若，则的面积为（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可．【详解】由余弦定理有，，，，，，，故选：．7.已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（）A.11B.12C.13D.14【答案】C【解析】【分析】由离心率为，得到a，b，c之间的关系，做出简图，分析可得直线的方程为：，且直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值.【详解】因为椭圆的离心率为，所以，，如图，，所以为正三角形，又因为直线过且垂直于，所以，直线的方程为， 设点坐标，点坐标，将直线方程与椭圆方程联立，得，显然,则，，所以，解得，,由图，直线垂直平分，所以的周长等于的周长，.故选：C.8.已知是双曲线的左，右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线的左，右两支分别交于点.若，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】设，利用双曲线的定义及题中几何关系将用表示，再利用几何关系建立关于齐次方程，从而求出离心率.详解】如图，过作与,设，则，，∴，，，由题意知， ∴在中，，，∴，在中,,即解得.双曲线的离心率为.故选：A.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，选全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上.9.设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由等差数列的性质得出，即，由此易判断ABC，对选项D，可根据数列是递增数列，确定即可判断．【详解】，则，，所以，，，，则，，，，是递增数列，，，所以中，最小，故选：ACD． 10.已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（）A.B.直线与直线的斜率之积为C.存在点满足D.若的面积为，则点的横坐标为【答案】BD【解析】【分析】根据椭圆的定义判断A，设，计算斜率之积，判断B，求出当是短轴端点时的后可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D．【详解】由题意，，，，，短轴一个顶点，，A错；设，则，，所以，B正确；因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；，，，则，，D正确．故选：BD．【点睛】 关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质．有结论如下：椭圆上的点与两焦点连线的斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点．11.直线过抛物线的焦点且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（）A.B.抛物线E的准线方程是C.以MN为直径的圆与定直线相切D.的大小为定值【答案】BC【解析】【分析】由直线过定点，得到，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B正确；过点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到，求得，可判定D错误.【详解】对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，因为抛物线的焦点在直线上，可得，则，所以A错误；对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B正确；对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为点，过点作准线的垂线，垂足为，可得，故以MN为直径的圆与准线相切，所以C正确；对于D中，设，联立方程组，整理得，，，可得，则，则，但的大小不是定值，设，而，则，则， 而，并不是定值，所以D错误.故选：BC.12.由倍角公式可知，可以表示为的二次多项式.一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据两角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化简可得，根据定义即可判断A项；根据二倍角公式可推得，即可得出B项；根据诱导公式以及A的结论可知，，.平方相加，即可得出，进而求出D项；假设C项成立，结合D项，检验即可判断.【详解】对于A：.由切比雪夫多项式可知，，即. 令，可知，故A正确；对于B：.由切比雪夫多项式可知，，即.令，可知，故B正确；对于D：因为，，根据A项，可得，.又，所以，所以.令，可知，展开即可得出，所以，解方程可得.因为，所以，所以，所以，故D正确；对于C：假设，因为，则，显然不正确，故假设不正确，故C错误. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：根据题意多项式的定义，结合两角和以及二倍角的余弦公式，化简可求出，换元即可得出.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填涂在答题卡相应位置上.13.设等差数列的前项和为，已知，则__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】因为，根据等差数列的性质，可得，所以.故答案为：.14.已知，则__________.【答案】##【解析】【分析】利用两角差的正切公式求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】因为，则，解得，所以.故答案为：15.已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的取值范围为 ______．【答案】【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的定义把用来表示，然后在中用余弦定理求出的关系，然后再用函数求解.【详解】设因为点在椭圆上，所以①又因为点在双曲线上，所以②则①②得；①②在中由余弦定理得：即即，即即所以，令，则所以.故答案：.16.已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为，，则 的最小值为________．【答案】##【解析】【分析】设圆心为，由四边形的面积得，利用转化为，再由距离公式求的最小值即可.【详解】设圆心为，半径为2，则四边形的面积，所以，又在中，，所以，设，则，所以当时，有最小值，此时有最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：此题中求有最小值关键是利用四边形的面积将的表达式求出来，再转化为的函数求最值.四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.已知函数，.（1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的单调增区间；（2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，根据条件求出函数的周期和，即可求解单调区间.（2）根据函数的对称性和单调性建立不等式关系进行求解即可.【小问1详解】，因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则，所以，解得，所以.由，，解得，因此的单调增区间是，.【小问2详解】由，函数的图象关于对称，所以，，所以，， 由，，则，又函数在上单调，所以，解得，由，解得，此时.18.在公差为的等差数列中，已知，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）当时，，当时，；（2）65【解析】【分析】（1）根据基本量进行计算；（2）先判断前10项为正数，再计算即可.【小问1详解】由，，，解得或，当时，，当时，；【小问2详解】由，，所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数，所以==.19.已知点，圆的半径为1. （1）若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程；（2）若圆圆心在直线上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（1）或（2）或.【解析】【分析】（1）根据圆心到直线的距离分直线斜率存在与不存在求解；（2）由条件求出M所在圆，利用两圆相交求出取值范围.【小问1详解】由题意得圆标准方程为，当切线的斜率存在时，设切线方程为，由，解得：，当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意；所以切线的方程为或.【小问2详解】由圆心在直线上，设，设点，由，得：，化简得：，所以点在以为圆心，2为半径的圆上.又点在圆上，所以圆与圆有交点，则，即，解得：或. 20.已知锐角中，角所对的边分别为；且．（1）若角，求角；（2）若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解；（2）根据（1）的结论及正弦定理，利用三角形的内角和定理及降幂公式，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】，，即，，，，，又，，.【小问2详解】由（1）得，则，由正弦定理得，，， 由正弦定理得则，，,,,为锐角三角形，且，，，，当时，取得最大值为，故的最大值为.21.已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．（1）求双曲线E标准方程．（2）直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）（2）直线CD过定点，定点坐标为．【解析】【分析】（1）方法一：将代入方程，结合求得得双曲线方程；方法二：根据双曲线定义求得得双曲线方程.（2）方法一：设CD的方程为，与双曲线联立，由A点与C点写出AC方程，求出，由B 点与D点写出BD方程，求出，利用两个相等建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.方法二：设CD的方程为，与双曲线联立，由P点与A点写出AC方程，由P点与B点写出BD方程，将代入以上两方程，两式相比消去建立关系式，代入韦达定理可求得为定值.【小问1详解】法一．由解得，∴双曲线E的标准方程为．法二．左右焦点为，，，∴双曲线E的标准方程为．【小问2详解】直线CD不可能水平，故设CD的方程为，联立消去x得，，，，AC的方程为，令，得，BD的方程为，令，得， ，解得或，即或（舍去）或（舍去），∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．方法二．直线CD不可能水平，设CD的方程为，联立，消去x得，，AC的方程为，BD的方程为，分别在AC和BD上，，两式相除消去n得，又，．将代入上式，得．整理得，解得或（舍去）． ∴CD的方程为，∴直线CD过定点，定点坐标为．【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题通法，先设出直线方程，通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点.22.已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且.（1）求的值；（2）若直线与交于两点，与交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线焦点坐标公式，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量共线性质进行求解即可.【小问1详解】由抛物线方程可知焦点的坐标为，由抛物线的方程可知焦点的坐标为，因为，所以；【小问2详解】由（1）可知两个抛物线的方程分别为，设直线，，根据题意结合图形可知：，且，联立，则， 同理联立，则，由，所以，即，又因为，所以，由，联立，所以，故.【点睛】关键点睛：本题的关键是由.