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湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题(Word版附解析)
湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题(Word版附解析)
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株洲市二中2023年下学期高一年级期中考试试卷数学试题时量:120分钟分值:150分一、单选题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.已知集合,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】应用集合的交运算求即可.【详解】由题设.故选:A2.已知幂函数的图象经过点,则()A.B.C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据幂函数定义代入计算可得.【详解】将点代入可得,解得.故选:B3.函数的图象大致为()A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】B选项的不是函数图象,故排除,再结合特殊值排除AC选项.【详解】先排除B选项,因为不是函数图象;,排除AC选项.故选:D4.已知,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数单调性和定义域分析求解.【详解】因为在定义域内单调递增,若,则,解得,所以的取值范围为.故选:D.5.已知是定义在上的偶函数,且在上是增函数,设,,则的大小关系是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】根据指、对数函数单调性可得,结合偶函数的性质分析判断.【分析】因为,即,又因为,即,可得, 由题意可知:在上单调递减,所以.故选:A.6.“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过求解函数和符合条件的的取值,即可得出结论.【详解】由题意,在中,当函数在上单调递减时,,在中,函数是偶函数,∴,解得:,∴“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的必要不充分条件,故选:B.7.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093【答案】D【解析】【详解】试题分析:设,两边取对数,,所以,即最接近,故选D. 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力,本题以实际问题的形式给出,但本质就是对数的运算关系,以及指数与对数运算的关系,难点是令,并想到两边同时取对数进行求解,对数运算公式包含,,.8.定义域为的函数满足:当时,,且对任意的实数,均有,记则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数在上的解析式以及,将的范围利用表达式化到上代入计算即可得出结果.【详解】由可得,所以,由可得,即,所以;易知,可得,所以;显然,又可得;显然,所以;可得 .故选:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小愿给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)9.成人心率的正常范围为60~100次/分钟,超过100次/分钟为心率过速,观测并记录一名心率过速成人患者服用某种药物后心率,其随时间的变化如图所示,则该患者()A.服了药物后心率会马上恢复正常B.服药后初期药物起效速度会加快C.所服药物约15个小时后失效(服药后心率下降期间为有效期)D.欲控制心率在正常范围内,一天需服用该药2次【答案】BCD【解析】【分析】根据图象逐项分析判断.【详解】对于选项A:由图可知:服药2个小时后心率会恢复正常,故A错误;对于选项B:服药后初期心率下降速度增大,即药物起效速度会加快,故B正确;对于选项C:当时,图象是下降的,所以所服药物约15个小时后失效,故C正确;对于选项D:因为心率在正常范围内的时长为22小时,所以欲控制心率在正常范围内,一天需服用该药2次,故D正确;故选:BCD.10.下列不等式的解集为R的是()A.B.C.D.【答案】ACD 【解析】【分析】分别对不等式所对应的方程的判别式进行逐一判断,结合一元二次函数图象即可得出结论.【详解】对于A,易知方程的判别式,即对应的整个二次函数图象都在轴上方,所以解集为R,即A正确;对于B,易知方程的判别式,由对应的二次函数图象可知其解集不可能为R,即B错误;对于C,易知方程的判别式,即对应的整个二次函数图象都在轴下方,所以解集为R,即C正确;对于D,易知不等式可化为,显然该式恒成立,即解集为R,即D正确;故选:ACD11.下面结论正确的是()A.若,则最小值是3B.函数的最小值是2C.且,则的最小值是3D.函数的值域是【答案】ACD【解析】【分析】对于A,易知,利用基本不等式即可得时取到最小值为,即A正确;易知,显然等号不成立,即可知B错误;对于C,由可知,由基本不等式中“1”的妙用即可求得当时的最小值是3,可知C正确;对于D,利用换元法并由基本不等式结合即可求得其值域是,即D正确. 【详解】对于A,若,可得,则,当且仅当时,即时等号成立,此时最小值为,即A正确;对于B,由,当且仅当时,等号成立,显然等号不成立,因此B错误;对于C,由可得,所以;当且仅当时,即时,等号成立;即C正确;对于D,令,则可得,当时,,当且仅当时,等号成立;又易知,所以,即可得,即D正确;故选:ACD12.黎曼函数是由德国数学家黎曼发现提出的特殊函数,它在高等数学中被广泛应用.定义在上的黎曼函数,关于黎曼函数(), 下列说法正确的是()A.的解集为B.的值域为C.为偶函数D.【答案】ACD【解析】【分析】由黎曼函数的定义一一分析即可.【详解】依题意当无理数()时无解,当为有理数()时,即,为大于的正整数,、为既约的正整数,则方程,解得,为大于的正整数,当时,解得,当时无解,所以方程的解集为,故A正确;因为,但是不存在正整数,使得,故B错误;若为上的无理数,则也为无理数,此时,若,则,此时,若为上的有理数,则也为有理数,此时,综上可得,有,所以关于对称,即,则为偶函数,故C正确;由,若为无理数时,此时,若或时,此时,若为有理数(且),即,为大于的正整数,、为既约的正整数, 则,所以,故D正确;故选:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数(且)的图像一定过点____________.【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质计算可得.【详解】函数(且),令可得,即函数恒过点.故答案为:14.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】由对数式与分式有意义建立不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义,则,解得,且,故函数的定义域为.故答案为:15.记,那么__________.【答案】【解析】【分析】利用换底公式以及对数运算法则计算可得结果为.【详解】根据对数运算法则可知 ;故答案为:16.求“方程的解”有如下解题思路:构造函数.其表达式为,易知函数在上是减函数,且,故原方程存唯一解.类比上述解题思路,不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】类比题目构造函数过程,对不等式进行整理变形为,由其结果特征,构造函数,根据函数单调性,求解不等式.【详解】设,易知函数在上是增函数,不等式变形为,即,即,所以即,解得或,所以原不等式的解集为.故答案为:.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.求值:(1); (2)【答案】(1)(2)2【解析】【分析】(1)根据根式与分数指数幂的转化以及指数的运算性质化简求值即可.(2)根据对数的运算性质化简求值即可【小问1详解】【小问2详解】18.已知函数是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点,求函数的表达式;(2)解关于的不等式:;【答案】(1)(2)当时,;当时,【解析】【分析】(1)由指数函数定义和所过点列方程组求出表达式.(2)分别讨论和,结合指数函数的单调性求解.【小问1详解】因为函数是指数函数,且图象经过点,所以,即,函数的解析式为;【小问2详解】将带入不等式可得 ,当时,为减函数,则,解得,解集为当时,为增函数,则,解得,解集为19.已知函数.(1)当时,求该函数的值域;(2)若对于恒成立,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由,可得,利用换元法可转化为求的值域,利用二次函数性质可得其值域为;(2)将原不等式转化成对于恒成立,利用对勾函数单调性即可得.【小问1详解】由对数函数单调性可知,当时,,令,即可得,由二次函数性质可知当时,,当时,;因此可得当时,该函数的值域为.【小问2详解】 当时,可得,原不等式可化为对于恒成立,即可得对于恒成立,易知函数上单调递增,所以,因此只需即可,得;即的取值范围是.20.近年来,中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功,标志着中国在该领域已逐步达到世界一流水平.设火箭推进剂的质量为M(单位:t),去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m(单位:t),火箭的飞行速度为v(单位:),初始速度为(单位:),已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式:,其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度.假设,.(参考数据:,).(1)若,当火箭飞行速度达到第三宇宙速度(16.7)时,求相应的M;(精确到小数点后一位)(2)如果希望火箭飞行速度达到16.7,但火箭起飞质量的最大值为2000t,请问的最小值为多少?(精确到小数点后一位)【答案】(1)t(2)【解析】【分析】(1)根据题意可得,令运算求解;(2)根据题意可得,令整理可得,解不等式即可得结果【小问1详解】由题意可得:, 令,则(t),故当火箭飞行速度达到第三宇宙速度(16.7)时,相应的为t.【小问2详解】由题意可得:,令,则,∴,故的最小值为.【点睛】方法点睛:函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序(1)常见类型:与函数有关的应用题,经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题;(2)应用函数模型解决实际问题的一般程序读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答);(3)解题关键:解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.21.设函数且是定义域为的奇函数.(1)求的值:(2)已知,若,使成立.请求出最大的整数.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用奇函数性质可求得;(2)由可得,将不等式化简可得,利用换元法可得能成立,利用函数单调性即可得出的最大整数取值为.【小问1详解】根据题意可知,解得; 此时,经检验满足,即为奇函数,所以.【小问2详解】由可得,则不等式可化为,即,可得,易知函数在单调递增,令,所以,易知在上单调递增,即可知,根据题意可知,即可知的最大整数取值为.22.已知函数且,其反函数为.(1)若,求的解析式;(2)若函数值域为,求实数的取值范围;(3)定义:若函数与在区间上均有定义,且,恒有,则称函数与是上的“粗略逼近函数”.若函数和是上的“粗略逼近函数”,求实数的最大值.【答案】22.且.23.24.【解析】【分析】(1)根据指、对数函数互为反函数分析求解; (2)根据题意可知的值域包含,结合指数函数性质分析求解;(3)根据对数函数的真数大于0分析可得,根据题意结合对数函数单调性可得在上恒成立,结合二次函数性质分析求解.【小问1详解】由题意可知:且,若,则且.【小问2详解】若函数值域为,可知的值域包含,因为,则,即的值域为,可得,即,解得,所以实数的取值范围实数的取值范围.【小问3详解】因为且的定义域为,且,对于,可知,成立,对于,可知,解得,又因为,函数和是上的“粗略逼近函数”,则,即,且,在定义域内单调递减,可得在上恒成立,又因为开口向上,对称轴,可知在上上单调递增, 可得,解得,所以实数的最大值为.
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高中 - 数学
发布时间:2023-12-22 01:45:02
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