福建省福州市八县市一中2023-2024学年高一数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

2023-2024学年度第一学期八县（市、区）一中期中联考高中一年数学科试卷命题学校：福清一中命题教师：高一集备组考试时间：11月8日完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.2.以下选项正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则3.设，则“函数的图象经过点”是“函数在上递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知，则的值域是（）A.B.C.D.5.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.6.设函数，命题“存在”是假命题，则实数的取值范围是（） A.B.C.D.7.已知函数，下列推断正确的个数是（）①函数图像关于轴对称；②函数与的值域相同；③在上有最大值；④的图像恒在直线的下方．A.1B.2C.3D.48.若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列结论中错误的有（）A.集合的真子集有7个B.已知命题，则C.函数与函数表示同一个函数D.若函数的定义域为，则函数的定义域为10.已知为正实数，则下列说法正确的是（）A.的最小值为2B.若则的最大值是2．C.若则的最小值是8．D.若则的最大值是8．11.已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且在单调递增，则以下结论正确的是（）A.B.C.D.12.已知函数，则以下结论正确是（） A.当BC.若在上恒成立，则的最小值为6D.若关于的方程有三个不同的实数根则．第П卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13.不等式的解集为______．14.已知函数，若，则实数的值为______．15.若函数是奇函数，且，则______．16.已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设，已知集合，．（1）当时，求；（2）若，且，求实数的取值范围．18.已知函数．（1）求的值；（2）用定义证明函数在上为增函数；（3）若，求实数的取值范围．19.均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：． （1）证明不等式：.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）（2）若一个直角三角形的直角边分别为，斜边，求直角三角形周长的取值范围．20.福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当时，车流速度是车流密度的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．（1）当时，求函数表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．21.已知函数（1）若的解集是或，求实数的值；（2）当时，若时函数有解，求取值范围．22.设函数的定义域分别为，且Ü．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数．（1）若是在给定上延伸函数，且为奇函数，求的解析式；（2）设为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数．①证明：当时，．②判断在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有． 2023-2024学年度第一学期八县（市、区）一中期中联考高中一年数学科试卷命题学校：福清一中命题教师：高一集备组审核教师：林锦龙郑玉兰王妍考试时间：11月8日完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】应用集合的补集和并集的运算即可.【详解】依题得，则.故选：A2.以下选项正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识确定正确答案.【详解】A选项，若，如，则，所以A选项错误.B选项，若，，则，所以B选项错误.C选项，若，则，则，所以，所以C选项正确. D选项，若，则，，所以，所以D选项错误.故选：C3.设，则“函数的图象经过点”是“函数在上递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由幂函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】函数的图象经过点，则，因为，所以，所以，所以在上递减，而在上递减，函数的图象不一定经过点，如：.所以“函数的图象经过点”是“函数在上递减”的充分不必要条件.故选：A.4.已知，则的值域是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的表达式即可得出值域.【详解】由题意， 在中，设，即,∴即，在中，，开口向下，对称轴，∴，∴值域是，故选：A.5.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性的定义知，在上单调递减，在上单调递增，且，分与两种情况进行求解，得到答案.【详解】因为对任意的，有，所以在上单调递减，又为定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，且，当时，由得，故，当时，由得，故，综上：不等式的解集是.故选：D. 6.设函数，命题“存在”是假命题，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的真假性，利用分离常数法求得的取值范围.【详解】由于“存在”是假命题，所以“任意，”是真命题，即任意，，，令，的开口向上，对称轴为，所以当，即时，取得最小值为，所以故选：B7.已知函数，下列推断正确的个数是（）①函数图像关于轴对称；②函数与的值域相同；③在上有最大值；④的图像恒在直线的下方．A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】对于①，利用函数奇偶性定义判断出函数为偶函数，①正确；对于②，由两函数图象关系得到值域相同；对于③，变形后，结合对勾函数性质得到最值；对于④，先得到时，，换元后结合对勾函数性质得到函数值域，再由函数的奇偶性得到值域为，故④正确.【详解】对于①，的定义域为R， 且，故为偶函数，故函数图象关于轴对称，①正确；对于②，是由向左平移3个单位得到，故值域不改变，②正确；对于④，当时，，令，，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故，故，由①可知，为偶函数，故在R上的值域为，由于，故满足的图像恒在直线的下方，④正确；对于③，因为，则，在上单调递增，故，故的值域为，故在上有最大值为，③正确.故选：D8.若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围.【详解】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立，即至少存在一个，使得关于的不等式成立，画出以及的图象如下图所示，其中.当与相切时，由消去并化简得，.当与相切时，由消去并化简得①，由解得，代入①得，解得，不符合题意.当过时，.结合图象可知的取值范围是.故选：A 【点睛】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列结论中错误的有（）A.集合的真子集有7个B.已知命题，则C.函数与函数表示同一个函数D.若函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】BCD【解析】【分析】由集合元素个数与真子集个数间的关系可判断A项；由命题的否定可判断B项；求出两个函数的定义域可判断C项；根据抽象函数定义域的求法可判断D项. 【详解】对于A项，因为集合，所以该集合有个真子集，所以A项正确；对于B项，命题的否定，所以B项错误；对于C项，由得或，所以函数的定义域为，由得，所以函数的定义域为，由于函数与函数定义域不同，所以不是同一函数，所以C项错误；对于D项，由于函数的定义域为，所以，令得，所以函数的定义域为，所以D项错误.故选：BCD10.已知为正实数，则下列说法正确的是（）A.的最小值为2B.若则的最大值是2．C.若则的最小值是8．D.若则的最大值是8．【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，①，而无实数解，所以①的等式不成立，所以A选项错误.B选项，，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.C选项，，，当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，，当且仅当时等号成立，所以D选项错误.故选：BC11.已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且在单调递增，则以下结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】A选项，是奇函数，且在单调递增，则在上单调递增，所以，则，所以A选项正确.B选项，是偶函数，且在单调递增，则在上单调递减，所以，所以，所以B选项错误.C选项，，则，所以C选项正确.D选项，，但符号无法确定，所以大小关系不确定，所以D选项错误.故选：AC12.已知函数，则以下结论正确的是（）A.当B. C.若在上恒成立，则的最小值为6D.若关于的方程有三个不同的实数根则．【答案】AB【解析】【分析】根据题意，作出时，的图像，数形结合逐个判断即可.【详解】设时，则，所以，又，所以当时，；当时，则，所以，又，所以当时，；当时，则，所以，又，所以当时，；所以由此可知时，；作出函数的部分图象，如下图所示：则A正确，由图象可知，，所以，，，故B正确；在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示： 由图象可知，当时，恒成立，所以的最小值为4，故C错误；令，则，则方程等价于，即，所以，或（舍去），在同一坐标系中作出函数，函数和函数的图象，如下图所示：由图象可知，当时，即时，关于的方程有三个不同的实根，故D错误.故选：AB第П卷三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）13.不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可得到答案. 【详解】不等式，等价于，解得，所以不等式的解集为.故答案为：14.已知函数，若，则实数的值为______．【答案】或3【解析】【分析】根据列方程，从而求得的值.【详解】当时，由解得；当时，由解得.所以的值为或3.故答案为：或315.若函数是奇函数，且，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质即可求【详解】函数是奇函数，则，当时，，则，则.故答案为：16.已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是______．【答案】 【解析】【分析】先求得为真命题时的取值范围，再根据必要不充分条件求得的取值范围.【详解】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题，时，，符合题意；当时，，且，则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意；当时，由，解得，此时方程为符合题意；由解得，此时，则此时方程有两个负根，符合题意.综上所述，为真命题时，的取值范围是.若为真命题的一个必要不充分条件为，则.故答案为：【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设，已知集合，．（1）当时，求；（2）若，且，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根据并集和补集的概念即可求出结果； （2）由题意可得，解不等式组即可求出结果.【小问1详解】当时，，且，则，所以或；【小问2详解】因为，且，所以需满足，解得，所以实数的取值范围为.18.已知函数．（1）求的值；（2）用定义证明函数在上为增函数；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1））先求的值，再求的值即可；（2）利用定义法证明函数的单调性即可；（3）根据题意，由（2）中的结论，根据函数的单调性列出不等式，求解即可得到结果.【小问1详解】，【小问2详解】证明：任取，且, 在上为增函数.【小问3详解】若，则由（2）知，在上为增函数，，则实数的取值范围是.19.均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：．（1）证明不等式：.上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）（2）若一个直角三角形的直角边分别为，斜边，求直角三角形周长的取值范围．【答案】（1）证明见解析，三元形式见解析（2）【解析】【分析】（1）利用差比较法证得不等式成立.通过类比写出三元形式.（2）根据基本不等式求得的范围，进而求得三角形周长的取值范围.【小问1详解】要证即证，， ，即当且仅当时等号成立.三元形式：.【小问2详解】，由（1），当且仅当取“”，又，，所以三角形周长的取值范围.20.福清的观音埔大桥横跨龙江两岸是福清的标志性建筑之一，提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为50千米/小时，当时，车流速度是车流密度的一次函数．当桥上的车流密度达到150辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/时）．【答案】（1）（2）75辆/千米，2812辆/小时．【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组求得，进而求得.（2）根据函数的单调性以及二次函数的性质求得的最大值以及此时对应的的值.【小问1详解】由题意：当时，；当时，设再由已知得，解得 故函数的表达式为．【小问2详解】依题并由（1）可得，当时，为增函数，，当时，，即当时，在区间上取得最大值约为2812，即当车流密度为75辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为2812辆/小时．21.已知函数（1）若的解集是或，求实数的值；（2）当时，若时函数有解，求的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集列方程，由此求得的值.（2）化简不等式，通过直接讨论法或分离常数法，结合二次函数的性质或基本不等式求得的取值范围.【小问1详解】依题意，的解集是或，则，且是方程的两个根，所以，解得．【小问2详解】 时，在有解，即在有解，法一：因为的开口向上，对称轴①即时，函数取得最小值.②即时，当取得最小值，此时，解得或.又.③当即，当时取得最小值，此时不成立，即无解.综上，．法二：有解，当时不成立，当时，即在有解，，令，，当且仅当即取“”，，.22.设函数的定义域分别为，且Ü．若对于任意，都有，则称为在上的一个延伸函数．给定函数．（1）若是在给定上的延伸函数，且为奇函数，求的解析式；（2）设为在上的任意一个延伸函数，且是上的单调函数．①证明：当时，．②判断在的单调性（直接给出结论即可）；并证明：都有 ．【答案】（1）（2）①证明见解析；②单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性以及“延伸函数”的定义求得的解析式；（2）①通过差比较法证得不等式成立；②根据函数的单调性以及不等式的性质证得不等式成立.【小问1详解】依题可知，当时．则，，为奇函数，，.【小问2详解】①证明：当时，，.②当时且单调递增， 在上单调递增，，即，即，同理可得，将上述两个不等式相加可得．原不等式成立.【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.