天津市南开区2023-2024学年高三数学上学期阶段性质量检测（一）（Word版附解析）

2023-2024学年度第一学期阶段性质量监测（一）高三年级数学学科2023．11本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·球的表面积公式，其中R表示球的半径.·台体的体积公式，其中，S分别为上、下底面面积，h为台体高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）.A.B.C.D.2.命题p的否定为“，使得”，则命题p为（）．A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得3.已知函数部分图象如图，则函数的解析式可能为（）. A.B.C.D.4.“”的充要条件的是（）．A.B.C.D.5.已知，则（）A.B.C.D.6.已知函数，且，则（）A.B.C.D.7.圆台上、下底面的圆周都在一个表面积为的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（）．A.B.C.61D.1838.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论中：①函数为偶函数；②；③； ④曲线在处切线斜率为所有正确结论序号是（）A.①②B.①③④C.③④D.②③④9.对于任意的实数，总存在三个不同的实数y，使得成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）．A.B.C.D.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.若（为虚数单位），则__________．11.已知，则__________．12.棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，AB的中点，P为棱上一点，则三棱锥的体积为__________．13.已知，则__________，__________．14.在中，已知，点P是所在平面上一点，且，若，则__________；若，则取得最小值时，实数y的值为__________．15.已知函数，若方程至少有三个不同的实根，则实数a的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知集合. （1）若，求；（2）若，求实数m取值范围．17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知.（1）证明：；（2）求a；（3）求的值．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是棱PB上一点．（1）求证：平面平面PBC；（2）若E是PB的中点，（i）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．（ii）求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．19.设函数是定义域为的奇函数，且的图象过点.（1）求a，b的值；（2）设，若（为函数的导数），试写出符合上述条件的函数的一个解析式，并说明你的理由．20已知函数．（1）若曲线在处的切线斜率为1，求a的值；（2）讨论的零点个数； （3）若时，不等式恒成立，求a的最小值． 2023-2024学年度第一学期阶段性质量监测（一）高三年级数学学科2023．11本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·球的表面积公式，其中R表示球的半径.·台体的体积公式，其中，S分别为上、下底面面积，h为台体高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，，则（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由，，，则.故选：C2.命题p的否定为“，使得”，则命题p为（）．A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得 【答案】D【解析】【分析】根据特称命题否定是全称命题，写出对应命题即可.【详解】命题p的否定为“，使得”，所以命题，使得，故选：D3.已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性可排除BC，由特殊点可排除D，即可求解【详解】由于图像关于原点对称，所以为奇函数，对于B：由，得：，为偶函数，故可排除B；对于C：由，得：，为偶函数，故可排除C；由图知图象不经过点，而对于D：，故可排除D；故选：A4.“”的充要条件的是（）． A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合充要条件的定义逐个判断即可.【详解】由“”，解集为，A，解集为，A错误；B，由，解集，B正确；C，由，即，即，解集，C错误；D，由，即，即解集为，D错误.故选：B5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指对函数的单调性和中间值比较大小即可.详解】由，则，由，，则，由，则.则.故选：C6.已知函数，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】由题意得出，，从而确定，它们关于对称，从而可得结论．【详解】由已知，即，同理，又，即，，，，当时，，所以，所以，故选：B．7.圆台上、下底面的圆周都在一个表面积为的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（）．A.B.C.61D.183【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得球的半径和圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积.【详解】设球的半径为，则，则，圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为，则圆台的高， 据此可得圆台的体积：.故选：A.8.已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论中：①函数为偶函数；②；③；④曲线在处的切线斜率为所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③④C.③④D.②③④【答案】D【解析】【分析】由图象求得函数解析式，然后由正弦函数性质判断各选项①②③，利用导数的几何意义判断④．【详解】由题意，，，∴，又，又，∴，∴，不是偶函数，①错；是的最小值，②正确；，，当时可得是图象的一个对称中心，∴ ，③正确；，，④正确．正确的有②③④，故选：D．9.对于任意的实数，总存在三个不同的实数y，使得成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先分离，构造关于的函数，然后画出图像，根据图像有三个交点，求出参数的取值范围.【详解】，令，则，令，解得或者，令，解得，所以在和单调递增，在单调递减，如图所示， 要使得直线与函数有3个交点，则直线要在点上方，而，当且仅当时取到等号，所以，所以只需满足即可，故选：A【点睛】方法点睛：分离参数后再构造函数，由解的问题转化为两个函数交点问题是处理含参导数问题的常用方法.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.若（为虚数单位），则__________．【答案】【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及除法运算即可化简求解.【详解】由可得，所以， 故答案为：11.已知，则__________．【答案】##【解析】【分析】根据和差角公式，结合同角关系即可求解.【详解】由可得，所以，即，故答案为：12.棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，AB的中点，P为棱上一点，则三棱锥的体积为__________．【答案】1【解析】【分析】换底（顶点），即由计算．【详解】由题意到平面的距离等于，又，∴，故答案为：1. 13.已知，则__________，__________．【答案】①.②.【解析】【分析】令，求得后，由计算，由计算．【详解】∵，令，则，∴，．故答案：；．14.在中，已知，点P是所在平面上一点，且，若，则__________；若，则取得最小值时，实数y的值为__________．【答案】①.②.##0.625【解析】【分析】根据向量的线性运算即可求解空1，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质即可求解最值.【详解】,所以，故，当时，，，由于，所以，故当时，此时，故最小，故答案为：，15.已知函数，若方程至少有三个不同的实根，则实数a的取值范围是__________． 【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，利用两函数图象的交点个数，结合参数对应的几何意义求参数范围即可.【详解】由题意知，，则是偶函数，则其图象关于轴对称.令，解得（舍），或.此时，，令，解得.此时，，则当时，；当时，；由函数的解析式与图象的对称性作出函数的图象.直线过定点，且为直线的斜率，若方程至少有三个不同的实根，则直线与的图象至少有三个公共点，由图可知，解得，故答案为：. 三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换将函数化简，结合正弦型函数的值域即可化简集合，再由集合的运算，即可得到结果；（2）根据题意，分，以及讨论，即可得到结果.【小问1详解】，因为，所以，所以，即.若，则， 从而或．所以．【小问2详解】，①当，即时，，所以．②当，即时，，所以．③当，即时，，若，则，所以.综上，.17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知.（1）证明：；（2）求a；（3）求的值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理将原式化简，再由正弦定理可得，即可证明；（2）由结合余弦定理即可得到结果；（3）由条件可得，然后结合两角差的余弦公式及诱导公式计算即可得到结果.【小问1详解】因为，所以由余弦定理可得， 即又由正弦定理，得，因为角A，B为的内角，所以．【小问2详解】由（1）知，所以．又，由余弦定理，得，即，解得.【小问3详解】由，得，因为，因为，所以B为锐角，所以.所以.18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是棱PB上一点．（1）求证：平面平面PBC；（2）若E是PB的中点，（i）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． （ii）求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（i）；（ii）．【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由两平面的法向量垂直得证两平面垂直；（2）（i）由空间向量法求线面角；（ii）由空间向量法求面面角.【小问1详解】因为，取AB中点M，连接CM，则，又平面ABCD，平面ABCD，所以，故以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，则，所以．因为，所以，所以平面PBC，即为平面PBC的法向量．设，则．设平面EAC的法向量为，， 则即令，则．因为，所以平面平面PBC．【小问2详解】因为E是PB的中点，所以．（i）设直线PA与平面EAC所成角为，则，故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．（i）显然平面PDC的法向量为，设平面PDC和平面EAC的夹角为，则．故平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为．19.设函数是定义域为的奇函数，且的图象过点.（1）求a，b的值；（2）设，若（为函数的导数），试写出符合上述条件的函数的一个解析式，并说明你的理由．【答案】（1）2（2），理由见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和过定点，代入即可；（2）结合奇函数和单调性性，可化为对恒成立，整理的，分与讨论即可. 【小问1详解】因为是定义域为的奇函数，所以，即，整理得，解得，所以，又的图象过点，则，解得或，又，且，所以．【小问2详解】因为为奇函数，所以，得．由（1）可得，，因为，所以为上的单调递增函数，所以对恒成立．因为，，所以，整理得，*当时，左边是一个一次因式乘一个恒正（或恒负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，所以．所以*式化为恒成立， 所以．①若，则；②若，则，即，与矛盾，舍去．综上，，所以为满足条件的的一个解析式．（答案不唯一）20.已知函数．（1）若曲线在处的切线斜率为1，求a的值；（2）讨论的零点个数；（3）若时，不等式恒成立，求a最小值．【答案】（1）（2）答案见解析（3）．【解析】【分析】（1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可；（2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数；（3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据最小时为负确定单调性区间，最后求出的最小值.【小问1详解】，依题意，，解得．【小问2详解】零点的根．设，①当时，没有零点； ②当时，，所以在内是增函数．取，取，所以在上有且仅有一个零点；③当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，从而．当时，没有零点；当时，在上有且仅有一个零点；当时，，取，取，所以在上有两个零点．综上，当时，没有零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点．【小问3详解】，构造函数，则．而，令，解得，此时单调递增，令，解得，此时单调递减，而当时，，与1的大小不定，但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，此时 ．因为当时，单调递减，故，两边取对数得，，所以，令，则，令得，，令得，，所以在单调递增，在单调递减，所以，故a的最小值是．【点睛】关键点睛：本题难度大，需要不断的化简最后同构得到相关函数，再通过相关函数的单调性求解参数，要求较高.