吉林省长春市东北师大附中2024届高三数学上学期二模试题（Word版附解析）

数学试题试题满分：150分考试时间：120分钟一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.命题“，函数是偶函数”的否定是（）A.，函数不是偶函数B.，函数不是偶函数C.，函数奇函数D.，函数是奇函数3.已知函数为奇函数，则的值是（）A.0B.C.12D.104.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（）A.43B.44C.45D.465.函数在区间上的图象大致为（）A.B.C. D.6.在中，角所对边分别为.已知，：是等腰三角形.则是的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知为正实数，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知函数的定义域为，且，，则的值是（）A.9B.10C.11D.12二.选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若、、，则下列命题正确的是（）A.若且，则B.若，则C.若且，则D10.已知函数，则满足的整数的取值可以是（）A.B.0C.1D.211.已知函数任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为 ，若将曲线的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（）A.B.直线为曲线的一条对称轴C.若在单调递增，则D.曲线与直线有5个交点12.已知函数，，则（）A.函数在上无极值点B.函数在上存在极值点C.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值D.若，则的最大值为三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数的图像在处的切线方程是，则______．14.设定义在上且，则______．15.已知，，则______．16.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米. 四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为是函数一个零点.（1）求；（2）在中，角的对边分别为，求面积的最大值.18.已知正项数列前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，求证：．19.年月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的个项目中任意选一项训练．（1）若该男生进行了天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；（2）设该男生在考前最后天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为，求的分布列及数学期望．20.如图，在四棱锥中，，，，平面平面. （1）求证：面；（2）点在棱上，设，若二面角余弦值为，求.21.已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点.（1）求双曲线的方程；（2）已知点，设过点的直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，，当时，求直线的斜率.22.已知函数.（1）讨论函数的极值点个数；（2）若，最小值是，求实数的取值范围. 数学试题试题满分：150分考试时间：120分钟一.选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为或，又因为，因此，.故选：B.2.命题“，函数是偶函数”的否定是（）A.，函数不是偶函数B.，函数不是偶函数C.，函数是奇函数D.，函数是奇函数【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题易得.【详解】因为命题“，函数是偶函数”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即“，函数不是偶函数”.故选：B.3.已知函数为奇函数，则的值是（）A.0B.C.12D.10【答案】D【解析】【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出. 【详解】因为函数为奇函数，所以，即，即或，显然函数的定义域为关于原点对称，且当时，有，从而有，当时，有，但，所以，即，所以.故选：D.4.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（）A.43B.44C.45D.46【答案】C【解析】【分析】由条件列式确定参数，再结合对数运算解方程即可.【详解】由题意可得，即，解得，令，即，两边取对数得，所以，即， 解得，故选：C5.函数在区间上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性排除D，再取特值排除AB.【详解】因为，关于原点对称，，所以函数为奇函数，故D错误；因为，所以，所以，故A错误；因为，所以，所以，故B错误；故选：C.6.在中，角所对的边分别为.已知，：是等腰三角形.则是的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】在中，若，由正弦定理，得，所以，所以，所以为等边三角形，若命题成立，则是等腰三角形，即命题成立；反之，为等腰三角形，不一定为等边三角形，如在中，，，则不成立，所以是：是等腰三角形的充分不必要条件.故选：B.7.已知为正实数，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用，结合可得，进而可得答案.【详解】因为为正实数，则，即，所以或，所以或.的取值范围是，故选：D.8.已知函数的定义域为，且，，则的值是（） A.9B.10C.11D.12【答案】D【解析】【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解．【详解】中令，则，中令，，则，又中令，则，所以，中，令，则，再令，，则．故选：D二.选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若、、，则下列命题正确的是（）A.若且，则B.若，则C.若且，则D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项.【详解】对于A选项，若且，取，，则，A错；对于B选项，若，则，B对；对于C选项，若且，则，则，故，C错；对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，故，D对.故选：BD.10.已知函数，则满足的整数的取值可以是（）A.B.0C.1D.2【答案】BCD【解析】【分析】由函数的单调性与奇偶性转化后求解．【详解】由题意得，故为偶函数，而，当时，，故在单调递增，在单调递减，若，则，得，即，解得故选：BCD11.已知函数任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为，若将曲线的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称，则（）A.B.直线为曲线的一条对称轴C.若在单调递增，则D.曲线与直线有5个交点【答案】ABD【解析】【分析】根据周期可得，进而根据对称可得，即可求解A，代入验证即可判断B，根据正弦函数的单调性，即可求解C，根据函数的对称性，结合函数图象即可判断D. 【详解】由题意，故，又的图象向左平移个单位得到，所以，且，故，A正确；因为，且为最小值，所以直线为曲线的一条对称轴，B对；令,故易知在单调递增，故，C错；直线与曲线均过点，且该直线与曲线均关于该点中心对称，当时，，当时，，由对称性可知曲线与直线有5个交点，故D对．故选：ABD．12.已知函数，，则（）A.函数在上无极值点B.函数在上存在极值点C.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值D.若，则的最大值为【答案】ACD【解析】 【分析】对求导后，根据导函数正负可确定的单调性，由极值点定义可知AB正误；由单调性可得，分离变量后，可知，利用导数可求得，知C正确；采用同构法可确定，可将化为，令，，利用导数可求得最大值，知D正确.【详解】对于A，定义域为，，令，则，当时，；当时，；，即在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，无极值点，A正确；对于B，定义域为，，令，则，当时，；当时，；，即上单调递减，在上单调递增，，上单调递增，无极值点，B错误；对于C，由A知：在上单调递增，由得：，则当时，，令，则，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，，，即的最小值为，C正确；对于D，若，则，，，，由AB知：均为定义域上的增函数，，，由得：，，；令，则，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即的最大值为，D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数的图像在处的切线方程是，则______．【答案】10【解析】【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.【详解】由已知切点在切线上，所以，切点处的导数为切线斜率，所以，所以. 【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.14.设定义在上且，则______．【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式一一计算可得.【详解】因为，所以，，同理可得.故答案为：15.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】由二倍角正切公式可求得，由，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】，，.故答案为：.16.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足，且AC长度为3 百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道、以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.【答案】【解析】【分析】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值.【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：.由对称性，设，又，，所以，，易知，所以的长为.又，故，故，令且，则，，所以 -0+单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值.故答案为：.四.解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为是函数一个零点.（1）求；（2）在中，角的对边分别为，求面积的最大值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据周期求出，再根据零点和的范围即可；（2）代入求出值，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.【小问1详解】依题意，周期，所以，由题意得，解得，而，所以取，.【小问2详解】因为，所以， 因为，所以，则，由余弦定理得，因为，则，所以（当且仅当时，有最大值4），因为，所以面积的最大值为.18.已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用和与项的关系可求得，从而利用等差数列的通项公式即可求解；（2）由（1）知，从而利用裂项相消法求得，从而可证.【小问1详解】∵，当时，，两式相减得：，整理得，∵，∴，当时，，∴（舍）或，∴是以1为首项，1为公差的等差数列，则；【小问2详解】 由（1）知，，∴，∵，∴，即．19.年月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的个项目中任意选一项训练．（1）若该男生进行了天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；（2）设该男生在考前最后天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为，求的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）分别考虑第一天训练的是和不是“篮球运球上篮”的情况，根据古典概型概率公式可分别求得对应的概率，加和即可求得结果；（2）分别求得每个可能的取值对应的概率，进而确定分布列；根据数学期望公式可求得期望.【小问1详解】记第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天也是训练“篮球运球上篮”为事件；第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天是训练“篮球运球上篮”为事件；由题意知：三天的训练过程中，所有可能的情况有：种，，，第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率. 【小问2详解】由题意知：所有可能的取值为，考前最后天训练中，所有可能的情况有：种；当时，第一天有种选择，之后每天都有种选择，；当时，若第一天选择“羽毛球对拉高远球”，则第二天有种选择，之后每天只有种选择，共种选择；若第二天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有种选择，第三天种，之后每天只有种选择，共种选择；第三天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有种选择，第二天有种选择，第三天种选择，第四天有种选择，第五天有种选择，共种选择；第四天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有种选择，第二天，第三天，第四天均只有种选择，第五天有种选择，共种选择；第五天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有种选择，第二天，第三天，第四天，第五天都只有种选择，共种选择；；当时，只有第一天，第三天，第五天，选择“羽毛球对拉高远球”，共有种选择，；，的分布列为：. 20.如图，在四棱锥中，，，，平面平面.（1）求证：面；（2）点在棱上，设，若二面角余弦值，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据四边形为平行四边形可得，知，由面面垂直和线面垂直性质可得，结合可证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可构造方程求得.【小问1详解】取中点，连接，，，，四边形为平行四边形，，又，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，即，又，平面，平面. 【小问2详解】取中点，连接，，，平面平面，平面平面，平面，平面，以为坐标原点，正方向为轴正方向，作轴平行于直线，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；平面轴，平面的一个法向量，，解得：，满足，.21.已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点.（1）求双曲线的方程；（2）已知点，设过点的直线交于，两点，直线，分别与轴交于点， ，当时，求直线的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得双曲线方程.（2）设出过点的直线方程，然后与双曲线方程联立，结合韦达定理即可解决直线与双曲线的相交问题.【小问1详解】设曲线的方程为，由曲线过，两点，得，解得，所以曲线的方程为.【小问2详解】由题意可设过点的直线方程为，由消去，得，则且，解得①设，则有②设直线的方程为，令得，所以直线与轴交点的坐标为，同理可得直线的方程为，令得， 所以直线与轴交点的坐标为.由题意可知，所以，，整理得，所以，即所以③将②代入③得，整理得，解得满足①式，综上，.22.已知函数.（1）讨论函数的极值点个数；（2）若，的最小值是，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，恰有个极值点；当时，恰有个极值点；（2） 【解析】【分析】（1）求出的导数，按和分类讨论，并借助零点存在性定理推理作答即可；（2）利用（1）中信息，按和探讨，利用导数研究函数的最小值求解即可.【小问1详解】函数的定义域为，所以，令，则，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，故，①时，，则，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有个极小值点；②时，，因为令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故，所以，当时取等号.当时，，此时，使得，令，有，令，，在上单调递增，即， 即有，即在上单调递增，即，所以，当时，，此时，使得，因此，，单调递减，，，单调递增，，，单调递减，，，单调递增，所以由个极值点；所以当时，恰有个极值点；当时，恰有个极值点；【小问2详解】由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，令，则，函数在上单调递增，，则，当时，，使得，，使得，所以上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其中，即，所以，而符合要求，所以，综上可得，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：在研究极值问题时，根据导函数的零点情况对分类讨论是关键，函数 的导函数的零点无法直接求解时，利用零点存在定理确定零点的范围是关键一步，另一种解法中，遇到指数对数混合的不等式时，利用切线放缩是常常能够起到简化的作用的方法.