重庆市第十一中学2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

重庆市第十一中学校教育集团高2025届高二上期期中考试数学试题注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟2．答卷前考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知两点，，则直线的斜率为A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接应用斜率公式计算即可．【详解】已知两点，，由斜率公式得.故选：C【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．2.在棱长为1的正四面体中，直线与是（）．A.平行直线B.相交直线C.异面直线D.无法判断位置关系【答案】C【解析】【分析】利用异面直线的判断方法判断即可.【详解】作出正四面体，如图， 因为平面，平面，，平面，所以与是异面直线.故选：C.3.已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.【详解】选项：由线面垂直的性质定理可知正确；选项：由线面垂直判定定理知，需垂直于内两条相交直线才能说明，错误；选项：若，则平行关系不成立，错误；选项：的位置关系可能是平行或异面，错误.故选：【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.4.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（）A.B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】先得到双曲线的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到和的关系， 求出离心率，得到答案.【详解】双曲线的渐近线为因为两条渐近线均与圆相切，所以点到直线的距离等于半径即，又因为整理得到，故双曲线C的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题.5.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为上一点，且，则异面直线与所成的角的大小为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角的大小. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，，因此，异面直线与所成的角的大小为.故选：B.6.如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆的右焦点为，连接，由可得，可求得，由椭圆的定义可求得，利用之间的关系可求得，即可得到答案【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接， 因，所以，所以，由椭圆的定义可得，则，又因为，所以，所以椭圆的方程为，故选：D7.已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值分别为（）A.、B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据目标式的几何意义：圆上点与原点所成直线的斜率，结合直线与圆关系求其最值即可.【详解】圆，圆心，半径为，令，即，的最值，是圆心到直线的距离等于半径时的k值，∴，解得，∴的最大值为，最小值为．故选：B8.已知双曲线虚轴的一个顶点为D，分别是C的左，右焦点，直线与C交于A，B两点．若的重心在以为直径的圆上，则C的渐近线方程为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】不妨取，再求得两点的坐标为，从而求得重心的坐标为，进而得到，解得，由此得解.【详解】因为双曲线，则其虚轴上的顶点为，不妨取，联立，解得，则两点的坐标为，所以的重心的坐标为，即，因为△ABD的重心在以为直径的圆上，而为直径的圆的方程为，所以，解得，所以的渐近线方程为.故选：D.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）9.在正方体中，点是底面的中心，则（）A.平面B.与成角为30ºC.D.平面【答案】ABC【解析】【分析】A.由，得到是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理判断；B.根据，得到为所成的角判断；C.由正方体的特征，得到平面 判断；D.由判断；【详解】如图所示：A.因为，是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故正确；B.因为，所以为所成的角，又平面，则，设棱长为a，则，因为，则，故正确；C.因为，所以平面，则，故正确；D.因为，，所以不垂直，则与平面不垂直，故错误；故选：ABC10.设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（）A.B.离心率C.短轴长为2，长轴长为4D.不可能是钝角【答案】AD【解析】【分析】利用椭圆定义及性质逐一判断即可.【详解】椭圆， ，，A正确；离心率，B错误；短轴长为，长轴长为，C错误；当点P在椭圆短轴端点处时，最大，此时，得，故不可能是钝角，D正确.故选：AD.11.给出下列命题，其中正确的是（）A.若直线l的方向向量，平面α的法向量，则∥；B.若平面α，β的法向量分别为，则；C.若平面α经过三点，向量是平面α的法向量，则；D.若点，点C是A关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为【答案】BC【解析】【分析】对于A：通过计算以及线面平行的判定来判断；对于B：通过计算来判断；对于C：通过计算以及来得答案；对于D：求出对称点，然后利用距离公式计算．【详解】对于A：，则，又直线l可能在平面α外，也可能在平面α内，故∥或，A错误；对于B：，则，B正确；对于C：，向量是平面α的法向量，则，解得，，C正确； 对于D：点C是A关于平面yOz的对称点，且，得,则，D错误．故选：BC．12.随着我国航天科技快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（）A.C的渐近线方程为B.过点作，垂足为H，则C.点N的坐标为D.四边形面积的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；根据双曲线的光学性质可推得点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断B项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.【详解】对于A项，由已知可得，，所以双曲线的渐近线方程为，故A项正确；对于B项，如图， ，且满足，所以直线的方程为，联立化简得，由于，即为双曲线的切线.由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.则垂直平分，即点为的中点.又是的中点，所以，故B项正确；对于C项，设，则，整理可得.又，所以有，所以有，解得，所以点的坐标为，故C项错误； ，当且仅当，即时，等号成立.所以，四边形面积的最小值为，故D项正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用光学性质得点为的中点，结合双曲线的定义求解，注意平面几何的特性是解决此类问题的捷径.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13.两平行直线与之间的距离为______.【答案】##【解析】【分析】根据两条平行直线间距离公式，即可得解.【详解】将直线化为，所以这两条平行直线间的距离为.故答案为：.14.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】直接根据椭圆标准方程与椭圆焦点位置的关系列不等式求解.【详解】方程，即表示焦点在y轴上的椭圆，得， 解得.故答案为：.15.如图，在长方体中，且，为棱上的一点．当取得最小值时，的长为______．【答案】【解析】【分析】将侧面、侧面延展至同一平面，分析可知，当点、、三点共线时，取最小值，推导出点为棱的中点，再利用勾股定理可求得线段的长.【详解】将侧面、侧面延展至同一平面，如下图所示：当点、、三点共线时，取最小值， 在上图矩形中，，，则，即，此时，点为的中点，如下图所示，连接，易知四边形是边长为的正方形，则，因为平面，平面，所以，，又因为为的中点，所以，，由勾股定理可得.故答案为：.16.设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______．【答案】##0.6【解析】【分析】由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率.【详解】由题意得， 由正弦定理得，故，由椭圆定义可知，，故，又，由余弦定理得，即，解得，故，解得，因为，所以，解得.故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边上的高所在的直线方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）5【解析】【分析】（1）写出BC边所在的直线的斜率，即可求出BC边上高的斜率，根据点斜式写出方程；（2）利用点到直线的距离求三角形的高，再根据两点间的距离求三角形的底BC，即可得解.【详解】（1）直线的斜率，则边上高所在直线斜率，则边上的高所在的直线方程为，即.（2）的方程为，.点到直线的距离，，则的面积【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，垂直直线斜率间的关系，点到直线的距离，属于中档题.18.已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.【小问1详解】 .直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为.【小问2详解】设圆的标准方程为，则，所以圆标准方程为.19.直三棱柱中，，D为线段AB上一动点．（1）当D为线段AB的中点时．证明：平面（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）利用勾股定理可得，从而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即可得解.【小问1详解】连接，交于点，连接，如图，四边形为平行四边形，为的中点，又为的中点，， 平面，平面，平面.【小问2详解】因为，所以，故，又在直三棱柱中，平面，则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图，则，，，，设，由得：，即，解得，，，，，设平面的法向量，则，令，则，，，又，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为..20.已知双曲线，点在E上． （1）求E的方程；（2）过点的直线l交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）将点坐标代入，即可得出答案；（2）设出的方程为，联立直线与双曲线的方程得出，根据已知求出的范围.设，进而根据韦达定理得出的关系，表示出斜率，求和化简即可得出答案.【小问1详解】将点代入双曲线方程可得，，解得，所以，E的方程为.【小问2详解】由已知易得直线的斜率一定存在，设斜率为，则的方程为.联立直线与双曲线的方程，整理可得，则，解得且.设， 由韦达定理可得，则.21.如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知．（1）求证：；（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）先得到面，则，再过作于，由勾股定理得到，由此可证明； （2）分别以方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出线段BE上存在一点P，使得平面平面BCEF．【小问1详解】平面平面，平面平面，又，平面，面，平面，，过作于，则，又，面，面，又面，；【小问2详解】由（1）知两两垂直，分别以方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，则，假设在线段BE上存在一点P，使得平面平面BCEF设，则， 设平面的一个法向量为，由得，取得，设平面BCEF的一个法向量为，，，得，取得，平面平面BCEF，解得，，即在线段BE上存在一点P，使得平面平面BCEF，且.22.已知椭圆的离心率为，点为A椭圆C的右顶点，点B为椭圆上一动点，O为坐标原点，若面积的最大值为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）当点为椭圆短轴端点时，面积最大，从而得到关系，结合离心率，，求出，，得到椭圆方程. （2）设，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由弦长公式求弦长，再由点到直线的距离求点到直线的距离，写出三角形面积公式，再利用换元法，结合二次函数求最值.【小问1详解】当点为椭圆短轴端点时，面积的最大值为1，此时，即，又因为，，所以，，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】联立，消得，由，得， 设，，则，，因为，所以，所以，即，即，因为，即，点到直线的距离为，，令，所以，，，所以当时，即时，面积最大，最大值为1.