重庆市第十一中学2023-2024学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

重庆市第十一中学校教育集团高2026届高一上期期中考试数学试题注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集概念进行求解.【详解】.故选：C2.全称量词命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“”否定是“”.故选：A3.函数的定义域为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据解析式的特征，直接列式即可得解.【详解】因为，所以，解得且.所以函数的定义域是.故选：D.4.若函数，则的解析式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接利用换元法可得答案，解题过程一定要注意函数定义域.【详解】令，则，，因为，所以，则，故选：D.5.设奇函数的定义域为，当时，函数的图象如图所示，则使的的取值集合为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的图象特征补全的图象，从而结合图象即可得解.【详解】因为函数是奇函数，所以在上的图象关于坐标原点对称，由在上的图象，知它在上的图象，如图所示，所以使的的取值集合为.故选：B.6.若，且，则下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据特殊值以及基本不等式求得正确答案.【详解】当时，，，，所以，，，ABC选项错误.，当且仅当时等号成立，D选项正确.故选：D7.设为给定的一个实常数，命题，则“”是“命题为真命题”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出命题为真命题时，进而判断出答案.【详解】由题意得对恒成立，其中，故在处取得最大值，最大值为4，故，即命题为真命题时，由于，但，故则“”是“命题为真命题”的充分不必要条件.故选：A8.已知函数满足条件：在R上是减函数，若，使成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将问题转化为能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解.【详解】因为，所以，，所以，可化为，因为在R上是减函数，所以，所以问题转化为，使成立，即，则，因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以当或时，取得最大值， 所以，即.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列各项中，与表示的函数相等的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案.【详解】对于A，，定义域为R，，定义域为R，但对应法则与前者不同，故两函数不相等，故A错误；对于B，由得，故的定义域为，由得，故的定义域为，又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确；对于C,定义域为R，定义域为，故两函数不相等，故C错误；对于D，，，两函数相等，故D正确.故选：BD.10.若集合，若，则实数可能是（）A.B.1C.2D.5【答案】ABC【解析】【分析】解不等式求得集合，根据求得的取值范围，进而求得正确答案. 【详解】由解得，所以，由于，所以，所以ABC选项正确，D选项错误.故选：ABC11.下列说法正确的是（）A.函数的最大值是B.函数的最小值是2C.函数的最小值是6D.若，则的最小值是8【答案】ACD【解析】【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，对于函数，，当且仅当时等号成立，所以A选项正确.B选项，，当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误.C选项，对于函数，，，当且仅当时等号成立，所以C选项正确.D选项，由基本不等式得，所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确.故选：ACD12.德国数学家狄里克雷（Dirichlet，PeterGustavLejeune，1805～1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（）A.B.的值域为C.图象关于直线对称D.图象关于点对称【答案】BC【解析】【分析】AB选项可根据题意直接得到，C可分为有理数和无理数两种情况推导；D选项，可举出反例.【详解】A选项，因为0为有理数，故，A错误；B选项，由题意得的值域为，B正确；C选项，当为有理数时，，此时图象关于直线对称，当为无理数时，，此时图象关于直线对称，综上，图象关于直线对称，C正确.D选项，由于，且不关于对称，D错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设函数，则__________．【答案】6【解析】【分析】代入分段函数解析式求解即可. 【详解】由题意，.故答案为：614.重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是_________．【答案】【解析】【分析】根据集合的知识求得正确答案.【详解】设只喜欢“大阅读”的有人，两者都喜欢的有人，只喜欢“科技嘉年华”的有人，则，解得.故答案为：15.已知实数，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】利用不等式的基本性质即可得解.【详解】因为，所以， 又，所以，故所以的取值范围为.故答案为：.16.已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，则的取值范围__________.【答案】【解析】【分析】先讨论，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论，画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果.【详解】若，当时，恒成立；当时，由得；即仅有一个根；所以由可得，则；即方程仅有一个实根；故不满足有8个不同的实根；若时,画出的大致图象如下，由可得，，，又有8个不同的实根， 由图象可得，显然有三个根，显然有两个根，所以必有三个根，而，，为使有三个根，只需，解得；综上可知，.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．17.设，集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到和或，利用交集概念求出答案；（2）根据交集为空集得到不等式，求出实数的取值范围.小问1详解】，时，，故或，故或；【小问2详解】 显然，因为，所以或，解得或，故实数的取值范围为.18.已知函数（为实数），，且_________．请在下列三个条件中任选一个，补充在题中的横线上，并解答.①；②值域为；③的解集为；（1）求的解析式；（2）当时，是单调函数，求实数的取值范围；注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②③，答案均为（2）【解析】【分析】（1）选①，得到方程组求出，，求出解析式；选②，根据函数值域及得到方程组，求出解析式；选③，由二次函数图象分析得到，结合得到，，求出答案；（2）转化为在上单调，结合函数对称轴得到不等式，求出答案.【小问1详解】选①，，因为，所以，解得，故；选②，的值域为，即由于，所以，解得，故； 选③，的解集为，故，由于，所以，即，故，解得，故，解析式.【小问2详解】在上单调，其中的对称轴为，故需满足或，解得或，故实数的取值范围是.19.已知函数．若为R上的奇函数且.（1）求；（2）判断在上单调性，并用单调性的定义证明.【答案】（1），；（2）单调递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定的函数式，利用奇函数的定义求出b，由求出a即得.（2）由（1）求出并判断单调性，再利用定义证明即得.【小问1详解】由为R上的奇函数，得，即，则，解得，又，则，解得，所以，.【小问2详解】 由（1）知，则，函数在上的单调递增，，，因为，则，，有，即，所以函数在上的单调递增.20.我校在一个月内分批购入每张价值为200元的书桌共360张，若每批都购入台（是正整数），且每批均需付运费400元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比.若每批购入40张书桌，则该月需用的运费和保管费共5200元．（1）求该月购入书桌时需用的运费和保管费的总费用；（2）为使得该月购入书桌所需的运费和保管费最少，应如何安排每批进货的数量？【答案】（1），（2）每批进货的数量为【解析】【分析】（1）假设题中比例为，由题意列出关于的表达式，再代入已知条件求得，从而得解.（2）结合（1）中解析，利用基本不等式即可得解.【小问1详解】设题中的比例系数设为，每批购入台，则共需分批，每批书桌价值元，则，，因为当时，，所以，解得，所以，.【小问2详解】 由（1）可得：（元）当且仅当，即时，等号成立，所以每批进货的数量为.21.已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2．（1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a，b的值；（2）若b＝2，a＞0，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．【答案】（1）a＝﹣1，b＝2（2）见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【小问1详解】由题意知，﹣1和3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的两根，所以，解得a＝﹣1，b＝2；【小问2详解】当b＝2时，不等式ax2+bx﹣a+2＞0为ax2+2x﹣a+2＞0，即（ax﹣a+2）（x+1）＞0，所以，当即时，解集为；当即时，解集为或；当即时，解集为或.22.对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为 ，则称区间为函数的“最美区间”.（1）求函数的“最美区间”；（2）若存在最美区间函数，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）推导出，，结合上单调递增，得到，，求出，，得到答案；（2）根据在上单调递增，得到，转化为为方程在上两个不等的实根，且，平方后，数形结合得到不等式，求出实数的取值范围.【小问1详解】因为，在上的值域为，故，因为，所以，故在上单调递增，所以，即，解得或0（舍去），所以，同理，解得或1（舍去），综上，的“最美区间”是；【小问2详解】令，解得，故的定义域为，且在上单调递增，故，， 即为方程在上两个不等的实根，且，，两边平方得，令，需满足，解得，故实数的取值范围是．