江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高一数学上学期期中联考试题（Word版附答案）

2023-2024学年度秋学期四校期中联考试卷高一数学考生注意：客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1.集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x–7≥8–2x}，则A∪B=()A.[3,4)B.[2,+∞)C.(－∞,3]D.[2,3]2.命题：“∀n∈Z，n∈Q”的否定是()A.∀nZ，n∈QB.∀nZ，nQC.∃nZ，nQD.∃n∈Z，nQ3.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　)A.－1B．0C．1D．无法确定4.下列命题为真命题的是()A.若a>b>0，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a<b<0，则a2>ab>b2D.若a<b，则>5.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m–1)xn的图像上，则n－=()A.B.C.8D.96.已知函数g()=x+4–6，则g(x)的最小值是()A.–6B.–8C.–9D.–107.若0<a<，则+的最小值为()A.3+2B.3–2C.4D.48.已知函数f(x)为R上的单调递增函数，f(0)=，任意x，y∈R，都有f(x)f(y)=f(x+y+1)，则不等式f(2x2+x)f(–3x2+4x–2)>4的解集为()A.{x|x<1或x>4}B.{x|1<x<4}C.{x|x<–1或x>4}D.{x|–1<x<4}二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分) 9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有(    )A.f(x)=1与g(m)=1B.f(x)=x2与g(x)=C.f(x)=与g(x)=D.f(x)=x2–1与g(x)=(x+1)2–2(x+1)10.下列说法正确的是(    )A.若x>0，则2–3x–的最小值为2–4B.已知集合A,B均为实数集R的子集，且CRB⊆A，则(CRA)∪B=BC.对于函数y=f(x)，x∈R,“y=f(x+1)是偶函数”是“y=f(x)的图象关于直线x=1轴对称”的充要条件D.若命题“∃x∈R，x2–mx+1<0”的否定是真命题，则实数m的取值范围是–2<m<211.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.则()A.当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少应该为22m2.B.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好.C.若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定会变差.D.若窗户面积和地板面积都增加原来的a%，其中a>0，公寓采光效果不变.12.已知函数f(x)=，则下列说法正确的是(    )A.当m=1时f(x)的单调减区间为(–∞,1]∪[2,+∞)B.函数f(x)为R上的单调函数，则m≤0C.若f(x–1)>f(x)恒成立，则实数m的取值范围是(–∞,)D.对∀x1,x2∈[m,+∞)，不等式f()≥恒成立三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分)13.设函数f(x)＝则f(3)=________________.14.已知函数f(x)=x2–kx–8在(5,6)上具有单调性，则实数k的取值范围是________. 15.若函数f(x)的定义域为(0,8)，则函数g(x)=的定义域为          ．16.函数y=f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)–b为奇函数.根据以上结论，函数f(x)=x3–x2，则f(x)的对称中心是_________，若n为正整数，则f(–n)+f(–n+1)+f(–n+2)+······+f(0)+f(1)+······+f(n+2)=__________.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题10分)(1)计算：–(–0.9)0–+(2)已知+=3，求18.(本小题12分)已知集合A={x|3≤3x≤27}，集合B={x|–x2+x+2>0}，设全集U=R(1)求A,B,CU(A∩B).(2)已知关于x的不等式x2–mx<2x–2m的解集为C，若C⊆A，求实数m的取值范围．19.(本小题12分)(1)已知a,b,c,d∈R,试比较(a2+b2)(c2+d2)与(ac+bd)2的大小，并给出证明.(2)求函数f(x)=+的最大值.20.(本小题12分)如图，P是矩形ABCD对角线BD上一点，过P作PM⊥AB，PN⊥AD，分别交AB、AD于M、N两点.(1)当AB=3，AD=2时，设PM=x，PN=y，找出x、y的关系式，求四边形AMPN面积的最大值，并指出此时P点的位置.ABCDPMN(2)当矩形ABCD的面积为6时，四边形AMPN的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由. 21.(本小题12分)已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x∈(0,+∞)时，函数f(x)=x–(1)当m=1时，求函数f(x)在区间(–∞,0)上的解析式.(2)函数y=f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，求m的值.(3)在(2)的条件下，不等式f(e2x)≤a(ex–e–x)在(0,+∞)上有解，求实数a的取值范围.(注：其中“e”为自然常数，约为2.718281828459045)22.(本小题12分)已知二次函数f(x)=ax2+x+1，且f(x)–f(x–1)=4x–1(1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)=f(x)–mx在[1,2]上的最大值为–1，求m的值以及g(x)的最小值.(3)若h(x)=f(x)–x2–x+n，集合A={y|y=h(x),x∈[0,t]},集合B={y|y=h(h(x)),x∈[0,t]},是否存在实数n、t，使得A=B，若存在，请求出所有符合条件的n和t的值；若不存在，请说明理由. 2023-2024学年度秋学期四校期中联考试卷高一数学考生注意：客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1.集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x–7≥8–2x}，则A∪B=()A.[3,4)B.[2,+∞)C.(－∞,3]D.[2,3]课本改编：P14复习巩固1答案：B解析：B={x|x≥3}，则A∪B=[2,+∞)2.命题：“∀n∈Z，n∈Q”的否定是()A.∀nZ，n∈QB.∀nZ，nQC.∃nZ，nQD.∃n∈Z，nQ课本改编：P31练习1(1)答案：D3.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　)A.－1B.0C.1D.无法确定答案：C4.下列命题为真命题的是()A.若a>b>0，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a<b<0，则a2>ab>b2D.若a<b，则>课本改编：P43综合运用8答案：C5.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m–1)xn的图像上，则n－=()A.B.C.8D.9答案：A解析：m=2，n=3 6.已知函数g()=x+4–6，则g(x)的最小值是()A.–6B.–8C.–9D.–10答案：A解析：∵g()=x+4–6=(+2)2–10∴g(x)=x2–10(x≥2)∴g(x)min=–67.若0<a<，则+的最小值为()A.3+2B.3–2C.4D.4答案：A解析：+=+=(+)(2a+1–2a)=3++∵0<a<∴1–2a>0,2a>0∴+≥3+2，此时a=8.已知函数f(x)为R上的单调递增函数，f(0)=，任意x，y∈R，都有f(x)f(y)=f(x+y+1)，则不等式f(2x2+x)f(–3x2+4x–2)>4的解集为()A.{x|x<1或x>4}B.{x|1<x<4}C.{x|x<–1或x>4}D.{x|–1<x<4}答案：B解析：∵f(1)=2令x=y=1，可得f(3)=4∴不等式f(2x2+x)f(–3x2+4x–2)>4可化为：f(x2+5x–1)>f(3)∵函数f(x)为R上的单调递增函数∴–x2+5x–1>3即x2–5x+4<0∴解集为{x|1<x<4}二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分)9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有(    )A.f(x)=1与g(m)=1B.f(x)=x2与g(x)=C.f(x)=与g(x)=D.f(x)=x2–1与g(x)=(x+1)2–2(x+1)答案：ABD10.下列说法正确的是(    ) A.若x>0，则2–3x–的最小值为2–4B.已知集合A,B均为实数集R的子集，且CRB⊆A，则(CRA)∪B=BC.对于函数y=f(x)，x∈R,“y=f(x+1)是偶函数”是“y=f(x)的图象关于直线x=1轴对称”的充要条件D.若命题“∃x∈R，x2–mx+1<0”的否定是真命题，则实数m的取值范围是–2<m<2答案：BC11.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.则()A.当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少应该为22m2.B.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好.C.若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定会变差.D.若窗户面积和地板面积都增加原来的a%，其中a>0，公寓采光效果不变.课本改编：P58综合运用7答案：BD12.已知函数f(x)=，则下列说法正确的是(    )A.当m=1时f(x)的单调减区间为(–∞,1]∪[2,+∞)B.函数f(x)为R上的单调函数，则m≤0C.若f(x–1)>f(x)恒成立，则实数m的取值范围是(–∞,)D.对∀x1,x2∈[m,+∞)，不等式f()≥恒成立答案：BCD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分)13.设函数f(x)＝则f(3)=________________.答案：14.已知函数f(x)=x2–kx–8在(5,6)上具有单调性，则实数k的取值范围是________课本改编：P100复习巩固4答案：k≤10或k≥12 15.若函数f(x)的定义域为(0,8)，则函数g(x)=的定义域为          ．答案：(0,3)16.函数y=f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)–b为奇函数.根据以上结论，函数f(x)=x3–x2，则f(x)的对称中心是_________，若n为正整数，则f(–n)+f(–n+1)+f(–n+2)+······+f(0)+f(1)+······+f(n+2)=__________课本改编：P87综合运用13答案：(1,–)–n–2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题10分)(1)计算：–(–0.9)0–+(2)已知+=3，求解析：(1)原式=–1–+=……………………………4分(2)∵+=3∴a+a-1+2=9……………………………6分∴a2+a-2+1=48……………………………8分∴原式=……………………………10分18.(本小题12分)已知集合A={x|3≤3x≤27}，集合B={x|–x2+x+2>0}，设全集U=R(1)求A,B,CU(A∩B)；(2)已知关于x的不等式x2–mx<2x–2m的解集为C，若C⊆A，求实数m的取值范围．解析：(1)A=[1,3]……………………………2分B=(-1,2)……………………………4分CU(A∩B)={x|x<1或x≥2}……………………………6分(2)1≤m≤3……………………………12分19.(本小题12分)(1)已知a,b,c,d∈R,试比较(a2+b2)(c2+d2)与(ac+bd)2的大小，并给出证明； (2)求函数f(x)=+的最大值.解析：(1)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2证明：∵(a2+b2)(c2+d2)–(ac+bd)2=a2d2+b2c2-2acbd=(ad-bc)2≥0∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2……………………………4分当且仅当ad=bc时(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2……………………………6分(2)解法一：函数f(x)的定义域为[-5,3]f(x)=≤=4当且仅当3–x=5+x，即x=-1时取等号∴x=–1时f(x)max=4……………………………12分解法二：∵(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2∴ac+bd≤∴f(x)=+=1×+1×≤=4当且仅当3–x=5+x，即x=-1时取等号20.(本小题12分)如图，P是矩形ABCD对角线BD上一点，过P作PM⊥AB，PN⊥AD，分别交AB、AD于M、N两点.(1)当AB=3，AD=2时，设PM=x，PN=y，找出x、y的关系式，求四边形AMPN面积的最大值，并指出此时P点的位置；ABCDPMN(2)当矩形ABCD的面积为6时，四边形AMPN的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由.解析：(1)在矩形ABCD中，PM⊥AB，PN⊥AD∴PM∥AD，PN∥AB∵AB=3，AD=2∴∴=1……………………………2分∵x,y>0,∴=1≥2∴xy≤……………………………4分当且仅当取等号，此时x=1，y=点P在BD中点.…………………5分即点P在BD中点时，四边形AMPN面积S取最大值…………………6分(2)由(1)可知=1……………………………8分 ∵x,y>0,∴=1≥2=2∴xy≤……………………10分当且仅当取等号，此时x=，y=点P在BD中点.即点P在BD中点时，四边形AMPN面积S取最大值………12分21.(本小题12分)已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x∈(0,+∞)时，函数f(x)=x–(1)当m=1时，求函数f(x)在区间(–∞,0)上的解析式；(2)函数y=f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，求m的值(3)在(2)的条件下，不等式f(e2x)≤a(ex–e–x)在(0,+∞)上有解，求实数a的取值范围.(注：“e”为自然常数，约为2.718281828459045)解析：(1)当x∈(–∞,0)时，–x∈(0,+∞)，所以f(–x)=–x–,又∵f(x)为偶函数，∴f(x)=f(–x)=–x–即，当x∈(–∞,0)时，f(x)=–x–=–x+…………2分(2)解法一：任取x1，x2∈(0,1)，令x1<x2f(x1)–f(x2)=x1-–x2+=(x1–x2)∵f(x)在(0,1)上单调递减0<x1<x2<1∴f(x1)–f(x2)>0x1–x2<00<x1x2<1∴x1x2+m<0恒成立即m<–x1x2恒成立∴m≤–1同理：在区间(1,+∞)上递增可得m≥–1∴m=–1解法二： 即对任意的x∈(0,+∞)，f(x)≥f(1)∴对任意的x∈(0,+∞)，x–≥1–m即对任意的x∈(0,+∞)时，x2+(m–1)x–m≥0当m≥0时，显然不成立，…………………………………4分当m<0时，函数h(x)=x2+(m–1)x–m开口向上，对称轴为x=>0∴△=(m-1)2+4m≤0∴(m+1)2≤0∴m=-1…………………………………7分(3)由(2)可知：f(x)=x+即不等式e2x+e-2x≤a(ex–e–x)在(0,+∞)上有解函数y=ex–e–x=ex–在(0,+∞)上单调递增，所以ex–e–x>0∴存在x∈(0,+∞)使a≥==ex–e–x+即a≥(ex–e–x+)min…………………………………9分∵ex–e–x>0∴ex–e–x+≥2∴a≥2…………………………………12分22.(本小题12分)已知二次函数f(x)=ax2+x+1，且f(x)–f(x–1)=4x–1(1)求f(x)的解析式(2)若g(x)=f(x)–mx在[1,2]上的最大值为–1，求m的值以及g(x)的最小值.(3)若h(x)=f(x)–x2–x+n，集合A={y|y=h(x),x∈[0,t]},集合B={y|y=h(h(x)),x∈[0,t]},是否存在实数n、t，使得A=B，若存在，请求出所有符合条件的n和t的值，若不存在，请说明理由.解析：(1)∵f(x)=ax2+x+1，f(x)–f(x–1)=4x–1∴ax2+x+1–a(x-1)2–(x–1)–1=4x–1∴2ax–a+1=4x–1∴a=2∴f(x)=2x2+x+1…………………………………2分(2)g(x)=2x2+(1–m)x+1开口向上，对称轴为x= ∴或者∴m=6…………………………………4分此时：g(x)的对称轴为x=，∴g(x)的最小值为g()=–………………………6分(3)h(x)=x2+x+1+n，开口向上，对称轴为x=－∴在区间[0,t]上单调递增，∴A=[n+1,t2+t+n+1]…………………7分令n+1=λ,t2+t=μ则h(x)=x2+x+λA=[λ,λ+μ]∵A=B∴①当λ≥－时，h(x)在[λ,λ+μ]上单调递增则∴解得：λ=0，μ=，即n=-1,t=…………………9分②当λ<－≤λ+μ时，h(－)=λ无解…………………10分③当λ+μ<－时，h(x)在[λ,λ+μ]上单调递减则解得λ=－1，μ=或者λ=－，μ=0(舍)此时n=－2，t=.综上：即n=－1或－2,t=，满足条件.…………………12分