安徽省皖中名校联盟2023-2024学年高一数学上学期第一次联考试题（Word版附解析）

2023-2024学年智学大联考·皖中名校联盟高一（上）第一次联考数学试题一、单选题1.不等式香䁕的解集是()A.െെ൏B.െ൏C.䁕൏D.െ或䁕൏2.命题“െ，ݔ”的否定是()A.，ݔ，.B䁕ݔC.െ，ݔ，െ.D䁕ݔ䁕3.2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁.专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器黑匣子，如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器.则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列不等式中成立的是()A.若䁕䁕，则䁕B.若䁕䁕，则䁕C.若െെ，则െെD.若െ，则䁕5.如果两个正方形的边长之和为2，那么它们的面积之和的最小值是()A.B.C.1D.2香6.某校高一班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为()A.27B.23C.15D.77.已知集合ൌtt൏，ൌݔtt൏，定义叫做集合൏的长度，若集合的长度为4，则的长度为()A.3B.4C.5D.108.已知命题“存在െെ൏，使等式tൌ成立”是假命题，则实数m的取值范围() A.ݔ.BݔC.䁥ݔD.䁥二、多选题9.设全集ൌ香൏，集合ൌ香൏，ൌ൏，则()A.ൌ൏B.ൌ香൏C.ൌ香൏D.集合A的真子集个数为810.设a，且䁕，则下列不等式正确的是()A.ݔ.Dݔ.Cݔ.Bݔ11.下列说法正确的是()A.是的必要不充分条件B.若集合ൌݔݔൌ൏中只有一个元素，则ൌ香或ൌC.已知，䁕，则¬为假命题D.已知集合ൌ൏，则满足条件ൌ的集合N的个数为412.下列命题为真命题的是()A.若一个直角三角形的斜边长为2，则它周长的最大值为ݔB.若一个直角三角形的斜边长为2，则它面积的最大值为1C.若ݔ则，൏െെ是集解的䁕ݔݔ䁕的解集是െെ൏D.若ݔ则，൏െെ是集解的䁕ݔݔ䁕的解集是䁕或െ൏三、填空题13.设集合ൌെെݔ൏，ൌെ或䁕㠵൏，若ൌ，则实数a的取值范围为__________.14.已知䁕，那么函数ݔ的最小值是__________.15.已知关于x的不等式香ݔݔ的解集是空集，则实数a的取值范围是__________.16.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东香㠵方向600km处的热带风暴中心正以䁞t쳌的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，据以上预报估计，该码头将受到热带风暴的 影响时长大约为__________쳌四、解答题17.已知集合ൌെെ͵൏，ൌെെ൏，ൌ㠵െ൏求若，求a的取值范围.18.ൌݔൌ，ݔ，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小;证明：已知䁕䁕，且ݔݔൌ，求证：䁕19.已知集合ൌ൏，ൌݔ൏若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的值;从三个条件①ൌ，②ൌ，③ൌ中选出合适的一个，补充在下面问题中，并完成解答.已知__________，若集合C含有两个元素且满足，求集合注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20.若关于x的不等式ݔ䁕的解集为െ或䁕൏，求a，b的值;实数a，b满足ݔ，香，求㠵的取值范围.21.已知ttt൏，不等式ݔݔ式等不使，成立成恒͵ݔtݔെ成立.若p和¬成都是真命题，求a的取值范围.22.某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量单位：吨最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本单位：元与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为ൌݔ香ݔ，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元.该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种： ①每日进行定额财政补贴，金额为2300元;②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x元.如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案?为什么? 答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．根据一元二次不等式的解法进行解答即可．【解答】解：不等式香䁕化为ݔ䁕，且该不等式对应的一元二次方程的实数根是和2，则该不等式的解集为െ或䁕൏故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题.根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可得答案.【解答】解：命题“െ，ݔ”为全称量词命题，其否定为存在量词命题：െ，ݔ䁕故选：3.【答案】B【解析】【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．【解答】解：因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：4.【答案】B【解析】【分析】 本题考查利用不等式性质判断不等关系，为基础题.【解答】解：对于A，若ൌ，则则ൌ，故A错误；B显然正确；对于C，若െെ，则有䁕䁕，故C错误；对于D，若െെ，无法得到䁕，故D错误.故选5.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于基础题.设一个正方形的边长为x，面积之和为y，则ൌݔ，利用基本不等式求解即可，【解答】解：设一个正方形的边长为x，面积之和为y，则另一个正方形的边长为，，ݔൌݔൌ，当且仅当ൌ，即ൌ时，等号成立，故两个正方形面积之和的最小值为故选6.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的实际应用，属于基础题.由题意，求出参加田赛或径赛的同学人数，即可求解.【解答】解：设高三班有50名学生组成的集合为U，参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛项目的学生组成的集合为由题意集合A有15个元素，B有20个元素，中有12个元素，所以有㠵ݔൌ个元素，所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为㠵ൌ͵故选7.【答案】D【解析】【分析】 本题考查集合的运算以及新定义问题，题目较难.先求出一元二次不等式对应方程的根，再讨论根的大小确定两个集合，进而求出两集合的交集，通过长度求出m值，再求集合的并集及其长度.【解答】解：ttൌ的两根为t，3m，ݔttൌ的两根为m，t；当tൌ时，易知ൌ，不满足题意；当t䁕时，ൌtt൏，ൌtt，ൌtt൏；当tെ时，ൌtt൏，ൌtt，ൌtt由的长度为4，得tൌ香或tൌ香，tൌ或tൌ，当tൌ时，ൌ൏，ൌ香൏，ൌ香൏；的长度为当tൌ时，ൌ൏，ൌ香൏，ൌ香൏的长度为综上所述，的长度为故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查命题的否定及函数的值域求解，属于中档题.分析可得“任意െെ൏，使等式t成立”是真命题，转化为任意െെ൏，t，转化为求函数值域问题.【解答】解：因为命题“存在െെ൏，使等式tൌ成立”是假命题，所以命题“任意െെ൏，使等式t成立”是真命题，即任意െെ൏，t恒成立，令ൌ，则ൌ在上为增函数，所以െെ， 因为t，即t或t，所以命题“存在െെ൏，使等式tൌ成立”是假命题时，实数m的取值范围为t或t故选9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查集合的基本运算和真子集个数的求法，属于基础题.【解答】解：集合ൌ香൏，ൌ൏，共同的元素为0和1，故ൌ൏，ൌ香൏，AC正确；全集ൌ香൏，ൌ൏，可知B中没有元素3和4，故ൌ香൏，B错误；集合A中有3个元素，所以真子集个数为ൌ͵，D错误.故选10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，注意满足的条件：一正、二定、三相等的使用条件，属于基础题.利用基本不等式对每个选项逐一判断排除即可求解.【解答】解：对于A，根据，即可得到ݔ，当且仅当“ൌ”时取“=”所以A正确；对于B，C，虽然䁕，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，不能满足不等式成立，所以B，C错；对于D，䁕，䁕，䁕，ݔൌ，当且仅当“ൌ”时取“=”，所以D正确，故选11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，命题真假判断，求子集个数，属于基础题.利用充分必要条件判定A；根据ൌ时，ൌ判定B；根据p与¬的真假性判定C；根据若ൌ，则，判定D》 【解答】解：对于A：(∵Q⫋R)，(∴ainQ⇒ainR,ainR⇏ainQ)，故(ainR)是(ainQ)的必要不充分条件，故A正确；对于B：当ൌ时，ൌൌ൏ൌ，故B错误；对于C：当ൌ时，ൌ䁕，故p为真命题，即¬为假命题，故C正确；对于D：若ൌ，则，故ൌ，故D正确.故选12.【答案】ABC【解析】【分析】本题主要考查命题真假的判定，基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．由基本不等式可判定选项A，B；由一元二次不等式的解法可判定选项C，【解答】解：对于A，设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边ൌ则ݔൌൌ香，由于ݔ以所，ൌݔݔ，当且仅当ൌൌ时等号成立，则周长的最大值为ݔ，故A正确；对于B，设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边ൌ则ݔൌൌ香，ݔ所以ൌ，当且仅当ൌൌ时等号成立，所以面积ൌ，故面积的最大值为1，故B正确；对于C，若ݔݔ䁕的解集是െെ൏，所以1和2是方程ݔݔൌ的两根且െ，ൌ则有，可得ൌ，ൌ，ൌ不等式ݔݔ即，䁕ݔ䁕െ，所以ݔݔ，െݔݔെ，解得െെ，即ݔ䁕的解集为െെ൏，故C正确；对于D，由C的分析可得不等式ݔݔ即䁕ݔ䁕െ，所以ݔݔ，െݔݔെ，解得െെ， 故ݔ䁕的解集是െെ൏，故D错误．故选：13.【答案】䁥【解析】【分析】本题考查交集和空集的定义，属于基础题．根据ൌ，，，然后解出a的范围即可．ݔ㠵【解答】解：ൌെെݔ൏，ൌെ或䁕㠵൏，且ൌ，显然，则，解得，ݔ㠵综上得，实数a的取值范围为14.【答案】8【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题目.利用基本不等式求出最值即可.【解答】解：䁕，䁕，ݔݔൌݔݔൌ，当且仅当ൌ㠵时取得等号.则函数ݔ的最小值是8，故答案为15.【答案】㠵【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应的函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于中档题.设ൌ香ݔݔ，按二次项系数是否为0进行分类讨论，当二次项系数不为0时，利用二次函数的性质得到二次项系数小于0，根的判别式小于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围． 【解答】解：设ൌ香ݔݔ，当ൌ时，不等式香ݔݔ的解集为空集，符合题意；当ൌ时，原不等式变形为香，不是空集，不符合题意；香香െ当香时，则，ൌݔݔ香香െ解得：െെ，㠵综上，a的取值范围为㠵故答案为㠵16.【答案】10【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解法以及学生解决实际问题的能力，难度一般．设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为若在点B处受到热带风暴的影响，则ൌ香㠵，求出t的范围，即可得出结论．【解答】解：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，若在点B处受到热带风暴的影响，则ൌ香㠵，即ݔ香㠵，即cos香㠵ݔsin香㠵香㠵，上式两边平方并化简、整理得ݔ͵㠵，解得㠵㠵ݔ，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为ݔ㠵㠵ൌ쳌故答案为17.【答案】解：ൌെെ͵൏，ൌെെ൏，ൌ或͵൏，ൌെ或͵െ൏ ൌെെ൏，当时，要使，㠵െ㠵须有㠵，解得െ；െ㠵当ൌ时，㠵，解得的取值范围【解析】本题考查集合的交并补混合运算，利用集合关系求参，属于中档题.18.【答案】解：因为ൌݔൌ，ݔ，所以ൌݔݔൌݔൌݔ，因为䁕，䁕，所以ݔ䁕，，所以，即；因为䁕䁕，且ݔݔൌ，所以䁕，െ，所以䁕䁕，所以െെ，所以䁕【解析】本题考查利用不等式的性质证明不等关系，考查利用作差法比较代数式的大小，属于中档题.利用作差法判断即可；根据不等式的性质证明即可.19.【答案】解：若“”是“”的必要不充分条件，则B是A的真子集，ݔ或ൌݔൌ，解得ൌ或1或2，ൌ或1时，不满足集合元素的互异性，应舍去，ൌ，存在实数ൌ使得ൌ若选择条件①，则ൌ，不满足集合元素的互异性，不符合题意；若选择条件②，则ൌ香ൌ香ൌ香，ൌ或ൌ香或ൌ香；若选择条件③，则ൌൌ㠵ൌ㠵，ൌ或ൌ㠵或ൌ或ൌ㠵或ൌ或ൌ㠵.【解析】本题考查充分必要条件的应用，考查含参集合关系的处理，为中档题.20.【答案】解：ݔ䁕的解集为െ或䁕൏， 䁕ൌݔ所以，ൌൌ解得；ൌ设㠵ൌݔݔൌݔݔ，ݔൌ㠵ൌ，解得，ൌൌ㠵ൌݔݔ，ݔ，香，ݔ香，，ݔݔ，即㠵【解析】本题考查三个二次的关系，利用不等式的性质求取值范围，属于中档题.21.【答案】解：当t时，͵tݔ͵香，若ttt，不等式ݔtݔ͵恒成立，则ݔ香，解得或㠵，故命题p为真命题时，或㠵若q为真命题，则，使不等式ݔݔെ成立，则ൌ香䁕，解得䁕或െ，故¬成是真命题即命题q为假命题时，综上可知，当p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为൏【解析】本题考查不等式恒成立问题，属于中档题.22.【答案】解：由题意可知，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为ൌݔݔ香͵又ݔ香ݔݔ香ൌ，当且仅当ൌ，即ൌ时，等号成立，所以该企业日加工处理量为80吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.因为െ，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态若该企业采用第一种补贴方案，设该企业每日获利为元，由题可得ൌݔ͵ൌݔ香ݔݔ㠵㠵因为͵䁥，所以当ൌ͵时，企业获利最大，最大利润为1550元，若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元，由题可得 ൌݔൌݔ香ݔݔ，因为͵䁥，所以当ൌ时，企业获利最大，最大利润为1800元，因为䁕㠵㠵，所以选择第二种补贴方案.