湖北省 2023-2024学年高三数学上学期10月半月考试题（Word版附解析）

荆州中学2024届高三数学十月半月考一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知复数（为虚数单位），则（）A．B．C．D．2．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．函数的一条对称轴为（）A．B．C．D．4．等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（）A．4B．16C．32D．645．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为（）A．120种B．108种C．96种D．72种6．已知，设，则（）A．B．C．D．7．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知为坐标原点，是椭圆上位于上方的点，为右焦点．延长交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）9．设随机变量，则下列说法正确的是（） A．服从正态分布B．C．D．当且仅当时，取最大值10．如图所示，该曲线是由4个圆：的一部分所构成，则下列叙述正确的是（）A．曲线围成的封闭图形面积为B．若圆与曲线有8个交点，则C．与的公切线方程为D．曲线上的点到直线的距离的最小值为411．如图，正方体棱长为1，是上的一个动点，下列结论中正确的是（）A．的最小值为B．当在上运动时，都有C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变D．的最小值为12．已知双曲线的一条渐近线方程为，圆上任意一点处的切线交双曲线于两点，则（） A．B．满足的直线仅有2条C．满足的直线仅有4条D．为定值2三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设为两个不共线向量，若向量与共线，则实数__________．14．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则__________．15．设，函数若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为__________．16．设函数的定义域为，对于任意的，当，有，若，则不等式的解集为__________．四、解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知函数．（1）求的值；（2）在中，若，求的最大值．18．（12分）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面分别是的中点．（1）求证：平面⊥平面；（2）求和平面所成角的正弦值．19．（12分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列． （1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．20．（12分）已知函数．（1）若，求的极值；（2）若对任意恒成立，求整数的最小值．21．（12分）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第次回答的是甲的概率为，若．①求；②正明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．22．（12分）已知抛物线，过点作斜率互为相反数的直线，分别交抛物线于及两点．（1）若，求直线的方程；（2）求证：． 荆州中学2024届高三数学十月半月考参考答案1-4．CDAD5-8．BCAB9．BC10．ACD11．ABC12．AD13．2.514．15．16．17．（1）1（2）【详解】（1），5分（2）由题意可知，，而可得：，即，，，的最大值为10分18．（1）证明见解析（2）【详解】（1）取的中点，连接，则，又因为平面，所以平面，则两两垂直，2分 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设分别为平面和平面的法向量，由，令，则，可得是平面的一个法向量，4分由，令，则，可得是平面的一个法向量，6分因为，即，所以平面平面．7分（2）由（1）可得：是平面的一个法向量，设和平面所成角为，则，所以和平面所成角的正弦值为．12分19．（1）（2）【详解】（1）由题意可知，， ，所以数列的一个递推关系为，2分所以当时，利用累加法可得，将代入得，符合，5分所以数列的通项公式为．6分（2）当时，，即，当时，，①，②，得，即，8分所以数列是以3为首项，3为公比等比数列，所以，由题意可知，所以，所以，9分所以，③，④得，11分所以，所以数列的前项和．12分 20．（1）极大值为，无极小值（2）1【详解】（1）当时，，．　当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减．所以在时取得极大值且极大值为，无极小值；5分（2）因为对任意恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，设，则．设，显然在上单调递减，因为，所以，使得，即，8分当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，10分因为，所以， 故整数的最小值为1．12分21．（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，易知的所有可能取值为0，1，2，则，故的分布列为012则，所以．4分（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，，则．②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，则．即，又是以为首项，为公比的等比数列，则，∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．12分22．（1）（2）证明见解析【详解】（1）设，．又，即，又或，当时，；当时，，此时直线的斜率不存在，舍去，，∴直线的方程为：．4分（2）设直线，则直线， 设，由，即，则，所以，又，，同理可证：，，