湖北省 2023-2024学年高三数学上学期10月半月考试题（PDF版附答案）

荆州中学2024届高三数学十月半月考一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知复数z12i（i为虚数单位），则zi（）A．12iB．2iC．2iD．12i2．设a,b为两条直线，,为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若a∥,b，则a∥bB．若a∥,b∥,∥，则a∥bC．若a,b,a∥b，则∥D．若a,b,a∥b，则a∥3．函数y5sinx的一条对称轴为（）435A．xB．xC．xD．x42344．等比数列a的各项均为实数，其前n项和为S，已知S7,S63，则a（）nn367A．4B．16C．32D．645．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为（）A．120种B．108种C．96种D．72种54456．已知58,138，设alog3,blog5,clog8，则（）5813A．bacB．bcaC．abcD．cab27．若曲线ylnx与曲线yx2xa(x0)有公切线，则实数a的取值范围是（）A．(ln21,)B．[ln21,)C．(ln21,)D．[ln21,)22xy8．已知O为坐标原点，P是椭圆E:1(ab0)上位于x上方的点，F为右焦点．延长PO,PF22ab交椭圆E于Q,R两点，QFFR,|QF|3|FR|，则椭圆E的离心率为（）32510A．B．C．D．3234二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）129．设随机变量X~B8,,Y~B8,，则下列说法正确的是（）33学科网（北京）股份有限公司 17A．X,Y服从正态分布B．P(X6)83C．E(X)E(Y),D(X)D(Y)D．当且仅当k5时，P(Yk)取最大值2222222210．如图所示，该曲线W是由4个圆：(x1)y1,(x1)y1,x(y1)1,x(y1)1的一部分所构成，则下列叙述正确的是（）A．曲线W围成的封闭图形面积为42222B．若圆xyr(r0)与曲线W有8个交点，则2r2C．BD与DE的公切线方程为xy120D．曲线W上的点到直线xy5210的距离的最小值为411．如图，正方体ABCDABCD棱长为1，P是AD上的一个动点，下列结论中正确的是（）111116A．BP的最小值为B．当P在AD上运动时，都有CPBD1112C．当P在直线AD上运动时，三棱锥ABPC的体积不变D．PAPC的最小值为221122xy2212．已知双曲线C:1的一条渐近线方程为2xy0，圆O:xy2上任意一点P处的切t1t线l交双曲线C于M,N两点，则（）A．t2B．满足|MN|22的直线l仅有2条学科网（北京）股份有限公司 C．满足OMON的直线l仅有4条D．|PM||PN|为定值2三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设a,b为两个不共线向量，若向量m4a5b与n2ab共线，则实数__________．kx14．以模型yce去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设zlny，其变换后得到线性回归方程z0.2x3，则c__________．|x1|,x0,15．设aR，函数f(x)若函数yff(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为2x2ax,x0,__________．16．设函数fx的定义域为(0,)，对于任意的xx，当x,x(0,)，有xfxxfxxx，1212122112若f(2)3，则不等式f(x)x1的解集为__________．四、解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知函数f(x)sinxsinx3sinxcosx．44（1）求f的值；6A（2）在△ABC中，若f1，求sinBsinC的最大值．218．（12分）如图，三棱柱ABCABC的所有棱长都是2，AA平面ABC,D,E分别是AC,CC的中11111点．（1）求证：平面BAE⊥平面ABD；1（2）求AA和平面ABD所成角的正弦值．1119．（12分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列a．n学科网（北京）股份有限公司 *（1）写出a与anN的递推关系，并求数列a的通项公式；nn1n33（2）记数列b的前n项和为S，且Sb，在b与b之间插入n个数，若这n2个数恰能组成nnnnnn122一个公差为d的等差数列，求数列ad的前n项和T．nnnn220．（12分）已知函数f(x)lnxmx(12m)x1．（1）若m1，求f(x)的极值；（2）若对任意x0,f(x)0恒成立，求整数m的最小值．21．（12分）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为P，若P1．n11①求P,P；②正明：数列P为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大23n4小．222．（12分）已知抛物线E:y4x，过点P(1,1)作斜率互为相反数的直线m,n，分别交抛物线E于A,B及C,D两点．（1）若PA3BP，求直线AB的方程；（2）求证：CAPBDP．学科网（北京）股份有限公司 ．荆州中学2024届高三数学十月半月考参考答案1-4．CDAD5-8．BCAB9．BC10．ACD11．ABC12．AD313．2.514．e15．(1,0)16．(0,2)17．（1）1（2）3学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）f(x)sinxsinx3sinxcosx44sinxsinx3sinxcosx424sinxcosx3sinxcosx4413cos2xsin2x22sin2x，6fsin215分666A（2）由题意可知，fsinA1，26而0A可得：A，即A，623233sinBsinCsinBsinBsinBcosB3sinB，32262510B,B,sinB1，366626sinBsinC的最大值为310分518．（1）证明见解析（2）5【详解】（1）取AC的中点O，连接BO,OD，则OBAC,OD∥AA，1111111又因为AA平面ABC，所以OD平面ABC，则OA,OD,OB两两垂直，2分111如图，以O为原点，OA,OD,OB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，11则A(1,2,0),B(0,2,3),D(0,2,0),A(1,0,0),E(1,1,0)，可得1AD(1,2,0),AB(1,2,3),BA(1,0,3),BE(1,1,3)，设nx,y,z,nx,y,z1111112222分别为平面ABD和平面BAE的法向量，1学科网（北京）股份有限公司 ADnx2y01111由，令y11，则x12,z10，ABnx2y3z011111可得n(2,1,0)是平面ABD的一个法向量，4分11BAnx3z0222由，令z21，则x23,y223，BEnxy3z02222可得n(3,23,1)是平面BAE的一个法向量，6分2因为nn232300，即nn，所以平面BAE平面ABD．7分21121（2）由（1）可得：AA(0,2,0),n(2,1,0)是平面ABD的一个法向量，111设AA和平面ABD所成角为，11n1A1A25则sincosn1,A1A，n||AA∣525115所以AA和平面ABD所成角的正弦值为．12分115*n(n1)*19．（1）aa(n1),nN,a,nNn1nn2n13(2n1)3（2）Tn4【详解】（1）由题意可知，a1,a312a2，121a6123a3,.,aan，32nn1*所以数列a的一个递推关系为aa(n1),nN，2分nn1n所以当n2时，利用累加法可得n(n1)ana1a2a1a3a2anan1123n，2学科网（北京）股份有限公司 12n(n1)将n1代入得a1，符合a，5分1n22n(n1)*所以数列a的通项公式为a,nN．6分nn233（2）当n1时，Sb，即b3，1112233当n2时，Sb，①nn2233Sb，②n1n12233①②，得bSSbb，即b3b，8分nnn1nn1nn122所以数列b是以3为首项，3为公比等比数列，nnn1所以b3,b3，nn1nbb23n1n由题意可知bb(n21)d，所以d，n1nnnn1n1nn(n1)23n所以adn3，9分nn2n1123n1n所以T132333(n1)3n3，③n234nn13T132333(n1)3n3，④n123nn1③④得2T3333n3，nn133n12Tn311分n13n13(2n1)3所以T，n4n13(2n1)3所以数列ad的前n项和T．12分nnn41120．（1）极大值为fln2，无极小值（2）1242【详解】（1）当m1时，f(x)lnxxx1(x0)，1(x1)(2x1)f(x)2x1．　xx学科网（北京）股份有限公司 11当0x时，f(x)0，则f(x)在0,上单调递增；2211当x时，f(x)0，则f(x)在,上单调递减．22111所以f(x)在x时取得极大值且极大值为fln2，无极小值；5分224（2）因为对任意x0,f(x)0恒成立，2所以lnxx1mx2x在(0,)上恒成立，lnxx1即m在(0,)上恒成立，2x2xlnxx1(x1)(x2lnx)设F(x)，则F(x)．22x2xx22x设(x)(x2lnx)，显然(x)在(0,)上单调递减，1111因为(1)10,2ln2ln20，22221所以x,1，使得x0，即x2lnx0，8分00002当x0,x时，(x)0,F(x)0；当xx,时，(x)0,F(x)0，00所以F(x)在0,x上单调递增，在x,上单调递减，00lnxx1100所以F(x)Fx，10分max02x2x2x000111因为x,1，所以,1，022x02故整数m的最小值为1．12分21．（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则10，易知的所有可能取值为0，1，2，2112C1CC3C32233则P(0),P(1),P(2)，故的分布列为222C10C5C10555学科网（北京）股份有限公司 012P133105101336则E()012，所以E()10E()12．4分1051051（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，P0，则P．233②由第n次回答的是甲的概率为P，得当n2时，第n1次回答的是甲的概率为P，第n1次回答的不nn111是甲的概率为1P，则PP01P1P．n1nn1n1n13311113131即PP，又P,P是以为首项，为公比的等比数列，则nn11n43444443n176311311311P,PP，n87434434434∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．12分22．（1）yx（2）证明见解析【详解】（1）设Ax,y,Bx,y,P(1,1),BP1x,1y,PAx1,y1，1122221131x2x11x143x2PA3BP,,．31y2y11y143y2222又y4x,43y443x，即3y8y4x，112222222又y4x,4y8y0,y0或y2，222222当y0时，x0,x4,y4；2211当y2时，x1,x1,y2，此时直线AB的斜率不存在，舍去，2211A(4,4),B(0,0)，∴直线AB的方程为：yx．4分（2）设直线AB:yk(x1)1，则直线CD:yk(x1)1，设Ax,y,Bx,y,Cx,y,Dx,y，11223344学科网（北京）股份有限公司 1yk(x1)1x(y1)124444由2，即k，则yy40，所以y1y2,y1y24，y4xy24xkkkk11又|AP|1y1,|BP|1y1，2122kk111441|AP||BP|12y11y2112y1y2y1y211241312kkkkkk11，同理可证：|CP||DP|3131，22(k)k|AP||CP||AP||BP||CP||DP|,，|DP||BP|又CPABPD,△APC∽△BPD,CAPBDP．12分学科网（北京）股份有限公司