四川省彭州市第一中学2023-2024学年高三数学（理）上学期10月月考试题（Word版附解析）

彭州一中高2021级高三上期10月月考数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.设集合，，则A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先解出集合T,然后集合T与集合S取交集即可.【详解】,集合，则故选D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数对应点坐标得的值，再利用复数的除法可得结果.【详解】复数对应的点的坐标为，则，所以.故选：C.3.走路是最简单优良锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（） A.甲走路里程的极差等于B.乙走路里程的中位数是C.甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D.甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差【答案】C【解析】【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.【详解】对于A选项，月甲走路的里程为：、、、、、，甲走路里程的极差为公里，A错；对于B选项，月乙走路的里程为：、、、、、，由小到大排列分别为：、、、、、，所以，乙走路里程的中位数是，B对；对于C选项，甲下半年每月走路里程的平均数，乙下半年每月走路里程的平均数为，所以，甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数，C对；对于D选项，由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，D错.故选：C.4.已知命题p：“”，命题q：“直线与直线垂直”，则命题p是命题q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】A【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的条件分析判断即可【详解】若直线与直线垂直，则，得，或，所以命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A5.若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）A.－B.2C.5D.8【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义，平移目标函数即可求解.【详解】画出可行域如图所示，由解得，设A(1,2)，则目标函数，经过点A(1,2)时在y轴上的截距最大，所以在点A(1,2)处取得最大值最大值为.故选：C.6.下列命题正确的是（）A.命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题B.命题“若，则”的逆否命题为真命题C.若使得函数的导函数，则为函数的极值点； D.命题“，使得”否定是：“，均有”【答案】B【解析】【分析】根据复合命题的真假判断A，根据四种命题的关系判断B，根据极值的定义判断C，根据命题的否定判断D．【详解】对于A：命题“”为假命题，则命题与命题至少有一个假命题，故A错误；对于B：命题“若，则”显然为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故B正确；对于C：若使得函数的导函数，如果两侧的导函数的符号相反，则为函数的极值点；否则，不是函数的极值点，故C错误；对于D：命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”．故D错误.故选：B．7.已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为A.20B.15C.10D.5【答案】D【解析】【分析】由题意知的展开式的各项系数和为32，求得，再根据二项展开式的通项，即可求解．【详解】由题意知的展开式的各项系数和为32，即，解得，则二项式的展开式中的项为，所以的系数为5，故选D．【点睛】本题主要考查了二项式定理的系数和，及展开式的项的系数的求解，其中解答中熟记二项式的系数和的解法，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（）A.48种B.72种C.120种D.144种【答案】D【解析】【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人” 排列，再插空排丙和丁.【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有种，再与丙和丁外的两人排列有种，再排丙和丁有种，故共有种排法.故选：D.9.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】设外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，∵，∴，∴，∴，∴，由题意知，平面，则将三棱锥补成三棱柱可得，，∴，故选A．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．10.已知函数满足对任意实数，都有成立，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】易知函数在R上递减，由求解.【详解】因为函数满足对任意实数，都有成立，所以函数在R上递减，所以，解得：故选：D.11.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指对互算、对数的运算性质和对数函数的单调性即可比较大小.【详解】，，而，则，故选：A.12.已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把函数有两个不同的极值点转化为根的分布求出a的范围，利用分离参数法得到.把转化为 ，令，利用导数求出的值域，即可得到答案.【详解】由得，因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两个不相等的正实数根，于是有，解得.因为不等式恒成立，所以恒成立.，设，则，故在上单调递增，所以，由题意恒成立，所以.因此实数t的取值范围是.故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为． 【答案】【解析】【详解】由题意，所以，当且仅当时等号成立.14.命题：“，”，命题：“，”，若是真命题，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】由是真命题分析出和的真假，求解即可.【详解】若是真命题，则对于恒成立，所以，若是真命题，则关于的方程有实数根，所以，即，若是真命题，即和同时为真命题，则，所以．故答案为：15.已知双曲线右焦点为F．圆与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线与双曲线C交于点Q，且，则双曲线C的离心率为______．【答案】 【解析】【分析】根据双曲线的定义及余弦定理可求解.【详解】如下图所示，设双曲线的右焦点为，设直线的倾斜角为，则，由题意可知，则，则双曲线的定义有，从而，所以在中，由余弦定理有.故答案为：16.已知定义在上的奇函数满足，且时，，给出下列结论：①；②函数在上是增函数；③函数的图像关于直线对称；④若，则关于的方程在上的所有根之和为.则其中正确命题的序号为____________.【答案】①③④【解析】【分析】由题可判断函数最小正周期为8，再结合赋值法即可逐项判断求解【详解】由，将代换为，代换可得，，由函数为奇函数，故，令，则，又时，，所以，所以，①对；当时，，为增函数，函数为奇函数，所以时，单增，，则函数关于对称，函数在上是减函数，②错； 同理，令，得，图像关于对称，③对；如图，画出函数大致图像，的最左侧两根和为-12，区间的两根之和为4，区间两根之和为20，所以所有根之和为12，④对故正确选项为：①③④故答案为：①③④【点睛】本题考查函数的基本性质应用，单调性、奇偶性，增减性等基本性质，属于中档题三、解答题：共70分17.在中，（1）求；（2）若的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)应用三角恒等变换,正弦定理化简已知等式,结合,可得的值,即得的值;(2)由题意利用三角形面积公式可求的值,进而可求的值,由余弦定理可求的值,即可求解的周长的值.【小问1详解】由及正弦定理得，即得，又因为中,，所以,又因为,所以即．又，故． 【小问2详解】由题意，，故，即，故，由余弦定理，解得.故三角形的周长为18.每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.（1）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列列联表，并判断是否有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关?睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员不常参加体育锻炼人员总计参考公式：，其中. 0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828（2）现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为，求的分布列及数学期望;【答案】（1）表格见解析，有关（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据频率直方图计算得到列联表中数据，再根据公式计算，和表格中临界值比较分析得到结论.（2）根据分层抽样按比例抽取可得睡眠足和不足分别抽取6，2人，则的可能取值为，根据超几何分布的概率公式计算概率，列出分布列，计算数学期望即可.【小问1详解】常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，则常参加体育锻炼人员“睡眠不足”的人数为25；不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，则“睡眠不足”的人数为45；列联表如下：睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员7525100不常参加体育锻炼人员5545100总计13070200零假设：睡眠足与常参加体育锻炼无关， 因为，所以有的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.【小问2详解】由题意知，常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为，用分层抽样法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不足的有2人，从这8人随机抽取2人，则的所有取值为0，1，2，，，；所以分布列为：012数学期望.19.如图，水平面上摆放了两个相同的正四面体和．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接与相交于点，过点、分别作平面、平面，垂足分别为、，证明出四边形为菱形，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得出，即可证得结论成立； （2）设，取线段的中点，连接，证明出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【小问1详解】证明：因为与共面，所以连接与相交于点，因为和是相同的正四面体，所以，、都是等边三角形，则，所以四边形为菱形，则为的中点，过点、分别作平面、平面，垂足分别为、，根据正四面体的性质可知、分别为、的中心且E,F在DC上，且，设正四面体的棱长为，则，，平面，平面，，，同理可得，所以，，故四边形为平行四边形，故，因为四边形为菱形，则，因此，.【小问2详解】解：设，取线段的中点，连接，易知，所以，为的中点，因为四边形为平行四边形，则且，因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则，所以，平面，因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，则，取，可得，由图形可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.20.已知点与定点的距离和它到定直线的距离比是.（1）求点的轨迹方程；（2）若直线与轨迹交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.【答案】（1）（2）是定值，理由见解析【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可求解；（2）利用韦达定理结合，可得，再利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形的面积，进而可求解.【小问1详解】设点坐标为，化解可得：.【小问2详解】设，联立直线和椭圆方程可得：，消去可得：，所以，即，则，，，把韦达定理代入可得：，整理得，满足， 又，而点到直线的距离，所以，把代入，则，可得是定值1.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；（3）当时，判断在零点的个数，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）仅有一个零点，理由见解析；【解析】【分析】（1）利用导函数的几何意义，求出在处的导数值，再由直线的点斜式方程即可求得切线方程； （2）根据导函数与原函数的关系可知，在上恒成立，构造函数并求出其最小值即可求得实数的取值范围；（3）利用函数与方程的思想，求出方程的根的个数即可，在同一坐标系下画出函数和的图象，利用切线方程位置可求出结果.【小问1详解】由可得，此时切线斜率为，而；所以切线方程为，即；即曲线在点处的切线方程为；【小问2详解】根据题意，若在上单调递增，即可得在上恒成立，即恒成立；令，则；显然在上满足，而恒成立，所以在上恒成立；即在单调递增，所以；所以即可；因此实数的取值范围为.【小问3详解】令，即可得；构造函数，，易知在上恒成立，即在上单调递增，如下图中实曲线所示： 又函数恒过，且，易知，所以函数在处的切线方程为；又，所以（图中虚线）在范围内恒在（图中实直线）的上方；所以由图易知与在范围内仅有一个交点，即函数在内仅有一个零点.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值.【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）由已知结合参数方程与普通方程的互化，极坐标与直角坐标方程的互化即可求解；（2）首先得到直线参数方程的标准形式，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，然后结合直线的参数方程中参数的几何意义可求． 【小问1详解】直线的参数方程为（为参数）消去参数可得，即直线的普通方程为，由曲线的极坐标方程为，可得，又，所以，即曲线的直角坐标方程为；【小问2详解】直线的参数方程为为参数）可化为为参数），代入到即可得，显然成立，设直线与曲线交点对应的参数分别为，，则，，所以，所以．