四川省眉山第一中学2023-2024学年高三数学（理）上学期10月月考试题（Word版附解析）

眉山一中2024届第五期10月考数学（理科）试题2023.10.19一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题：的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定分析判断.【详解】由题意可得：命题：的否定是.故选：D.2.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】运用复数运算法则及乘方运算求解即可.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，且点位于第三象限.故选：C.3.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】解不等式求出集合A，B，根据集合的交集运算即可求得答案.详解】解不等式可得，即，解不等式，即，即或，即或，故，故选：C4.已知的内角的对边分别是，则“是钝角三角形”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先举出反例，得到充分性不成立，再由余弦定理得到必要性成立.【详解】若△ABC中B为钝角，则C为锐角，，即有，故充分性不成立；若，由余弦定理得即C为钝角，故必要性成立.故选：B.5.函数的图象在点处的切线的倾斜角为A.0B.C.1D.【答案】B【解析】【详解】，则，则倾斜角为.故选B.6.设满足约束条件则的最小值为（）A.B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】画出可行域，转化为截距最值即可得到答案.【详解】画出可行域知，将代入得，解得，即，则直线，即即经过点时，直线在轴上的截距最小，代入得此时，即最小值0．故选：B.7.已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【解析】【分析】判断出函数的周期，由此求得.【详解】依题意，，令替换得，再令替换得.所以是周期为的周期函数.所以.故选：D8.从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事件：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据中位数的性质、平均数的定义，结合古典概型、条件概率的公式进行求解即可.【详解】根据题意，从7个数中任取5个数，则基本事件总数为，这5个数的中位数是4的基本事件有个，所以，其中5个数的平均数都是4的基本事件有1，2，4，6，7；1，3，4，5，7；2，3，4，5，6，共3种情况，这3种情况恰好也是的基本事件，所以，所以，故选：C9.已知双曲线的右焦点为，点、在双曲线上，且关于原点对称.若，且的面积为，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设该双曲线的左焦点为，分析可知四边形为矩形，利用三角形的面积公式、勾股定理以及双曲线的定义可求得的值，即可求得该双曲线的离心率的值.【详解】因为双曲线的右焦点为，所以，设该双曲线的左焦点为.由题意可知为、的中点，则四边形为平行四边形，因为，所以，四边形为矩形，所以，，由的面积为，得，则.又，则，所以. 则由双曲线的定义可得，所以，则离心率.故选：C.10.已知函数.若函数在上单调递增，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由的单调性结合二次函数性质求出的范围，判断的单调性，然后可求的范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴，，又在上是增函数，所以，∴的取值范围是．故选：A.【点睛】本题考查二次函数的性质，考查函数的单调性．利用函数单调性求函数的最值是常用方法．11.已知函数()的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出对称轴，轴右侧的第一对称轴在上，第二个对称轴不在此区间上．由此可得． 【详解】令，，∵，由题意，解得．故选：C.【点睛】本题考查三角函数的对称轴，考查对称性，掌握正弦函数的对称性是解题关键．12.已知f(x)，g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在(0，ln2)上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由奇偶性求得，化简不等式，并用分离参数法变形为，设，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得的范围．【详解】因为分别为偶函数和奇函数，①，所以，即②，①②联立可解得，，不等式为，，则，，设，则，，，，在上是增函数，，又在时是增函数，所以，， ，在恒成立，则．故选：C．【点睛】方法点睛：本题不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性，解题方法是利用奇偶性求得函数的表达式，然后化简不等式，用分离参数法变形转化为求函数的最值或取值范围，从而得结论．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13.已知向量，，若，则实数m=______．【答案】【解析】【分析】由知：，根据向量的坐标，表示出向量的数量积，求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：14.已知，且，函数的图象恒过点，若在幂函数图像上，则＝__________．【答案】【解析】【分析】由，知，即时，，由此能求出点的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，即可求得答案.【详解】，，即时，∴点的坐标是由题意令，图象过点得解得： 故答案为：.【点睛】本题主要考查了求幂函数值，解题关键是掌握判断对数函数恒过定点的方法和幂函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15.某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：，）【答案】9【解析】【分析】根据题意列不等式，运算求解即可.【详解】由题意可得：经过次过滤后该溶液的杂质含量为，则，解得，∵，则的最小值为9，故至少经过9次过滤才能达到市场要求.故答案：9.【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答． 16.如图，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，若，则最小值为__________.【答案】1【解析】【分析】根据函数图象及平移关系求得，进而可得，再利用均值不等式求最小值即可.【详解】由题意可得，由函数图象可得，，解得，将点代入得，解得，即，又因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以最小值为，故答案为：1三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．[来源：17.已知数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意得到，得出数列是以为首项，为公比的等比数列，求得，结合与的关系式，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，求得，结合裂项法求和，即可求解.【小问1详解】解：因为，所以，，又因为，得，，因为，所以，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，即，当时，，两式相减可得，当时，，适合上式，所以.【小问2详解】 解：由（1）知，可得，所以，所以，所以.18.在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角的对边分别为，且满足____．（1）求；（2）若的面积为在边上，且，，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正余弦定理得边角互化即可求解，（2）根据余弦定理以及面积公式可求边长，进而在中由余弦定理即可求解【小问1详解】方案一：选条件①.由，可得，由正弦定理得，因为，所以，所以， 故，又，于是，即，因为，所以方案二：选条件②．，由正弦定理得，即，，由余弦定理得又，所以【小问2详解】由题意知，得．①，即②联立①②解得而，由余弦定理得，故即的值为19.在“双减”政策背景之下，某校就推进学校、家庭、社会体育教育的“一体化”，实现“教会、勤练、常赛”的核心任务．学校组织人员对在校学生“是否喜爱运动”做了一次随机调查．共随机调查了18名男生和12名女生，调查发现，男、女生中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱．（1）根据以上数据完成以下列联表： 喜欢运动不喜欢运动总计男女总计0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024能否有90%把握认为性别与喜爱运动有关？（2）从被调查女生中抽取3人，若其中喜爱运动的人数为，求的分布列及数学期望．(附参考公式及参考数据)：，其中．【答案】（1）不能推断90%把握认为性别与喜爱运动有关（2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）根据题意得出的列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论；（2）根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：根据题意，得到的列联表：喜欢运动不喜欢运动总计男12618女6612总计181230可得，所以不能推断90%把握认为性别与喜爱运动有关. 【小问2详解】解：由题意，喜欢运动的人数的可能取值为，可得,，，，所以随机变量的分布列为：0123所以期望为.20.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段中点.（1）证明：点F在线段上移动时，为直角三角形；（2）若F为线段的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得：，再利用线面垂直的性质定理判定定理及其正方形的性质可得：平面，进而证明平面，即可得出结论.（2）由题意，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令，易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，可得：.利用向量夹角公式即可得出. 【详解】（1）证明：因为，E为线段的中点，所以，因为底面，平面，所以，又因为底面为正方形，所以，又，所以平面，∵平面，∴，因为，所以平面，因为平面，所以，所以点F在线段上移动时，为直角三角形.（2）由题意，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令，则，，，，易知平面的一个法向量为；设平面的法向量为，则，可得：，，取，所以，由图可知：二面角的平面角为钝角，因此余弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，属于中档题.21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，．且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得，对的范围分类，即可解不等式，从而求得函数的单调区间，问题得解.（2）由题可得：，由它有两个极值点，可得：有两个不同的正根，从而求得及，将恒成立转化成：恒成立，记：，利用导数即可求得：，问题得解.【详解】（1）因为，所以，则①当时，是常数函数，不具备单调性；②当时，由；由．故此时在单调递增，在单调递减③当时，由；由．故此时在单调递减，在单调递增．（2）因为所以，由题意可得：有两个不同的正根，即有两个不同的正根，则，不等式恒成立等价于恒成立又 所以，令（），则，所以在上单调递减，所以所以．【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及极值知识，考查了转化能力及函数思想，还考查了利用导数求函数值的取值范围问题，考查计算能力，属于难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第1题计分．[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）分别求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，弦AB的中点为Q，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由消参法消去参数可得曲线C的普通方程，由代入可得直线的直角坐标方程；（2）将直线转换为参数方程为：（t为参数），代入曲线方程，利用直线参数方程的几何意义求解即可 【小问1详解】曲线C的参数方程为，（为参数）转换为普通方程为直线l的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为【小问2详解】定点在直线l上，转换为参数方程为：（t为参数）代入，得到，所以，故[选修4—5：不等式选讲]23已知函数．（1）解不等式：（2）若函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对范围分类去绝对值，即可求得不等式的解集.（2）将函数整理成分段函数形式，即可其在 单调递减，结合在单调递增，即可将问题转化成：，即：，问题得解.【详解】(1)由得，即：等价于或或．解得或或，即，所以原不等式的解集为．（2）因为函数在单调递增，所以，因为，在处，取得最大值，要使函数与函数的图象恒有公共点，则须，即，故实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了分类讨论解决含两个绝对值的不等式的解法，还考查了转化能力及利用函数单调性解决函数图像有公共点问题，还考查了计算能力，属于中档题.