湖北省武汉市第十九中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

2023-2024学年度第一学期武汉市第十九中学十月月考高二数学试卷考试时间：2023年10月4日试卷满分：150分一、单选题1.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（）A.事件“”的概率为B.事件“t是奇数”与“”互为对立事件C.事件“”与“”互为互斥事件D.事件“且”的概率为【答案】D【解析】【分析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，记t＝m＋n，则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；事件“t＞8且mn＜32”有共9个基本事件，故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；故选：D．2.如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则 A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量回路方法运算求解即可.【详解】解：因为M在AC上，且，N在上，且，所以，，在平行六面体中，，，，所以，，所以，故选：A．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，利用向量回路方法是常用的方法.3.已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（）A.2B.4C.-4D.-2【答案】C【解析】 【分析】根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数的值.【详解】解：因为空间三点，，在一条直线上，所以,故.所以.故选：C.【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.4.已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算，再考虑和两种情况，得到倾斜角范围.【详解】，则，设直线的倾斜角为，故，所以当时，直线的倾斜角；当时，直线的倾斜角；综上所述：直线的倾斜角故选：B5.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余 弦值为A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.6.如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为（）A.B.16C.8D.【答案】D【解析】【分析】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，则由题意可知为等边三角形，为直角三角形，求解即可.【详解】分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，则四边形为平行四边形.线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.，则为二面角的平面角，即 ，如图所示.为等边三角形，，，，平面，平面平面又平面在中故选：D【点睛】本题考查空间的距离问题，属于中档题.7.如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.【详解】由，可得，因为底面为矩形，，，， 所以，，又，所以，则.故选：B8.某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，利用相互独立事件的概率计算可得出结果.【详解】“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，所以他们连续通过初赛和复赛的概率为，即进入决赛的概率为.故选：B二、多选题9.(多选)下列说法正确的是（）A.不经过原点的直线都可以表示为B.若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)则直线l的方程为C.过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2 D.直线3x－2y＝4的截距式方程为【答案】BCD【解析】【分析】A中，截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线，即可判断；B中，直接利用截距式方程判断；C中，直接求出过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程，即可判断；D中，直接化为截距式方程判断．【详解】A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直线方程为.故B对；C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为，故D对．故选：BCD10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线B.已知，，为空间一个基底，若，则也是空间的基底C.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面D.平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为2【答案】BCD【解析】【分析】根据线面垂直、基底、共面、点面距等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，虽然，但是无法判断是否在平面外，所以A选项错误.B选项，由于，所以共面，由于，，为空间的一个基底，即与不共面，也即与不共面， 所以也是空间的基底，所以B选项正确.C选项，由，得，所以，所以共面，所以四点共面，所以C选项正确.D选项，，所以到平面的距离是，D选项正确.故选：BCD11.下列说法正确的是（）A.甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是和，则题被解出的概率是B.若，是互斥事件，则，C.某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是【答案】BCD【解析】【分析】用对立事件判断A;根据互斥事件的概念判断B;根据分层抽样方法判断C;根据排列组合公式求出位女生相邻的概率，从而判断D.【详解】∵他们各自解出的概率分别是和，，则此题不能解出的概率为，则此题解出的概率为，A选项错，若、是互斥事件，则，，B选项对，高级教师应抽取时人，C选项对，由题意可得女生相邻的概率，D选项对，故选BCD.12.下列命题正确的是（）A.若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是 B.已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面C.已知，若与垂直，则D.已知的顶点分别为，则边上的高的长为【答案】BCD【解析】【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A的结论，利用共面向量的充要条件判断B的结论，利用向量垂直的充要条件判定C的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高的值判定D的结论．【详解】若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，当时，即使，也不能说明，故A错误；若，则，所以，所以四点共面，故B正确；由题意可得，若与垂直，则，解得，故C正确；由题意可得，则边上的高的长即为点到直线的距离，故D正确．故选：BCD.三、填空题13.已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____________.【答案】【解析】 【分析】直接利用空间中点到线的距离公式计算即可.【详解】由题意可得l的一个单位方向向量为，,故点P到直线l的距离.故答案为：.14.四面体OABC中，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，若，则________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为又不共面，∴，则.故答案为：.15.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.【答案】①④【解析】【分析】在①中，由对立事件定义得与为对立事件；有②中，与有可能同时发生；在③中，与有可能同时发生；在④中，（C）（E）；在⑤中，从而（B）（C）．【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；④，（C），（E），，从而（C）（E），故④正确；⑤，，从而（B）（C），故⑤错误．故答案为：①④．【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件等基本概念的合理运用．16.直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围. 【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，此时，；当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，此时，.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故答案为：.四、解答题17.已知的顶点，，．（1）求AB边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）先利用中点坐标公式求出线段的中点，再利用两点式即可求出所求；（2）分类讨论截距是否为0的情况，再利用截距式即可求得所求．【小问1详解】线段的中点为， 则中线所在直线方程为：，即.【小问2详解】设两坐标轴上的截距为，若，则直线经过原点，斜率，直线方程为，即；若，则设直线方程为，即，把点代入得，即，直线方程为；综上，所求直线方程为或．18.在直三棱柱中，，，．（1）求异面直线与所成角的正切值；（2）求直线与平面所成角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.（1）利用空间向量法求出与所成角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案；（2）利用空间向量法求出直线与平面 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案.【详解】在直三棱柱中，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点、、、、、.（1）设异面直线与所成角为，，，，即，，则，因此，异面直线与所成角的正切值为；（2）设直线与平面所成角为，设平面的一个法向量为，，，，由，得，取，得，所以，平面一个法向量为，，，则.因此，直线与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查异面直线所成的角和直线与平面所成的角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解，考查计算能力，属于中等题. 19.已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】【分析】（1）首先求出的坐标，由，可设，利用，求出参数的值，即可求出结果．（2）首先表示出的坐标，由向量与互相垂直，得到，即可求出的值．（3）求出，，，，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由面积公式求出的面积．【详解】解：（1）空间中三点，，，设，，所以，，，，且，设，，，或．（2），且向量与互相垂直，，解得．的值是． （3）因为，，，，，，．【点睛】本题考查向量的求法，考查实数值、三角形的面积的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．20.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）若G是棱上一点，当平面时，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将点到平面的距离问题转化为直线与平面所成角相关问题，再运用空间向量法求解直线与平面所成角的相关三角函数值，进而得出的结果；（2）先将线面平行问题转化为直线与平面的法向量的夹角为0，再运用空间向量法列等式可求解相应点的坐标，进而确定线段的长. 【小问1详解】如图，以顶点为原点，分别以线段所在直线为轴建立坐标系.根据题意，图中各点坐标可表示为设平面的法向量为，直线与平面的夹角为，点到平面的距离为，则，即，取，则有，.所以点到平面的距离.【小问2详解】根据（1）可设点的坐标为，点的坐标为,当平面时，即，解得.故的长为.21.2021年是中国共产党建党100 周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数，平均数；（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得众数，中位数，平均数.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案【小问1详解】由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，故中位数位于之间，中位数是，平均数为：.【小问2详解】 ∵与的党员人数的比值为，采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：，，，，，，，，，，共10个样本点，这2人中至少有1人成绩低于76分的有：，，，，，，，共7个样本点，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.22.如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求．【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，又不在同一条直线上，.【小问2详解】设，则，设平面的法向量，则，令，得，，设平面的法向量，则，令，得， ，，化简可得，，解得或，或，.