黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（PDF版附答案）

5．（本题5分）湘西州有甲草原：龙山县八面山空中草原，乙草原：泸溪县滨江大草原，暑假期间两大庆中学2023-2024学年度上学期月考草原供游客休闲旅游，记事件E“只去甲草原”，事件F“至少去一个草原”，事件G“至多去一个高二年级数学试题草原”，事件H“不去甲草原”，事件I“一个草原也不去”.下列命题正确的是（）考试时间：120分钟，满分：150分，出题人：刘建华注意事项：A．E与G是互斥事件；B．F与I是互斥事件，且是对立事件；1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息C．F与G是互斥事件；D．G与I是互斥事件.2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）6．（本题5分）已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2一、单选题（共40分）只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是（）1．（本题5分）已知34iz12i，则zz（）1125A．B．C．D．63364424A．0B．C．iD．i55557．（本题5分）在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军。乒乓球决赛采用7局4胜制.在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2．（本题5分）设x,yR，向量a0,1,z,b2,y,2,c3,6,3，且ac,b//c，则ab（）2分者为胜方.在10:10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在决胜局比赛中，马龙发A．29B．26C．3D．2221球时马龙得分的概率为，樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10:10平.323．（本题5分）总体由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个后，马龙先发球，则双方战至13:11的概率为（）个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来1113的第5个个体的编号为（）A．4B．6C．12D．4781665720802631407024369970801988．（本题5分）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天PM2.5的浓度（单32046234493582003623486969387481位：μg/m3），数据依次为53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，mm50．已知这组数据的A．01B．02C．07D．08极差为40，则这组数据的第m百分位数为（）4．（本题5分）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年A．71B．75.5C．79D．72级的人数比为3:4:5，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级二、多选题（共20分）学生的人数为（）9．（本题5分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月A．20B．30C．40D．501日到10日的PM2.5日均值（单位：μg/m3）分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，试卷第1页，共3页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（）.14．（本题5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a3，B45，C75°，A．众数为32则b．B．第80百分位数是3815．（本题5分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a8，b6，c4，则中C．平均数是40线AD的长为.D．前4天的方差比后4天的方差小16．（本题5分）我市某高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为171cm，方差10．（本题5分）已知数据x1,x2,,x10的平均数是a，中位数为b，方差为c，极差为d.由这组数据得为41；女生的平均身高为162cm，方差为38．则该班所有学生身高的方差为．到新数据y1,y2,,y10，其中yi3xi2i1,2,,10，则（）四、解答题（共70分）17．（本题10分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosCacosBbcosAc.A．新数据的平均数是3aB．新数据的中位数是3bC．新数据的方差是9cD．新数据的极差是3d(1)求C；11．（本题5分）已知不同直线a，b，不同平面，，，下列说法正确的是（）(2)若c7，ABC的面积为33，求ABC的周长.2A．若a，b，a∥，b∥，则∥18．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．B．若a∥b，a∥，b，则b∥C．若，，a，则arrD．若a，ab，b，则12．（本题5分）已知正三棱锥PABC的四个顶点在球O1的球面上，E，F分别是PA，AB的中点，AB2且CEEF，与该三棱锥的四个面都相切的球记为球O2，则（）A．三棱锥PABC的表面积为43B．球O1的表面积为6π(1)求证：AF//平面A1C1E；6π326C．球O1的体积为D．球O2的半径为46(2)求异面直线A1C与AF所成角的余弦值．第II卷（非选择题）1三、填空题（共20分）19．（本题12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四边形，∠ADC=60°，ABAD，213．（本题5分）设复数z满足2zz3i，则z．PA⊥面ABCD，E为PD的中点.试卷第2页，共3页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 图；（只画图，不要过程）(2)根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的75%分位数和中位数；（四舍五入，精确到0.1）(3)根据频率分布直方图估计A地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点(1)求证：AB⊥PC；值代替）1(2)若PAABAD2，求三棱锥P﹣AEC的体积.222．（本题12分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会20．（本题12分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，且是否加工出精品均互不影响．已知主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧21师傅加工一个零件是精品的概率为3，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为9.跟时代脉搏的热门APP.某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取(1)求徒弟加工2个零件都是精品的概率；4000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，绘制如图所示的频率分布直方图（每周(2)求徒弟加工该零件的精品多于师傅的概率．利用“学习强国”的时长均分布在0,14）.21．（本题12分）2022年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，A地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A地区20000个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人．口罩使用数量2,44,66,88,1010,12频率0.2m0.3n0.1(1)求实数a的值，并求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从8,10和10,12组中(1)求m,n的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会，现从参加座谈会的5人中随机抽取2人发言，求10,12组中恰好有1人发言的概率.试卷第3页，共3页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 高二数学试题答题卡18.姓名：班级：考场/座位号：贴条形码区注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对条形码上的姓名和准考证号。2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不（正面朝上，切勿贴出虚线方框）留痕迹。3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。正确填涂缺考标记4．在草稿纸、试题卷上答题无效。5．请勿折叠答题卡,保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。客观题(1~8为单选题;9~12为多选题)1[A][B][C][D]6[A][B][C][D]11[A][B][C][D]2[A][B][C][D]7[A][B][C][D]12[A][B][C][D]3[A][B][C][D]8[A][B][C][D]4[A][B][C][D]9[A][B][C][D]5[A][B][C][D]10[A][B][C][D]填空题13.14.1915.16.解答题17.{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 20.请勿在此区域作答或者做任何标记22.21{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 参考答案：1．C【分析】根据复数除法运算求z，然后由共轭复数的定义和减法运算可得.【详解】因为34iz12i，12i12i34i510i12所以zi，34i34i34i255512可得zi，5512124则zziii.55555故选：C2．A【分析】利用空间向量的平行、垂直以及数量积的坐标表示求解.【详解】因为ac，所以ac063z0，解得z2，所以a0,1,2,2y2又因为b//c，所以，解得y4，所以b2,4,2，363所以ab2,5,0，则ab425029，故选：A.3．A【分析】根据随机数表法的知识求得正确答案.【详解】选取的前5个个体的编号为：08,02,14,07,01.所以第5个个体的编号为01.故选：A4．B【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.3【详解】抽取的一年级学生的人数为12030，345故选：B5．B【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可；【详解】依题意基本事件有“去甲草原”、“去乙草原”、“一个草原也不去”、“去甲、乙草原”共四个，答案第1页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 事件F“至少去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、“去甲、乙草原”三个基本事件；事件G“至多去一个草原”包含“去甲草原”、“去乙草原”、“一个草原也不去”三个基本事件；事件H“不去甲草原”包含“去乙草原”、“一个草原也不去”两个基本事件；对于A，事件E，G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；对于C，事件F与G有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，事件G与I有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误.故选：B6．D【分析】用1减去没有白球的概率，求得所求概率.2C152【详解】依题意，摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是121.C664故选：D【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.7．A【详解】记甲为马龙，乙为樊振东在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局分两种情况：21211①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：P1.3232911211②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，P2，323218乙以13:11赢下此局分两种情况：11111③后四球胜方依次为乙甲乙乙，概率为：P332323621111④后四球胜方依次为甲乙乙乙，概率为，P432321811111所以，所求事件概率为P1P2+P3P4.91836184故选：A8．C【分析】根据极差求得m的值，计算81%118.91，根据百分位数的含义即可确定答案.【详解】由题意得，数据的极差为40，因为数据中最小值为41，答案第2页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 故m应为最大值，为81，则81%118.91，将数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，81，从小大大排列为：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81，故这组数据的第m百分位数为79，故选：C9．ACD【分析】根据已知数据，由众数、百分数的定义判断A、B；应用均值、方差公式判断C、D.【详解】这10天PM2.5日均值从小到大为30，32，32，32，34，36，36，38，42，88，所以众数为32，故A正确；3842由100.88，则第80百分位数为40，所以B错误；230323232343636384288因为平均数为40，所以C正确；10363238341991因为前4天的均值为35，所以前4天的方差为5，4442363032491259因为后4天的均值为35，所以后4天的方差为21，故D44正确.故选：ACD10．CD【分析】直接利用平均数，中位数，方差，极差的定义求解判断即可.【详解】对于A，新数据的平均数为11y1y2y103x123x223x102101013x1x2x1023a2，故A错误；10对于B，因为原数据的中位数为b，所以新数据的中位数是3b2，故B错误；1222对于C，因为原数据的方差为cx1ax2ax10a，10所以新数据的方差是1222y13a2y23a2y103a210答案第3页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 9222x1ax2ax10a9c，故C正确；10**对于D，设数据x1,x2,,x10中xn最大，xm最小，其中1n10,1m10,nN,mN,则xxd，nm所以新数据的极差是ynym3xn23xm23d，故D正确.故选：CD.11．BC【分析】根据面面平行的判定以及性质可知A错误；由线面平行的判定定理可得B正确；利用面面垂直的性质可得C正确；由面面垂直性质可得D错误.【详解】对于A，若a，b，a∥，b∥，此时,可能相交，如下图所示：当l，a,b都与l平行时，,相交，故A错误；对于B，由aP，利用线面平行的性质可知存在直线c满足aPc，且c，又a∥b，所以bPc，又b，所以可得bP，即B正确；对于C，若，，a，不妨设m,n，如下图所示：假设a不成立，过直线a上一点A作ABn于点B，作ACm于点C；由，，m,n可知，AB，AC，这与“过平面外一点有且仅有一条直线与该平面垂直”矛盾，所以AB,AC应重合为交线a，所以a，可得C正确；答案第4页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 对于D，如图所示：rr若a，ab，b，此时,可能斜交，不一定垂直，所以D错误；故选：BC12．BD【分析】利用CE⊥EF得到正三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，PAPBPC2，根据棱锥的表面积公式计算判断A；正三棱锥PABC的外接球O1的就是棱长为2的正方体的外接球，求出其半径R，根据球的表面积及体积公式可判断BC；利用体积法求出球O2的半径可判断D.【详解】取AC的中点M，连接PM，BM，∵PA＝PC，AB＝BC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，BM，PM面PBM，∴AC⊥面PBM，∵PB面PBM，∴AC⊥PB，∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，∵EF⊥CE，∴PB⊥CE，∵AC∩CE＝C，AC，CE面PAC，∴PB⊥面PAC，∵PA，PC面PAC，∴PB⊥PA，PB⊥PC，从而得到正三棱锥PABC的三条侧棱PA，PB，PC互相垂直，答案第5页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 则正三棱锥PABC中，ABBCAC2,PAPBPC2，321三棱锥PABC的表面积为S232233，故A错误；42正三棱锥PABC的外接球O1的就是棱长为2的正方体的外接球，其半径326R,22球O的表面积为4πR26π，故B正确；143球O1的体积VπR6π，故C错误；311设球O2的半径为r，则(S△ABC3S△PAB)rS△PBCPA，332326即(33)r2，则r，故D正确．336故选：BD．【点睛】方法点睛：求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，外接球半径的常见求法有：2222（1）若同一顶点的三条棱两两垂直，则4Rabc（a,b,c为三条棱的长）；222（2）若PA面ABC，PAa，则4R4ra（r为ABC外接圆半径）；（3）可以转化为长方体的外接球；（4）特殊几何体可以直接找出球心和半径．13．2【分析】设zabi，a,bR，根据复数代数形式的加法运算法则及复数相等的充要条件得到方程，求出a、b的值，从而求出其模.【详解】设zabi，a,bR，则zabi，所以2zz2abiabi3abi，又2zz3i，3a3a122所以，解得，所以z1i，则z112.b1b1故答案为：214．2【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A，根据正弦定理即可求b的值．【详解】在ABC中，因为a3，B45，C75°，则A180457560，答案第6页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 23abasinB2由正弦定理，可得：b2．sinAsinBsinA32故答案为：2．15．10【分析】在△ABD和ACD中利用余弦定理建立方程求解即可.222【详解】如图，由余弦定理得ABADDB2ADDBcosADB，222ACADDC2ADDCcosADC，又cosADBcosADC，22222222222两式相加得ABAC2ADDBDC，即462AD44，化简得2AD20，所以AD10.故答案为：1016．58【分析】运用样本方差公式进行求解即可.2【详解】设所有学生身高的平均数为x，方差为s，因为高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为171cm；女生的平均身高为162cm，3618所以x171162168，361836182122因此s3641171168183816216858，3618故答案为：58π17．(1);3(2)57【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得cosC以及C的值；（2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求出ABC的周长；答案第7页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 【详解】（1）ABC中，2cosC(acosBbcosA)c，由正弦定理可得：2cosCsinAcosBsinBcosAsinC，即2cosCsinCsinC，又0Cπ，sinC0，1π∴cosC，求得C.2333（2）由ABC的面积为，2133即absinC，22π∵C，∴ab=6，322222由c=7，利用余弦定理cab2abcosC，可得abab=7，2即ab=73ab25，∴ab=5，即ABC的周长为abc5+7.18．(1)证明见解析15(2)．15【分析】（1）根据正方体的几何性质以及平行四边形的几何性质，可得线线平行，结合线面平行的判定定理，可得答案；（2）根据异面直线夹角的定义，结合余弦定理，可得答案.【详解】（1）证明：取CC1的中点为G，连接BG，FG，∵F为DD1的中点，∴FG∥CD且FGCD，而CD∥AB且CDAB，∴FG∥AB且FGAB，∴四边形ABGF为平行四边形，∴BG∥AF，又∵BE∥C1G且BEC1G，∴四边形BGC1E为平行四边形，∴BGEC1，∴AF∥EC1，答案第8页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} ∵AF面A1C1E，C1E面A1C1E，∴AF//平面A1C1E；（2）取A1C1中点为O，连接OG，OB，∵O，G分别为A1C1，CC1的中点，∴OGA1C，由（1）知BG∥AF，BGO为异面直线AF与A1C所成的角或其补角，1设正方体的边长为2a，则OGA1C3a，BG5a，OB6a，2222OG2BG2OB23a5a6a15cosBGO，2OGBG23a5a1515∴异面直线AF与A1C所成角的余弦值为．1519．(1)证明见解析23(2)3【分析】（1）推导出AB⊥PA，AB⊥AC，从而AB⊥平面PAC，由此能证明AB⊥PC.（2）推导出PA⊥面ABCD，由VP﹣AECVD﹣AECVE﹣ADC，能求出三棱锥P﹣AEC的体积.【详解】（1）由题意，∵PA⊥面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，11∵∠ABC=∠ADC=60°，ABADBC，22在△ABC中，由余弦定理有：22222ACABBC﹣2ABBCcos60BC﹣AB∴AB2+AC2=BC2，即：AB⊥AC，答案第9页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} ∵PA∩AC=A，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴AB⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC.1（2）由题意及（1）得，PAABAD2，2所以PA=AB=2，AD=4，因为PA⊥面ABCD1且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为PA1，2所以三棱锥P﹣AEC的体积：111123VVVSPA24sin601PAECDAECEADCADC32323120．(1)47(2)36【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）分“加工两个都是精品”和“加工零件只有一个精品”两种情况，结合独立事件概率方法公式运算求解.【详解】（1）设徒弟加工一个零件是精品的事件为A，师傅加工一个零件是精品的事件为B，2则PB，3421由题知PAPAPBPBPA，99211可得PA，且PA0,1，所以PA，4221所以徒弟加工2个零件都是精品的概率为PA.4（2）由题意可得：①当徒弟加工两个都是精品，而师傅加工的零件精品数小于2时，概率1122225为P11211；22333336答案第10页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} ②当徒弟加工零件只有一个精品，而师傅加工的零件都不是精品时，概率为11221P22111；223318517由①②得所求概率为PP1P2.36183621．(1)m0.1，n0.3；频率分布直方图见解析(2)75%分位数为9个，中位数为7.3个(3)平均数为7个，方差为6.4．【分析】（1）根据频数与频率关系可构造方程求得m,n，由此可补全频率分布直方图；（2）由频率分布直方图估计百分位数和中位数的方法直接求解即可；（3）由频率分布直方图估计平均数和方差的方法直接求解即可.14000【详解】（1）由每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人得：n0.30.10.7，20000解得：n0.3，2000014000m0.20.1，20000则频率分布直方图如下：（2）0.20.10.30.60.75，0.60.30.90.75，75%分位数位于8,10，设其为x，则0.6x80.150.75，解得：x9，即估计75%分位数为9个；0.20.10.30.5，0.20.10.30.60.5，中位数位于6,8，设其为y，则0.3y60.150.5，解得：y7.3，即估计中位数为7.3个.（3）由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：答案第11页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#} 30.250.170.390.3110.17（个），222222方差为s0.2370.1570.3770.3970.11176.4，则所求平均数估计为7个，方差估计为6.4．22．(1)0.075，6.83(2)30人，20人；5【分析】（1）根据频率分布直方图性质即利用各组频率之和为1即可求得a的值；根据平均数的计算方法即可求得平均时长；（2）根据分层抽样即按比例抽样即可求得两组各抽取多少人，继而求得从参加座谈会的5人中随机抽取2人各组抽取的人数，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】（1）根据频率分布直方图性质可得(0.0250.0500.1250.150a0.0500.025)21，解得a0.075；根据频率分布直方图可得所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为：0.0510.130.2550.370.1590.1110.05136.8.（2）由题意得8,10组的人数为40000.15600，10,12组的人数为40000.1400，这两组的人数之比为600:4003:2，32故8,10组抽取的人数为5030；10,12组抽取的人数为5020；55利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会，32则8,10组抽取的人数为53；10,12组抽取的人数为52，552从参加座谈会的5人中随机抽取2人发言，共有C510种抽取方法，1110,12组中恰好有1人发言的抽取方法有C2C36,63故10,12组中恰好有1人发言的概率为P.105答案第12页，共12页{#{QQABZYSEogAoABJAAQhCEwXSCEKQkAAACIoOgEAIIAABgQFABAA=}#}