河南省郑州市2023-2024学年高二数学上学期10月联考试题（Word版附解析）

2023－2024学年高二年级阶段性测试（一）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过点且与直线平行的直线方程为（）A.B.C.D.2.已知，则直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.3.如图，在梯形中，，且，点为空间内任意一点，设，，则向量=（）A.B.C.D.4.若直线与直线平行，则的值是（）A.1或B.C.D.或 5.已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（）A.B.C.D.6.已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点坐标是（）A.B.C.D.7.在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵中，，当鳖臑的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.8.在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（）A.B.C.D. 10.已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（）A.B.C.D.11.下列结论中正确的是（）A.若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.若两个不同平面的法向量分别为，则D.若平面经过三点，向量是平面的法向量，则12.已知动直线，则下列结论中正确的是（）A直线恒过第四象限B.直线可以表示过点的所有直线C.原点到直线的距离的取值范围是D.若与交于点，则的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点在直线上，且位于第一象限，若点到直线的距离为，则点的坐标为______.14.已知点，，，则在上的投影向量的模为______.15.若三条互不重合的直线不能围成三角形，则=______.16.在平面四边形中，，等腰三角形底边上的高，沿直线将向上翻折角至，若，则直线与所成角的余弦值的取值范围是______. 四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线经过直线的交点．（1）若直线经过点，求直线的方程;（2）若直线与直线垂直，求直线的方程．18.已知直线和直线，其中为实数．（1）若，求的值;（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程．19.如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．（1）设平面的法向量为，求的值;（2）求异面直线与所成角的余弦值.20.已知直线．（1）求证：直线过定点；（2）若当时，直线上点都在轴下方，求的取值范围；（3）若直线与轴、轴形成的三角形面积为1，求直线的方程． 21.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为线段与的交点，平面，，于点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．22.如图，在三棱锥中，两两互相垂直，分别为棱的中点，是线段的中点，且（1）求证：平面．（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 2023－2024学年高二年级阶段性测试（一）数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.经过点且与直线平行的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设直线方程为，代入已知点坐标求得参数值即得．【详解】设直线方程为，又直线过点，所以，，即直线方程为．故选：B．2.已知，则直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设直线倾斜角为，根据题意求得，得到，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为， 由直线，可得斜率为，即，解得，即直线的倾斜角的取值范围为.故选：B.3.如图，在梯形中，，且，点为空间内任意一点，设，，则向量=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知及几何体中对应线段的位置关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出即可.【详解】.故选：D4.若直线与直线平行，则的值是（）A.1或B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解. 【详解】由直线与直线平行，可得，解得，所以实数的值为.故选：C.5.已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】表示出向量，根据法向量定义，依次验证各选项中的向量与是否都垂直即可.【详解】由题意知：，，对于A，，，与均垂直，是平面的一个法向量，A正确；对于B，，与不垂直，不是平面的一个法向量，B错误；对于C，，与不垂直，不是平面的一个法向量，C错误；对于D，，与不垂直，不是平面的一个法向量，D错误.故选：A.6.已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设点，结合向量的数量积的运算公式，得到，根据二次函数的性质，即可求解.【详解】因为点在直线上运动，且，设点，可得，则，根据二次函数的性质，可得时，取得最小值，此时点的坐标为.故选：A.7.在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵中，，当鳖臑的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据鳖臑体积最大求出和的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】在堑堵中，，，，， ，，，当且仅当是等号成立，即当鳖臑的体积最大时，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为．故选：C．8.在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据点关于线的对称求解关于直线的对称点，即可根据两点求解的方程,即可求解直线方程.【详解】过作关于直线的对称点，则在直线上，设，根据且的中点在直线上，得，解得，所以，又，所以直线方程为，故方程为，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（）AB.C.D.【答案】BCD【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示，依次判断，，，是否为0即可.【详解】对于A，，，所以，又因为平面，所以平面.对于B，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.对于C，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.对于D，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面.故选：BCD10.已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据题意可得直线过线段的中点或，再逐一检验各个选项即可.【详解】由点到直线的距离相等，得直线过线段的中点或，对于A，直线的方程为，即，故A选项符合；对于B，将线段的中点代入得，所以直线过线段的中点，故B符合；对于C，将线段的中点代入得，所以直线不过线段的中点，故C不符合；对于D，将线段的中点代入得，所以直线过线段的中点，故D符合. 故选：ABD.11.下列结论中正确的是（）A.若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.若两个不同平面的法向量分别为，则D.若平面经过三点，向量是平面的法向量，则【答案】AC【解析】【分析】由直线的方向向量垂直得直线垂直，由直线的方向向量与平面的法向量垂直得直线与平行的位置关系，由两平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量与平面的向量垂直得参数关系，从而判断各选项．【详解】选项A，由于，即，∴，A正确；选项B，∵，所以或，B错；选项C，，即，∴，C正确；选项D，，平面的法向量，则，，代入得，D错．故选：AC．12.已知动直线，则下列结论中正确的是（）A.直线恒过第四象限B.直线可以表示过点的所有直线C.原点到直线的距离的取值范围是D.若与交于点，则的取值范围是【答案】CD【解析】【分析】A令判断即可；B求出直线所过的定点判断；C利用点线距离公式及二次函数性质求范围；D易知，则，应用基本不等式、三角形三边关系求范围. 【详解】A：当时，，显然不过第四象限，错；B：由，令，则直线恒过，由也过点，但对于直线，无论a取何值都不可能与直线重合，所以直线不可以表示过点的所有直线，错；C：原点到直线的距离，，则，对；D：由，即，如下图，则，所以，即，当且仅当时等号成立，又，当与重合时等号成立，故的取值范围是，对.故选：CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点在直线上，且位于第一象限，若点到直线的距离为，则点的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，设点，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由点在直线上，可设点，因为点到直线的距离为 ，则，整理可得，解得或，当时，位于第一象限，满足题意；当时，位于第四象限，不满足题意，所以点的坐标为.故答案为：.14.已知点，，，则在上的投影向量的模为______.【答案】【解析】【分析】首先求出、的坐标，即可得到、，最后根据计算可得.【详解】因为，，，所以，，所以，，所以在上的投影向量的模为.故答案为：15.若三条互不重合的直线不能围成三角形，则=______.【答案】4【解析】【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案.【详解】当三条直线交于同一点时，，即交点为.将代入，解得，直线为，与重合，舍去. 当与平行时，即，解得，舍去.当与平行时，，解得，此时直线为，符合题意.故答案为：416.在平面四边形中，，等腰三角形的底边上的高，沿直线将向上翻折角至，若，则直线与所成角的余弦值的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】取AC中点O，连接OB，过点O作平面，以点O为原点建立空间直角坐标系，设二面角的大小为，把直线AC与所成角的余弦表示为的函数，求出函数最大值作答.【详解】因，所以，又因为腰三角形的底边上的高，所以，过作于H，连接，如图，显然，绕直线AC旋转过程中，线段DH绕点H在垂直于直线AC的平面内旋转到 ，取AC中点O，连接OB，因，有，，，过点O作平面，以点O为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，则，，，显然有平面，设二面角的大小为，有，因为沿直线将向上翻折角至，且，所以，即，所以，则有，的方向向量为，设直线AC与所成的角为，于是得，因设二面角的大小为，，于是得，所以直线AC与所成角的余弦值的取值范围是:.故答案为： 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.四、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线经过直线的交点．（1）若直线经过点，求直线的方程;（2）若直线与直线垂直，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.【小问1详解】由得，即直线和的交点为．直线还经过点，的方程为，即．【小问2详解】由直线与直线垂直，可设它的方程为．再把点的坐标代入，可得，解得，故直线的方程为. 18.已知直线和直线，其中为实数．（1）若，求的值;（2）若点在直线上，直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程．【答案】（1）或0（2）或．【解析】【分析】（1）利用直线垂直的条件分类讨论斜率情况计算即可；（2）将点P坐标带入直线方程先计算得，再利用点斜式求截距，计算即可.【小问1详解】若，则直线，即，，两直线垂直，符合题意；若，则，解得．综上，或0.【小问2详解】由在直线上，得，解得，可得，显然直线的斜率一定存在且不为0，不妨设直线的方程为，令，可得，再令，可得，所以，解得或，所以直线的方程为或，即或．19.如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． （1）设平面的法向量为，求的值;（2）求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由法向量与平面内的两个不共线向量垂直（数量积为0）求解；（2）由空间向量法求异面直线所在角（求出两异面直线的方向向量夹角的余弦值即可得）．【小问1详解】由题可知，，则即解得；【小问2详解】，∴，又， ∴，故异面直线与所成角的余弦值为．20.已知直线．（1）求证：直线过定点；（2）若当时，直线上的点都在轴下方，求的取值范围；（3）若直线与轴、轴形成的三角形面积为1，求直线的方程．【答案】（1）证明见解析（2）（3）或【解析】分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【小问1详解】由，得．由直线方程的点斜式可知，直线过定点；【小问2详解】若当时，直线上的点都在轴下方，则解得，所以k的取值范围是；【小问3详解】设直线与轴的交点为A，与轴的交点为，坐标原点为．当时，得|，当时，得， 所以，即，解得或，所以直线的方程为或．21.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为线段与的交点，平面，，于点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直证得是等边三角形，利用中位线的性质证线线平行即可判定线面平行；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】易知是的中点，∵平面，平面，∴，则．∵菱形的边长为2，，易得， ∴，即，∴是等边三角形，∵，∴是的中点，∴，又平面，平面，∴平面；【小问2详解】由（1）及条件易知两两互相垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，设平面的一个法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则令，得，∴，结合图可知，二面角为锐角，故其余弦值为. 22.如图，在三棱锥中，两两互相垂直，分别为棱的中点，是线段的中点，且（1）求证：平面．（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）取的中点，连接．证明平面平面后可得证线面平行；（2）分别以所在的直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，假设，由空间向量法求线面角，即可得出结论．【小问1详解】如图，取的中点，连接．∵为的中点，∴，∵平面，平面，∴∥平面∵为中点，∴．∵分别为的中点，∴，则．∵平面，平面，∴平面， 又，平面，∴平面平面，∵平面，∴平面．【小问2详解】由题知，可得底面，由题易知．∵90°，∴以A为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，∴，设平面的法向量为，则不妨令，可得．设，则．由，解得，这与矛盾，故棱上不存在一点，使得直线与平面所成的角为.