北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

牛栏山一中2023—2024学年第一学期10月月考高二数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一是符合题目．）1.在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（）A.3B.4C.D.2.在空间直角坐标系中，点，点，则点关于点的对称点坐标是（）A.B.C.D.3.经过点，且倾斜角为的直线方程是（）A.B.C.D.4.直线x+（m+2）y﹣1＝0与直线mx+3y﹣1＝0平行，则m的值为（　　）A.﹣3B.1C.1或﹣3D.﹣1或35.如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（）A.B.C.D.6.直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.7.给出下列命题：①经过点的直线都可以用方程表示； ②若直线的方向向量，平面的法向量，则；③直线必过定点；④如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线．其中真命题的个数是（）A.3B.2C.1D.08.已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为（）A.B.C.D.9.如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角余弦值为（）A.B.C.D.10.如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11.直线的倾斜角为______．12.已知点到直线的距离为2，则________．13.已知向量共面，则________．14.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵中，若，点是直线上的动点，则到直线的最短距离是________．15.在正方体中，点分别是的中点．①；②与所成角为；③平面；④与平面所成角的正弦值为．其中所有正确说法序号是________．三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．）16.已知直线与直线交于点P． （1）直线过点且平行于直线，求直线方程；（结果写成一般式）（2）直线与轴交于与轴交于点，请在直角坐标系中画出两条直线，求中边上的高线所在的直线方程．17.已知长方体中，是中点．（1）求直线与所成角余弦值；（2）求平面与平面夹角余弦值．18.（1）直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）直线过点且与轴正半轴分别交于两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程．19.已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．（1）求证：⊥平面；（2）已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长． 20.如图，在直棱柱中，底面是菱形，，分别是棱的中点．（1）求证：平面；（2）若二面角的大小是，求值，并求直线与平面所成角的正弦值．21.对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“平衡集”．（1）判断集合是否是“平衡集”并说明理由；（2）求证：若集合是“平衡集”，则集合中元素的奇偶性都相同；（3）证明：四元集合，其中不可能是“平衡集”． 牛栏山一中2023—2024学年第一学期10月月考高二数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一是符合题目．）1.在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（）A.3B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】根据距离公式计算即可.【详解】.故选：A.2.在空间直角坐标系中，点，点，则点关于点的对称点坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根据中点坐标公式即可得结果.【详解】设点关于点的对称点坐标，由中点坐标公式可得，解得，即，故选：B.3.经过点，且倾斜角为的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由倾斜角求斜率，应用点斜式求直线方程. 【详解】由题设，直线斜率为，又过，所以，直线方程为（或）.故选：D4.直线x+（m+2）y﹣1＝0与直线mx+3y﹣1＝0平行，则m的值为（　　）A.﹣3B.1C.1或﹣3D.﹣1或3【答案】A【解析】分析】由题意可得1×3＝（m+2）m，解方程求出m，然后检验即可【详解】根据直线x+（m+2）y﹣1＝0与直线m+3y﹣1＝0平行，可得1×3＝（m+2）m，解得m＝1或﹣3，当m＝1时，两直线的方程重合，不符合题意；当m＝﹣3时，两直线的方程为x﹣y﹣1＝0和3x﹣3y+1＝0，两直线平行，符合题意，故m＝﹣3．故选：A．5.如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出.【详解】 .故选：C6.直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由直线斜率，结合斜率与倾斜角的关系求倾斜角的范围.【详解】由题设，直线斜率为，若倾斜角为，则，故.故选：C7.给出下列命题：①经过点的直线都可以用方程表示；②若直线的方向向量，平面的法向量，则；③直线必过定点；④如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线．其中真命题的个数是（）A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】【分析】对于①④，可举出反例；对于②，计算向量数量积得到，从而得到；对于③，变形后得到直线所过定点.【详解】对于①，当经过点的直线斜率不存在时，不能用方程表示，①错误；对于②，因为，故，则直线与垂直，则，②正确； 对于③，直线变形为，必过定点，③正确；对于④，不共线的向量与零向量不能构成空间向量的一个基底，④错误．故选：B8.已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设，由向量垂直的坐标表示可构造方程求得，进而可得点坐标.【详解】由题意知：，，设，，，，解得：，，又，.故选：D.9.如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义有、，利用向量数 量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.【详解】由，，所以，又，，所以，而，，综上，直线与直线所成角的余弦值为.故选：D10.如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正方体的性质得到平面，然后建立空间直角坐标系，设，，，根据∥平面，得到，，然后得到，最后求最值即可. 【详解】因为正方体，所以平面，，因平面，所以，因为，平面，所以平面，如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，设，，，，，，因为∥平面，所以，因为，所以，即，，所以当时，最小，最小为.故选：A.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11.直线的倾斜角为______．【答案】##【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求解. 【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，故可得，又，故．故答案为：12.已知点到直线的距离为2，则________．【答案】【解析】【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】由题意可得，故答案为：13.已知向量共面，则________．【答案】【解析】【分析】由向量共面定理，结合向量线性关系的坐标运算求参数即可.【详解】由题设且，即，所以.故答案为：14.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵中，若，点是直线上的动点，则到直线的最短距离是________． 【答案】1【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解.【详解】如图以点C为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，且，，因为点是直线上的动点，设点，则，即，可得，即，，则到直线的距离是，则当时，到直线的最短距离是1.故答案为：115.在正方体中，点分别是的中点．①；②与所成角为；③平面； ④与平面所成角的正弦值为．其中所有正确说法的序号是________．【答案】②③【解析】【分析】连接，连接交于，连接，易得，由平行公理判断①；利用线面垂直性质及判定判断②③；转化求与平面所成角，结合线面角定义及已知求其正弦值判断④.【详解】连接，连接交于，连接，则是中点，所以是的中点，则，而，故不成立，①错；如下图，，面，面，则，由，面，则面，面，所以与垂直，②对； 如下图，若为中点，连接，显然，则面即为面，由题设易知：，则，即，由面，面，则，，面，则面，即平面，③对；如下图，由面面，则与平面所成角，即为与平面所成角，由面，连接，则或其补角即为所求线面角，在中，，所以，④错.故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．） 16.已知直线与直线交于点P．（1）直线过点且平行于直线，求直线的方程；（结果写成一般式）（2）直线与轴交于与轴交于点，请在直角坐标系中画出两条直线，求中边上的高线所在的直线方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（Ⅰ）联立两个直线的方程求出的坐标，根据平行直线系方程即可代入求解，（2）根据两直线垂直满足的斜率关系，即可由点斜式方程求解.【小问1详解】联立方程得，解可得，则的坐标为，由于直线平行于直线，设直线的方程为；将代入得，所以直线的方程为【小问2详解】由题意可知,所以,故边上的高线所在的直线斜率为3，又高所在直线经过点，所以由点斜式可得，即 17.已知长方体中，是中点．（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）（2）构建空间直角坐标系，应用向量法求线线角、面面角的余弦值即可.【小问1详解】构建如下图示的空间直角坐标系，，所以，，则；所以直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】由（1），是面的一个法向量，，所以，若面的一个法向量，则，令，则，所以；所以平面与平面夹角的余弦值.18.（1）直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）直线过点且与轴正半轴分别交于两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）讨论截距是否为0，应用点斜式、截距式及所过的点求直线方程；（2）由题意直线斜率一定存在且不为0，设直线为，求出与坐标轴交点坐标，并得到三角形面积关于k的关系式，利用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即得直线方程.【详解】（1）若截距都为0时，则所求直线为；若截距不为0时，设直线为，则，所以；综上，所求直线为或.（2）由题意，直线斜率一定存在且小于0， 设直线为，故，所以三角形面积，当且仅当时三角形面积取最小值为4，所以，对应直线为.19.已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．（1）求证：⊥平面；（2）已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长．【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）根据三线合一得到线线垂直，进而由平面，得到，证明出线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设，由点到平面距离公式得到方程，求出线段的长.【小问1详解】因为是正三角形，为中点，所以⊥，因为平面，平面，所以，因为，平面， 所以⊥平面；【小问2详解】连接，因为⊥平面，平面，所以⊥，⊥，因为底面是边长为4的正方形，则两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，平面的法向量为，则，解得，令，则，故，则到平面的距离为，解得，故，故.20.如图，在直棱柱中，底面是菱形，，分别是棱的中点． （1）求证：平面；（2）若二面角的大小是，求值，并求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2），直线与平面所成角的正弦值为【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，，进而证明出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，由二面角大小求出，再利用线面角的求解公式得到答案.【小问1详解】取的中点，连接，因为分别是棱的中点，所以且，，因为直棱柱中，且，所以，且，故四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】连接，与相交于点，连接相交于点，因为底面是菱形，所以相互垂直，则两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，，故，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故平面的法向量为， 则，解得，则设直线与平面所成角大小为，则.21.对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“平衡集”．（1）判断集合是否是“平衡集”并说明理由；（2）求证：若集合是“平衡集”，则集合中元素的奇偶性都相同；（3）证明：四元集合，其中不可能是“平衡集”．【答案】（1）不是“平衡集”，利用见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论．（2）设，由“平衡集”定义可知，2，，为偶数，所以，2，，的奇偶性相同．（3）依次去掉，可得，显然与矛盾，所以集合，，，不可能是“平衡集”．【小问1详解】集合不是“平衡集”，理由如下：当去掉1或5或9时，满足条件，当去掉4时，，不满足条件， 当去掉8时，，不满足条件，所以集合不是“平衡集”．【小问2详解】设集合，，，，，由于集合是“平衡集”，设去掉,则，其中，且中的元素和相等，不妨设中的元素和为,所以，，2，，为偶数，，2，，的奇偶性相同，方可保证一直为偶数，即集合中元素的奇偶性都相同．【小问3详解】若集合，，，是“平衡集”，且，去掉，则，去掉，则，，显然与矛盾，集合，，，不可能是“平衡集”．