安徽省当涂第一中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

当涂一中高二年级2023-2024学年度10月份月考数学试题（满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.过点且倾斜角为90°的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.【详解】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.2.若平面的法向量分别为，，则（）A.B.与相交但不垂直C.D.或与重合【答案】D【解析】【分析】判断两个法向量共线，从而可判断出两个平面平行或重合. 【详解】由题意，，，因为分别是平面的法向量，或与重合.故选：D3.从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一名男同学与都是男同学B.至少有一名男同学与都是女同学C.恰有一名男同学与恰有两名男同学D至少有一名男同学与至少有一名女同学【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件和对立事件的定义直接求解.【详解】从4名男同学和3名女同学中任选3名同学，在A中，至少有一名男同学与都是男同学能同时发生，不是互斥事件，故错误；在B中，至少有一名男同学与都是女同学是对立事件，故错误；在C中，恰有一名男同学与恰有两名男同学不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的事件，故正确；在D中，至少有一名男同学与至少有一名女同学能同时发生，不是互斥事件，故错误.故选：C.【点睛】本题主要考查互斥事件和对立事件的判断以及定义的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4.若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设的坐标为，得到，求得的值，即可求解. 【详解】因为在基底下的坐标是，所以，设在基底下的坐标为，则，因此，所以，即，即向量在基底下的坐标为．故选：C．5.在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，若直线与直线所成角为，则()A.B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求出和夹角余弦值即可求出竖坐标，从而得到答案．【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，， 解得，故．故选：B．6.已知集合与，现分别从集合，中各任取一数，，则为整数的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由列举法，列举出的所有可能取值对应的基本事件，以及满足为整数的基本事件，基本事件个数比即为所求概率.【详解】从分别从集合，中各任取一数，，则的所有可能取值有：，，，，，，，，，共个基本事件；使为整数的基本事件有：，，，共个，因此，所求概率为.故选：C.7.已知直线，若直线l与连接、两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】求出直线过的定点，利用数形结合方法求出直线的斜率范围，进而求出倾斜角范围.【详解】直线，由，解得，即直线过定点，设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，显然直线的斜率为，直线的斜率为，由于直线经过点，且与线段总有公共点，则，即，  又，于是，因此或，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：D8.如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用面面平行证明办法确定点的位置，进而可确定长度范围.【详解】如图所示，分别取的中点，连接,因为为所在棱的中点，所以,所以，又因为平面，平面，所以平面；因为所以四边形平行四边形，所以又平面，平面，所以平面；又因为,且平面,平面,所以平面平面，因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上，在直角三角形中，,在直角三角形中， ,当在中点时，时，最短，在时，最长，,,所以线段长度的取值范围是故选:C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在下列四个命题中，正确的是（）A.若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B.任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为C.若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D.直线的倾斜角越大，则其斜率越大【答案】AB【解析】【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可.【详解】当时，其斜率，所以A正确；根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以B正确；若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且.，故C不正确；直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB. 10.已知空间向量=（1，－1，2），则下列说法正确的是（）A.B.向量与向量=（2，2，－4）共线C.向量关于x轴对称的向量为（1，1，－2）D.向量关于yOz平面对称的向量为（－1，1，－2）【答案】AC【解析】【分析】根据空间向量的模、共线、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】，A选项正确.，所以不共线，B选项错误.向量关于x轴对称的向量，不变，和变为相反数，即向量关于x轴对称的向量为，C选项正确.向量关于yOz平面对称的向量，和不变，变为相反数，即向量关于yOz平面对称的向量为，D选项错误.故选：AC11.下列说法正确的是（）A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.625B.若，是互斥事件，则C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则初级教师应抽取15人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是【答案】AC【解析】【分析】先求此题不能解出的概率，再利用对立事件可得此题能解出的概率可判断A；由，可判断B；计算出初级教师应抽取的人数可判断C；由列举法得出两位女生相邻的概率可判断D. 【详解】对于A，∵他们各自解出的概率分别是，，则此题不能解出的概率为，则此题能解出的概率为，故A对；对于B，若，是互斥事件，则，，故B错；对于C，初级教师应抽取人，故C正确；对于D，由列举法可知，用1、2表示两名女生，表示男生，则样本空间两位女生相邻的概率是，故D错.故选：AC.12.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（）A.B.存在点，使平面C.存在点，使直线与所成的角为D.点到平面与平面的距离和为定值【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，，设，，所以，所以，A选项正确. 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.，，设平面的法向量为，则，故可设，要使平面，平面，则，解得，所以存在点，使平面，B选项正确.若直线与直线所成角为，则，，无解，所以C选项错误.故选：ABD第Ⅱ卷（主观题/非选题共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分）13.过点且与直线平行的直线方程是______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解作答.【详解】设与直线平行的直线方程是，依题意，，解得， 所以所求直线方程是.故答案为：14.过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的一般方程是______.【答案】或【解析】【分析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合点的坐标求得直线的一般方程.【详解】①当在x轴、y轴上的截距都是时，设所求直线方程为，将代入中，得，此时直线方程为，即.②当在x轴、y轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为，将代入中，得，此时直线方程为.综上所述，所求直线方程为或.故答案为：或15.第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．为了让更多的同学了解亚运会，学校团委举行了“迎亚运，猜谜语”活动．甲、乙两位同学组队代表班级参加此次迷语竞猜活动．比赛共两轮，每人每轮各猜一个谜语．已知甲每轮猜对谜语的概率为，乙每轮猜对谜语的概率为，若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响，前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为___________．【答案】【解析】【分析】讨论甲乙猜对的个数情况利用概率公式计算即可.【详解】甲乙共猜对3个谜语有如下两种情况：甲猜对一个，乙猜对两个，其概率为：；或甲猜对两个，乙猜对一个，其概率为：， 故甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为.故答案为：16.在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，则点与平面的位置关系是______；当最小且最小时，______．【答案】①.平面②.【解析】【分析】由四点共面和三点共线的性质（系数之和为1），由满足可知与共面，由点满足可知与共线.根据最小且最小时，确定出的具体位置，然后根据数量积进行计算.【详解】解：由四点共面定理及三点共线定理可知：平面，直线，当最小且最小时，则是等边的中心，是边中点.所以，,又因为是边中点，所以故.故答案为：平面，【点睛】本道题从空间四点共面和三点共线的常用结论，判断出点的位置，然后又考查到向量加法的一个重要中线性质，把数量积中一个向量用中线性质表示出来，把数量积的求解变得简单了许多，这是一道向量的综合类题目，考查了向量的多个知识点.四．解答题（共6小题，17题10分，18~22题每题12题，共70分，每题要写出必要的证明，演算过程，推论或步骤）17.已知直线：，直线：． （1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）根据直线平行的条件列式计算即可，平行时要排除重合的情况；（2）根据直线垂直的条件列式计算即可．【小问1详解】解：,,整理得，解得或，当时，与重合，舍去，故．【小问2详解】解：，，，或．18.如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，．（1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果；（2）把用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果.【小问1详解】因为，所以，所以，因为点E为的中点，所以.【小问2详解】因为，，所以.19.已知直线经过点.（1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程；（2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出直线的点斜式方程，利用截距和为零建立斜率的方程，求解斜率即可写出点斜式方程； （2）先利用截距表示的面积，然后利用基本不等式求解最值，即可得到所求直线的方程.【小问1详解】由题意知，的斜率存在且不为0，设斜率为，则的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和，所以，解得（此时直线过原点，舍去）或，所以的点斜式方程为.【小问2详解】由（1）知，，，所以的面积，当且仅当即时，等号成立，的点斜式方程为，即，所以的斜截式方程为.20.某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示.（1）估计在这40名读书者中年龄分布在区间上的人数；（2）求这40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为1的概率. 【答案】（1）30（2）平均数为54；中位数55（3）.【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案；（2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得样本的平均数，根据中位数的定义可求得样本的中位数；（3）计算出抽取的人中，位于的有人，记为，数学成绩位于的有人，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【小问1详解】由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为.所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为.【小问2详解】40名读书者年龄的平均数为.设40名读书者年龄中位数为，则，解得：，即40名读书者年龄的中位数为55岁.【小问3详解】由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有2人，分别记为，年龄在区间上的读书者有4人，分别记为.从上述6人中选出2人，则有，共种情况；其中恰有人在的情况有，共种情况；所以恰有人在的概率.21.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段 上一点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明过程见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可【小问1详解】因为平面，平面，所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：，，因为，所以，即，【小问2详解】设平面的法向量为，，所以有，因为直线与平面所成角为， 所以，解得，即，因为，所以点到平面的距离为：.【点睛】22.在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，M是的中点.，.（1）求证；；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点P，使得面面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析； （2）（3）存在，且.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.（2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.（3）设，利用面面求得，由此得出正确结论.【小问1详解】由于，M是的中点，所以，由于平面平面且交线为，所以平面.以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，，所以.【小问2详解】，，，设平面的法向量为，则，故可设.设直线与平面所成角为，则.【小问3详解】设，，， 设平面的法向量为，则，故可设，若面面，则.所以存在点使面面，此时.