四川省成都市成都市玉林中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

成都市玉林中学高2023级10月诊断性考试数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，则下列关系式中成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据元素与集合的关系以及集合与集合的关系可解．【详解】集合，则，故选项A错；；故选项B错；，故选项C错；，故D正确；故选：D．2.集合的子集的个数为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】列举法表示集合，由集合元素个数与子集个数的关系直接求解即可．【详解】由题设，则集合的子集个数为．故选：D．3设全集，集合，或，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出，再求.【详解】，所以. 故选：C4.以下命题既是存在量词命题又是真命题的是（）A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数，使C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数，使【答案】B【解析】【分析】分别对每个命题是否为存在量词命题及真假进行判断即可.【详解】对于A，“锐角三角形”省略了全称量词“（所有的）锐角三角形”是全称量词命题，且该命题为假命题，故选项A错误；对于B，含存在量词“至少有一个”，为存在量词命题，且当时，成立，该命题为真命题，所以选项B正确；对于C，“两个无理数和”省略了全称量词“（任意）两个无理数的和”，是全称量词命题，且无理数与的和为，是有理数，该命题为假命题，所以选项C错误；对于D，含存在量词“存在一个”，当时，，故不成立，该命题为假命题，所以选项D错误.故选：B.5.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论而不是否定条件，所以D选项正确.故选：D6.已知，则“”是“”A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】由，而推不出，“”是“充分不必要条件7.某公司每个月的利润（单位：万元）关于月份的关系式为，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】C【解析】【分析】解关于的一元二次不等式，再根据的取值确定即可.【详解】解：由题意得：，解得或，故、、、、、，共个月；故选：C8.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A.B.或C.D.或【答案】D【解析】【分析】根据题意，将变形可得，由基本不等式的性质可得的最小值为2，由题意得，解不等式即可得答案．【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即，则， 当且仅当时等号成立，则的最小值为2，若不等式有解，则，可得或，即实数m的取值范围是．故选：D．二、多选题（部分选对得2分，选错0分，全对5分，共20分）9.设集合，，则的非空真子集个数可以为（）A.6B.7C.12D.14【答案】AD【解析】【分析】分，，，求出集合AB，进而可得，再根据子集个数的公式求解即可.【详解】当时，，，则，的非空真子集个数为；当时，，，则，的非空真子集个数为；当时，，，则，的非空真子集个数为；当时，，，则，的非空真子集个数为；故选：AD.10.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的性质即可判断BC，举反例即可判断AD 【详解】对于A,若，，则，故A错误；对于B,若，则，即，故B正确；对于C,若，两边同乘以得，两边同乘以得，则，故C正确；对于D,满足，则得不到，故D错误故选：BC11.已知，，且，则下列结论正确的是（）A.B.的最小值为16C.的最小值为8D.的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】根据选项逐个判断，A选项中由已知条件化为可求，B选项利用基本不等式可求最小值，C选项利用“1”的代换可求的最小值，D选项把两个变量化为一个变量，再利用基本不等式求解即可.【详解】对于A，由已知得，，，又，，故A正确；对于B，由已知得，当且仅当，时等号成立，所以，得，故B正确；对于C，，当且仅当，时等号成立，故C错误；对于D，由已知得，，，又，.又，，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12.如图，二次函数的图象与x轴交于A､B两点，与y轴交于点C，且，则下列结论正确的为（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】利用函数图象开口、与轴交点位置以及对称轴方程可判断A；将x＝1代入函数，可判断B；根据，设得，代入函数可判断C；根据韦达定理可判断D.【详解】对于A，根据图象，可知，又对称轴，则，则，故A错误；对于B，当时，，不能说明y的值是否大于0，故B错误；对于C，设，，将点B代入函数，得，故，故C正确；对于D，当时，，方程的两个根， 所以，则D正确故选：CD.三、填空题（每题5分，共20分）13.已知集合，则实数______．【答案】【解析】【分析】利用集合相等以及集合元素满足互异性可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.【详解】因为，则，解得.故答案为：.14.某班共有30名学生，在校运会上有20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，则两项都参加的人数为________.【答案】5【解析】【分析】设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合，根据题意，可得、、中元素的数目，由集合间元素数目的关系计算可得答案.【详解】根据题意，设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合，可得，（B），，所以（A）（B），所以两项都参加的有5人.故答案为：5.15.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________.【答案】 【解析】【分析】解不等式化简集合A，B，再利用充分不必要条件的定义求解作答.【详解】解不等式，即，得或，于是，而，由是的充分不必要条件，得Ü，因此，所以实数的取值范围是.故答案为：16.已知正实数，满足，则的最小值是_______．【答案】6【解析】【分析】根据基本不等式进行求解即可.【详解】因为正实数，满足，所以有，当且仅当时取等号，即当时，有最小值6，故答案为：6四、解答题（共6题，满分70分）17.已知全集，若集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据题意，由集合的运算，即可得到结果；（2）由条件可得，即可得到结果.【小问1详解】当时，，所以.因为，所以.【小问2详解】由得，，因为，所以.18.已知命题：，命题：．（1）当时，命题和中至少有一个为真命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）通过解一元二次不等式以及真命题的知识求得的取值范围.（2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】当时，命题，即为，命题，即为因为命题和中至少有一个是真命题，所以，即的取值范围.【小问2详解】因为是的充分不必要条件，即集合是集合的真子集， 当时，，解得，此时满足题意；当时，则满足，解得，综上可得，即实数的取值范围．19.（1）设a>b>0，试比较与的大小．（2）设不等式的解集为A，不等式的解集为B．若不等式的解集为A∩B，求的值．【答案】（1）>；（2）a=-5，b=6【解析】【分析】(1)作差比较大小即可；(2)先解不等式，由交集的结果就可以知道y=0时的x的值，再根据系数与根的关系，列出有关a与b的方程组，进行求解即可.【详解】（1）（2），，由根与系数关系得解得20.去年以来新冠肆虐，我国在党中央的领导下迅速控制住新冠疫情，但完全消除新冠的威胁仍需要长期的努力.某医疗企业为了配合国家的防疫战略，决定投入万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入万元.（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由.（注：）【答案】（1）设备从第2年开始实现总盈利（2）方案二较合理，理由见详解 【解析】【分析】（1）根据题意可得到第年的总盈利额，结合一元二次不等式运算求解，并注意；（2）对方案一根据二次函数的性质求总利润，对方案二根据题意整理可得，结合基本不等式求总利润，对比分析.【小问1详解】该设备到第年的总盈利额由题意可得：，解得∵故该设备从第2年开始实现总盈利.【小问2详解】方案二较合理，理由如下：方案一：由（1）可得：当时，总盈利额达到最大值万元，故总利润万元；方案二：平均盈利额，∵，当且仅当，即时等号成立，∴当时，年平均盈利额达到最大值万元，故总利润万元；虽然两种方案总利润相等，但方案二用时最少，故方案二较合理.21.已知________．①的最小值是a；②不等式的解集是．从上述条件①、条件②中任选一个，补充在上面的横线上作为已知，并作答：（1）解不等式；（2）若的解集为R，求实数b的取值范围． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式求解即可；（2）由不等式的解集为R，可知，求解即可．【小问1详解】选①，，则，，当且仅当，即时，等号成立，即．选②，由题意知：和1是方程的两个根，，解得．不等式，即，解得或故不等式的解集为.【小问2详解】由（1）知，，不等式，即，不等式的解集为R，所以，解得，故实数b的取值范围为22.已知二次函数，（1）若的解集为，求关于的不等式的解集；（2）若不等式对恒成立，求的最大值. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据的解集为，得且方程的解为，再利用韦达定理求出的关系，再根据一元二次不等式的解法即可得解；（2）先根据不等式对恒成立，求出的关系，再利用换元法结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】因为的解集为，所以且方程的解为，则，所以，则不等式即为，即，解得，所以关于的不等式的解集为；【小问2详解】因为不等式对恒成立，所以不等式对恒成立，所以，所以，即，所以，所以，则，故， 令，则，当时，，当时，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，所以的最大值为.【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设①在上恒成立，则；②在上恒成立，则；③在上恒成立，则； ④在上恒成立，则.