2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第64讲求概率统计的综合问题（达标检测）（Word版附解析）

《求概率统计的综合问题》达标检测[A组]—应知应会1．（2020秋•广西月考）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1%，则该养殖场考核为合格．该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月养殖量/千只3456791012月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1生猪死亡数/只293749537798126145（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）．（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，．参考数据：，．【分析】（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，求出5个月份任意选取3个月份的基本事件总数，恰好有两个月考核合格的基本事件数目，然后求解恰好有两个月考核合格的概率．（2）求出样本中心，回归直线方程的系数，得到回归直线方程．（3）当x＝15千只，代入回归直线方程求解即可．【解答】解：（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，则5个月份任意选取3个月份的基本事件有（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6），共计10个， 其中恰好有两个月考核合格的基本事件有（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（3，4，5），（3，4，6），共计6个．故恰好有两个月考核合格的概率为．（2），，，，故．（3）当x＝15千只，（十万元）．故9月份的利润约为11.12十万元．2．（2020春•沙坪坝区校级期末）潜叶蝇是南方地区水稻容易遭受的虫害之一，成虫将虫卵产在叶片里，待虫卵孵化之后幼虫会在叶片中啃叶肉，使得秧苗的叶片呈现白色的状态，进而降低水稻产量．经研究，每只潜叶蝇的平均产卵数y和夏季平均温度x有关，现收集了某地区以往6年的数据，得到下面数据统计表格．平均温度xi°C212325272931平均产卵数yi个711212264115（Ⅰ）根据相关系数r判断，潜叶蝇的平均产卵数y与平均温度x是否具有较强的线性相关关系，若有较强的线性相关关系，求出线性回归方程y＝，若没有较强的线性相关关系，请说明理由（一般情况下，当|r|＞0.75时，可认为变量有较强的线性相关关系）；（Ⅱ）根据以往的统计，该地区夏季平均气温为ξ（°C）近似地服从正态分布N（26.5，σ2），且P（25＜ξ≤28）＝．当该地区某年平均温度达到28°C以上时，潜叶蝇快速繁殖引发虫害，需要进行一次人工治理，每次的人工治理成本为200元/公顷（其他情况均不需要人工治理），且虫害一定会导致水稻减产，对过往10次爆发虫害时的减产损失进行统计，结果如下：每次虫害减产损失（元/公顷）10001400频数46用样本的频率估计概率，预测未来2年，每公顷水稻可能因潜叶蝇虫害造成的经济损失Y（元）的数学期望．（经济损失＝减产损失+治理成本） 参考公式和数据：r＝，，，＝4126，＝240，＝8816，≈8.4，≈786．【分析】（1）先计算与，进而求出r，拿r与0.75作比较可得平均产卵数y与平均温度x具有较强的线性相关关系；再根据题中所提供的数据算出与，从而求出线性回归方程；（2）由正态分布曲线的性质求出，再就出平均每次虫害损失为1240，进而求得经济损失Y（元）的数学期望E（Y）．【解答】解：（1）由题意可知，，∴＝＝＝≈0.794＞0.75存在较强的线性相关关系，∴＝＝＝10，∴， 线性回归方程为y＝10x﹣220．（2）∵夏季平均气温近似服从正态分布N（26.5，σ2），且∴，由题知平均每次虫害损失为（1000×4+1400×6）÷（4+6）＝1240元，∴可知每次虫害还有人工治理，且虫害概率为，因此元．3．（2020•德阳模拟）我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110），第二组[110，120），…第五组[140，150]，得到频率分布直方图．（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．【分析】（1）由频率分布直方图求出第四、五组的频率，乘以800得答案；（2）由（1）知，第一小组共有3人，其中2男1女；第五小组有4人，其中1男3女，可得ξ的所有取值为：1，2，3．利用古典概型求概率，可得ξ的分布列，再由期望公式求期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，其频率为（0.032+0.008）×10＝0.4，故根据样本数据可估计出该校本次数学模拟考试中成绩优秀人数为800×0.4＝320人；（2）由（1）知，第一小组共有3人，其中2男1女；第五小组有4人，其中1男3女，则ξ的所有取值为：1，2，3． P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝．故ξ的分布列为：ξ123P期望E（ξ）＝＝．4．（2020春•南岗区校级期中）端午节（每年农历五月初五），是中国传统节日，有吃粽子的习俗．某超市在端午节这一天，每售出1kg粽子获利润5元，未售出的粽子每1kg亏损3元．根据历史资料，得到销售情况与市场需求量的频率分布表，如下表所示．该超市为今年的端午节预购进了140kg粽子．以X（单位：kg，100≤X≤150）表示今年的市场需求量，Y（单位：元）表示今年的利润．市场需求量（kg）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]频率0.10.20.30.250.15（1）将Y表示为X的函数；（2）在频率分布表的市场需求量分组中，以各组的区间中间值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量X∈[110，120），则取X＝115，且X＝115的概率等于需求量落入[110，120）的频率0.2），求Y的数学期望．【分析】（1）当X∈[100，140）时，Y＝5X﹣3（140﹣X）＝8X﹣420；当X∈[140，150]时，Y＝5×140＝700．列出表达式即可．（2）依题意可得Y的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）当X∈[100，140）时，Y＝5X﹣3（140﹣X）＝8X﹣420；当X∈[140，150]时，Y＝5×140＝700． 所以（2）依题意可得Y的分布列为Y420500580660700P0.10.20.30.250.15所以E（Y）＝420×0.1+500×0.2+580×0.3+660×0.25+700×0.15＝586．5．（2020春•城厢区校级期中）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．军运会召开前，为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如表：组别（30，40）（40，50）（50，60）（60，70）（70，80）（80，90）（90，100）频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分X整体服从正态分布X～N（μ，σ2），用样本来估计总体，设μ，σ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），①求μ的值；②经计算σ≈14，求P（51＜X≤93）的值．（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为；抽中价值为30元的纪念品B的概率为，现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，．P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．【分析】（1）由已知频数表求出E（X）＝65，从而X服从正态分布N（65，142），由此能求出μ和P（51＜X＜93）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）的值． （2）由P（X＜μ）＝P（X≥μ）＝0.5，得所有Y的取值为15，30，45，60，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由已知频数表得：，∴μ＝65．则X服从正态分布N（65，142），所以P（51＜X＜93）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+2σ）＝．（2）由题意得：P（X＜μ）＝P（X≥μ）＝0.5，所以所有Y的取值为15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列为：Y15304560P所以．6．（2020•滨州三模）近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位．某电动汽车厂新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y与行驶时间x（单位：小时）的测试数据如表：x12345678910y2.7721.921.361.121.090.740.680.530.45根据电池放电的特点，剩余电量y与行驶时间x之间满足经验关系式：y＝aebx，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性，设ω＝lny． （1）利用表格中的前8组数据求相关系数r，并判断是否有99%的把握认为x与ω之间具有线性相关关系；（当相关系数r满足|r|＞0.789时，则认为有99%的把握认为两个变量具有线性相关关系）（2）利用x与ω的相关性及表格中前8组数据求出y与x之间的回归方程；（结果保留两位小数）（3）如果剩余电量不足0.8，电池就需要充电．从表格中的10组数据中随机选出8组，设X表示需要充电的数据组数，求X的分布列及数学期望．附：相关数据：．表格中前8组数据的一些相关量：，，相关公式：对于样本（υi，ui）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数．【分析】（1）求出相关系数，然后判断是否有99%的把握认为两个变量具有线性相关关系．（2）对y＝aebx两边取对数得lny＝lna+bx，设，求出回归直线方程的形式，得到回归直线方程，即可转化求解结果．（3）X的所有可能取值为2，3，4．求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）由题意知，．因为|r|≈0.99＞0.789，所以有99%的把握认为x与ω之间具有线性相关关系． （2）对y＝aebx两边取对数得lny＝lna+bx，设，，易知.．所以．所以所求的回归方程为．（3）10组数据中需要充电的数据组数为4组，X的所有可能取值为2，3，4.．所以X的分布列如下：X234PX的数学期望为．7．（2020•武汉模拟）某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供A、B两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为，购买B的概率为，而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为，购买B产品的概率为，前一次购买B产品的人下一次来购买A产品的概率为、购买B产品的概率也是，如此往复．记某人第n次来购买A产品的概率为Pn．（1）求P2，并证明数列是等比数列；（2）记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，求X的分布列并求E（X）；（3）经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备A、B产品各多少份．（直接写结论、不必说明理由）．【分析】（1）根据概率公式计算P2，根据递推公式证明等比数列； （2）根据二项分布的概率公式得出X的各种取值对应的概率，在计算数学期望；（3）根据Pn的表达式得出Pn的极限，从而得出答案．【解答】解：（1）P2＝+＝，由题意可知Pn+1＝Pn+×（1﹣Pn）＝﹣Pn+，∴Pn+1﹣＝﹣（Pn﹣），又P1﹣＝＝，∴数列{Pn﹣}是首项为，公比为﹣的等比数列．（2）X的可能取值有0，1，2，3，且P（X＝k）＝（）k•（）3﹣k，故P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝（）2＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝（）3＝，故X的分布列为：X0123PE（X）＝0×+1×+2×+3×＝1．（3）由（1）知Pn﹣＝（﹣）n﹣1，故Pn＝（﹣）n﹣1+，∴当n→+∞时，Pn→，故准备A产品800×＝320份，准备B产品800×＝480份．8．搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子，洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个厂生产，已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布N（μ，0.25），且．在电商平台上A厂生产的糖瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的糖瓷水杯的零售价为30元/件．（1）（i）求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； （ii）若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记X表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间（5.5，6.5）的产品件数，求E（X）；（2）从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图：设，若以L的值越大，产品越具可购买性为判断标准．根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由．注：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．【分析】（1）（i）由正态分布曲线的对称性结合已知求得A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值；（ii）由已知求得σ，可得μ+σ与μ﹣σ，由σ原则得到一件搪瓷水杯等级系数X位于区间（5.5，6.5）的概率0.6826，再由二项分布的期望公式求E（X）；（2）将频率视为概率，可得B厂生产的搪瓷水杯的等级系数X2的概率分布列，求得E（X2），然后分别求出LA与LB的值得结论．【解答】解：（1）（i）根据题意，，得μ＝6；（ii）∵σ2＝0.25，∴σ＝0.5，则μ+σ＝6.5，μ﹣σ＝5.5，由（i）知，一件搪瓷水杯等级系数X位于区间（5.5，6.5）的概率为0.6826，依题意知X：B（10000，0.6826），∴E（X）＝10000×0.6826＝6826；（2）A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下：将频率视为概率，可得B厂生产的搪瓷水杯的等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1∴E（X2）＝3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1＝4.8，即B厂生产的搪瓷水杯的等级系数的期望等于4.8． ∵A厂生产搪瓷水杯的等级系数的数学期望等于6，价格为36元/件，∴，∵B厂生产的搪瓷水杯的等级系数的期望等于4.8，价格为30元/件，，＞0.16，故A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性．9．（2020•沙坪坝区校级模拟）在中华人民共和国成立70周年之际，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》三大主旋律大片在国庆期间集体上映，拉开国庆档电影大幕．据统计《我和我的祖国》票房收入为31.71亿元，《中国机长》票房收入为29.12亿元，《攀登者》票房收入为10.98亿元．已知国庆过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部国庆档大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查，其中观看了《我和我的祖国》的有49人，观看了《中国机长》的有46人，观看了《攀登者》的有34人，统计图如图．（1）计算图中a，b，c的值；（2）文化局从只观看了两部大片的观众中采用分层抽样的方法抽取了7人，进行观影体验的访谈，了解到他们均表示要观看第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用x表示这4人中将要观看《我和我的祖国》的人数，求x的分布列及数学期望和方差．【分析】（1）利用韦恩图，结合已知条件列出方程求解即可．（2）求出随机变量X＝0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望、方差即可．【解答】解：（1）由题意可得，解得，所以a＝9，b＝6，c＝6；（2）记“同时观看了《中国机长》和《我和我的祖国》”的为A组，共9人；“同时观看了《中国机长》和《攀登者》”为B组，共6人；“同时观看《我和我的祖国》和《攀登者》”为C组，共6人； 所以按分层抽样，A，B，C组被抽取的人数分别为、、；在被抽取的7人中，没有观看《我和我的祖国》的有2人，∴X＝0，1，2，则，，，所以X的分布列如下：X012P∴X的数学期望．X的方差．[B组]—强基必备（2020•天心区校级模拟）在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列如下，其中0＜a＜1，0＜b＜1．ξ456P0.4ab（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X（单位：元）．（i）设X＝5500时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望；（ii）设某数列{xn}满足x1＝0.4，xn＝a，2xn+1＝b，若xn＜0.25对任意n≥t恒成立，求整数t的最小值．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率．（2）（i）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000，分别求出相应的概率，P（X＝5500）＝ 2ab≤2×（）2＝，取最大值的条件为a＝b＝0.3，由此能求出当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望．（ii）推导出，从而{xn﹣0.2}是等比数列，首项为x1﹣0.2＝0.2，公比为q＝﹣，从而得到，进而b＝∈（0.35，0.6），解得n＝2或n＞3，a＝xn＝0.2[1+（﹣）n﹣1]＜0.25，从而（﹣）n﹣1＜，由此能求出t的最小值．【解答】解：（1）∵购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率为：∴P＝3×0.4×（1﹣0.4）×（1﹣0.4）＝0.432．（2）（i）由题可得X的值分别为4000，4500，5000，5500，6000，P（X＝4000）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝4500）＝2×0.4×a＝0.8a，P（X＝5000）＝a2+2×0.4×b＝a2+0.8b，P（X＝5500）＝2ab，P（X＝6000）＝b2，∴P（X＝5500）＝2ab≤2×（）2＝，取最大值的条件为a＝b＝0.3，∴当m取最大值时，利润X的分布列为：X40004500500055006000P0.160.240.330.180.09E（X）＝4000×0.16+4500×0.24+5000×0.33+5500×0.18+6000×0.09＝4900．（ii）由题意得xn+2xn+1＝a+b＝0.6，∴，化简，得：，即{xn﹣0.2}是等比数列，首项为x1﹣0.2＝0.2，公比为q＝﹣，∴，化简，得：，由题可知：b＝∈（0.35，0.6）， ∴﹣＜（﹣）n，解得n＝2或n＞3，a＝xn＝0.2[1+（﹣）n﹣1]＜0.25，∴（﹣）n﹣1＜，当n为偶数时，上述不等式恒成立，当n为奇数时，（﹣）n﹣1＜，解得n≥5，综上所述，t的最小值为4．