2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第59讲离散型随机变量及其分布列（达标检测）（Word版附解析）

《离散型随机变量及其分布列》达标检测[A组]—应知应会1．（2019春•金凤区校级期末）下列表格可以作为ξ的分布列的是（　　）A．ξ013Pa1﹣aB．ξ123P﹣1C．ξ45P01D．ξ﹣112P2aa2+2【分析】根据分布列的性质0≤P≤1以及各概率之和等于1，能求出正确结果．【解答】解：根据分布列的性质0≤P≤1以及各概率之和等于1，在A中，各概率之和为＞1，故A错误；在B中，﹣，故B错误；在C中，满足分布列的性质0≤P≤1以及各概率之和等于1，故C正确；在D中，＝（a+1）2+＞1，故D错误．故选：C．2．（2020春•越秀区期末）若随机变量X的分布列为X123 P0.2a3a则a的值为（　　）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4【分析】根据概率之和等于1计算．【解答】解：∵0.2+a+0.3a＝1，∴a＝0.2．故选：B．3．（2020春•宁德期末）若随机变量η的分布列如表：η﹣2﹣10123P0.10.20.20.30.10.1则P（η＜1）＝（　　）A．0.8B．0.5C．0.3D．0.2【分析】P（η＜1）＝P（η＝0）+P（η＝﹣1）+P（η＝﹣2），由随机变量η的分布列能求出结果．【解答】解：由随机变量η的分布列知：P（η＜1）＝P（η＝0）+P（η＝﹣1）+P（η＝﹣2）＝0.2+0.2+0.1＝0.5．故选：B．4．（2020春•桂林期末）已知随机变量X的分布列是X123Pab则a+b＝（　　）A．B．C．1D．【分析】由随机变量X的分布列的性质直接求解．【解答】解：由随机变量X的分布列的性质得：＝1，解得a+b＝．故选：A．5．（2020春•顺义区期末）已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数） X012345P0.10.1a0.30.20.1则P（1≤X≤3）等于（　　）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7【分析】根据概率之和为1计算a，再计算P（1≤X≤3）．【解答】解：由概率之和等于1可知a＝0.2，∴P（1≤X≤3）＝0.1+0.2+0.3＝0.6．故选：C．6．（2020春•渭滨区期末）设随机变量ξ的分布列为，则等于（　　）A．B．C．D．【分析】随机变量ξ的分布列的性质求出a＝0.1，由此根据＝P（ξ＝）+P（ξ＝），能求出结果．【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为，∴a+2a+3a+4a＝1，解得a＝0.1，∴＝P（ξ＝）+P（ξ＝）＝2×0.1+3×0.1＝．故选：D．7．（2020春•郑州期末）随机变量X的分布列如下：X﹣101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（　　）A．B．C．D．【分析】由随机变量X的分布列的性质得a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．由a，b，c成等差数列，得2b＝a+c，从而能求出P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）的值．【解答】解：∵随机变量X的分布列如下：X﹣101 Pabc∴a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．①∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c，②联立①②，得b＝，a+c＝，∴P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）＝a+c＝．故选：D．8．（2019春•白山期末）随机变量X的分布列如表，其中a，b，c成等差数列，且，X246Pabc则P（X＝2）＝（　　）A．B．C．D．【分析】由a，b，c成等差数列，且，利用随机变量X的分布列和性质列出方程组，能求出a，b，c，由此能求出P（X＝2）的值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，且，∴由随机变量X的分布列得：，解得a＝，b＝，c＝，∴P（X＝2）＝a＝．故选：C．9．（2019春•邹城市期中）已知随机变量X的概率分布为P（X＝n）＝（n＝0，1，2），其中a是常数，则P（0≤X＜2）的值等于（　　）A．B．C．D．【分析】根据条件，由概率分布的性质概率之和为1，分析即可求出a的值，再由P（0≤X＜2）＝p（X＝0）+P（X＝1），即可求出结果． 【解答】解：根据题意，随机变量X的概率分布为P（X＝n）＝（n＝0，1，2），则有P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝++＝1，解可得：a＝，则P（0≤X＜2）＝p（X＝0）+P（X＝1）＝+＝，故选：D．10．（2019•曲靖二模）已知随机变量ξ的分布列为：ξ﹣2﹣10123P若，则实数x的取值范围是（　　）A．4＜x≤9B．4≤x＜9C．x＜4或x≥9D．x≤4或x＞9【分析】由随机变量ξ的分布列，知ξ2的可能取值为0，1，4，9，分别求出相应的概率，由此利用P（ξ2＜x）＝，求出实数x的取值范围．【解答】解：由随机变量ξ的分布列，知：ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P（ξ2＝0）＝，P（ξ2＝1）＝+＝，P（ξ2＝4）＝+＝，P（ξ2＝9）＝，∵P（ξ2＜x）＝，∴实数x的取值范围是4＜x≤9．故选：A．11．（2020春•鼓楼区校级期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是（　　）A．至少有1个深度贫困村B．有1个或2个深度贫困村 C．有2个或3个深度贫困村D．恰有2个深度贫困村【分析】用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，计算对应的概率值即可得出结论．【解答】解：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，所以，计算，，，，所以，即有1个或2个深度贫困村的概率为．故选：B．12．（2020春•吉林期末）已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则表中p值等于　　．ξ012P0.4p0.3【分析】由离散型随机变量ξ的分布列的性质能求出p．【解答】解：由离散型随机变量ξ的分布列得：0.4+p+0.3＝1，解得p＝0.3．故答案为：0.3．13．（2020春•淮安期末）已知随机变量X的概率分布为：X0123456P0.160.220.24？0.100.060.01 则P（X≥3）＝　　．【分析】由随机变量X的概率分布求出P（X＝3），再由P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6），能求出结果．【解答】解：由随机变量X的概率分布知：P（X＝3）＝1﹣0.16﹣0.22﹣0.24﹣0.10﹣0.06﹣0.01＝0.21，P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6）＝0.21+0.10+0.06+0.01＝0.38．故答案为：0.38．14．（2019春•渭滨区期末）设随机变量X的概率分布列如表，则P（|x﹣2|＝1）＝　　．x1234Pm【分析】由|x﹣2|＝1，解得x．即可得出P（|x﹣2|＝1）＝P（X＝1或3）．【解答】解：由|x﹣2|＝1，解得x＝1，3．∴P（|x﹣2|＝1）＝P（X＝1或3）＝+＝．故答案为：．15．（2020春•顺德区期末）已知随机变量X的分布列如表，X123p其中a是常数，则的值为　　．【分析】由随机变量X的分布列的性质求出a＝，再由＝P（X＝1），能求出结果．【解答】解：由随机变量X的分布列的性质得：＝1，解得a＝，∴＝P（X＝1）＝＝．故答案为：． 16．（2020春•丰台区校级月考）已知随机变量X的分布列为，则P（2＜X≤4）等于　　．【分析】由随机变量X的分布列为，列方程求出a＝5，从而利用P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4），能求出结果．【解答】解：∵随机变量X的分布列为，∴＝1，解得a＝5，∴P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4）＝＝．故答案为：．17．（2019春•河南期末）设随机变量ξ的概率分布列为：P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，3，则P（ξ＝2）＝　　．【分析】由题意可得P（ξ＝0）+P（ξ＝1）+P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝1，所以c＝，所以P（ξ＝k）＝，进而求出答案．【解答】解：因为所有事件发生的概率之和为1，即P（ξ＝0）+P（ξ＝1）+P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝1，所以，所以c＝．所以P（ξ＝k）＝，所以P（ξ＝2）＝．故答案为：．18．（2020春•越秀区期末）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为2000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：作物产量（kg）400500概率0.60.4作物市场价格（元/kg）810 概率0.50.5（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（2）若在这块地上连续4季种植此作物，求这4季中至少有2季利润不少于2000的概率．【分析】（1）计算利润的各种可能取值及其对应的概率得出分布列；（2）根据二项分布的概率公式计算．【解答】解：（1）X的可能取值有1200，2000，3000，且P（X＝1200）＝0.6×0.5＝0.3，P（X＝2000）＝0.6×0.5+0.4×0.5＝0.5，P（X＝3000）＝0.4×0.5＝0.2．故X的分布列为：X120020003000P0.30.50.2（2）由（1）可知种植1季作物，利润不少于2000的概率为0.5+0.2＝0.7，∴这4季中至少有2季利润不少于2000的概率为：•（0.7）2•（0.3）2+•（0.7）3•0.3+（0.7）4＝0.9163．19．（2020春•济宁期末）在某校举办的“国学知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛．规则是：每名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中每名同学答对的概率均为，乙队中3名同学答对的概率分别是，，，且每名同学答题正确与否互不影响．用X表示乙队的总得分．（1）求随机变量X的分布列；（2）设事件A表示“甲队得2分，乙队得1分”，求P（A）．【分析】（1）用X表示乙队的总得分，由X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．（2）设事件A表示“甲队得2分，乙队得1分”，事件A表示甲队3名同学中有2人答对，乙队中名同学中有1人答对，设事件B表示“甲队3名同学中有2人答对”，事件C表示“乙队3名同学中有1人答对”，P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C），由此能求出结果．【解答】解：（1）用X表示乙队的总得分，由X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝+＝，P（X＝2）＝+＝，P（X＝3）＝＝，∴随机变量X的分布列为：X0123P（2）设事件A表示“甲队得2分，乙队得1分”，∴事件A表示甲队3名同学中有2人答对，乙队中名同学中有1人答对，设事件B表示“甲队3名同学中有2人答对”，事件C表示“乙队3名同学中有1人答对”，则P（B）＝＝，P（C）＝P（X＝1）＝+＝，∴P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C）＝＝．20．（2020秋•仁寿县校级月考）某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．（1）求X的概率分布；（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．【分析】（1）确定X的可能取值，利用独立重复试验概率公式求概率，从而可得X的概率分布列；（2）去执行任务的同学中有男有女的概率为P（X＝1）+P（X＝2），从而可得结论．【解答】解：（1）X的可能取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝即X的概率分布列为X0123 P（2）去执行任务的同学中有男有女的概率为P（X＝1）+P（X＝2）＝+＝．21．（2020•江苏模拟）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为0.7，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20件产品，其中有4件不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．【分析】（1）“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，由此能求出至少有2件是合格品的概率．（2）该商家可能检验出不合格产品数ξ，ξ可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列；只有2件都合格时才接收这批产品，从而商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，由此能求出商家拒收这批产品的概率．【解答】解：（1）“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，∴．（2）该商家可能检验出不合格产品数ξ，ξ可能的取值为0，1，2，，，，∴ξ的分布列为：ξ012P 因为只有2件都合格时才接收这批产品，故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，记“商家拒收”为事件B，则，∴商家拒收这批产品的概率为．22．（2020•芜湖模拟）学号为1，2，3的三位小学生，在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏，规则如下：投掷一颗骰子，将每次出现点数除以3，若学号与之同余（同除以3余数相同），则该小学生可以上2阶楼梯，另外两位只能上1阶楼梯，假定他们都是从平地（0阶楼梯）开始向上爬，且楼梯数足够多．（Ⅰ）经过2次投掷骰子后，学号为1的同学站在第X阶楼梯上，试求X的分布列；（Ⅱ）经过多次投掷后，学号为3的小学生能站在第n阶楼梯的概率记为Pn，试求P1，P2，P3的值，并探究数列{Pn}可能满足的一个递推关系和通项公式．【分析】（Ⅰ）由题意得X的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）P1表示学号为3的小朋友能站在第1阶楼梯的概率，推导出，，．由于学号为3的小朋友能够站在第n阶楼梯，有两种可能：从第n﹣2阶楼梯赢得比赛（投掷点数为3或6）直接蹬2个台阶上来．或从第n﹣1阶楼梯“输掉比赛”上只蹬1个台阶上来．根据骰子投掷规则，赢得比赛的概率是，输掉比赛的概率是，故Pn＝（n≥3且n∈N*），由此可探究数列{Pn}可能满足的一个递推关系和通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由题意得X的可能取值为2，3，4．P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝．∴X的分布列为X234P（Ⅱ）P1表示学号为3的小朋友能站在第1阶楼梯的概率，根据投掷骰子的规则，若出现点数为3或6， 则他直接站在第2阶楼梯，否则站在第1阶楼梯．故，同理可得：，．由于学号为3的小朋友能够站在第n阶楼梯，有两种可能：从第n﹣2阶楼梯赢得比赛（投掷点数为3或6）直接蹬2个台阶上来．或从第n﹣1阶楼梯“输掉比赛”上只蹬1个台阶上来．根据骰子投掷规则，赢得比赛的概率是，输掉比赛的概率是，故Pn＝（n≥3且n∈N*）（*）将（*）式可变形为．从而知：数列{Pn﹣Pn﹣1}是以P2﹣P1＝为首项，以﹣为公比的等比数列，则有Pn﹣Pn﹣1＝＝（﹣）n．进而可得：Pn＝（Pn﹣Pn﹣1）+（Pn﹣1﹣Pn﹣2）+…+（P2﹣P1）+P1＝（﹣）n+（﹣）n﹣1+…+（﹣）2+＝＝[1﹣（﹣）n+1]．（n∈N*）．[B组]—强基必备(2019·郑州市第一次质量预测)2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；(2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170,180)内． 组数分组天数第一组[50,80)3第二组[80,110)4第三组[110,140)4第四组[140,170)6第五组[170,200)5第六组[200,230)4第七组[230,260)3第八组[260,290)1①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以分布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．【解】(1)设重度污染区AQI的平均值为x，则74×2＋114×5＋2x＝118×9，解得x＝172.即重度污染区AQI的平均值为172.(2)①由题意知，AQI在[170,180)内的天数为1，由题表可知，AQI在[50,170)内的天数为17，故11月份AQI小于180的天数为1＋17＝18，又＝，则该校周日去进行社会实践活动的概率为.②由题意知，X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.则X的分布列为X0123P数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.