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安徽省桐城中学2021-2022学年高三数学(理)上学期第二次月考试题(Word版附解析)
安徽省桐城中学2021-2022学年高三数学(理)上学期第二次月考试题(Word版附解析)
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安徽省桐城中学2021-2022学年高三上学期第二次月考数学(理)(考试总分:150分考试时长:120分钟)一、单选题(本题共计12小题,总分60分)1.命题“,”的否定是()A.,B.,C.,D.,【答案】C【解析】【分析】根据全程量词命题的否定直接判断即可.【详解】命题“,”为全称量词命题,其否定为存在量词命题,故选:C.2.已知,为实数,则“,”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分析命题“若,,则”与“若,则,”的真假即可得解.【详解】因,为实数,且,,则由不等式性质知,命题“若,,则”是真命题,当成立时,“,”不一定成立,比如,,满“”,而不满足“,”,即命题“若,则,”是假命题,所以“,”是“”的充分不必要条件.故选:A 3.已知全集,则集合()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合并集和补集的定义进行求解即可.【详解】因为,所以,因此,故选:C4.若,则()A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】由已知表示出,再由换底公式可求.【详解】,,.故选:C.5.函数的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,设,则下列结论中正确的是A.的图象关于对称B.的图象关于对称C.的图象关于对称D.的图象关于对称【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数的平移特性即可确定后函数的性质 【详解】首先考查函数,其定义域为,且,则函数为偶函数,其图像关于轴对称,将的图像向左平移一个单位可得函数的图像,据此可知的图象关于对称.故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,函数图像的平移变换等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且,则()A.8B.-8C.16D.-16【答案】C【解析】【分析】由已知,根据的奇偶性可得,进而求.【详解】由题意,,∴,即,∴.故选:C7.函数的部分图象大致是()A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】确定奇偶性排除两个选项,再由函数值的正负排除一个后可得结论.【详解】本题考查函数的图象与性质.∵,是偶函数,∴排除A,B选项,又∵当时,,∴排除D选项.故选:C.8.若函数y=f(x)的定义域是[0,2020],则函数的定义域是()A.[-1,2019]B.[-1,1)∪(1,2019]C.[0,2020]D.[-1,1)∪(1,2020]【答案】B【解析】【分析】求的定义域转化为求与分式定义域的交集.【详解】使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤2020,解得-1≤x≤2019,故函数f(x+1)定义域为[-1,2019].所以函数g(x)有意义的条件是解得-1≤x<1或1<x≤2019.故函数g(x)的定义域为[-1,1)∪(1,2019].故选:B.【点睛】对于抽象函数定义域的求解,(1)若已知函数的定义域为,则复合函数的定义域由不等式.(2)若复合函数的定义域为,则函数的定义域为在上的值域. 9.已知函数是定义在上的奇函数,且,当时,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题设条件可得是周期为4的周期函数,结合给定区间解析式,利用周期性、奇偶性求的值.【详解】由题意,在上奇函数,且,得,∴,则,即,∴,即是周期为4的周期函数,当时,,则.故选:B.10.已知是定义在上的单调函数,对于,均有,则“”是“在上恒成立”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】令,由题可求得,得出,因为“在上恒成立”等价转化为对恒成立,利用导数求出的最大值,得到其充分必要条件,然后即可判断. 【详解】令,则.由,,即,是的单调递增函数,且,,,“在上恒成立”等价于对于恒成立.令,,当时,,单调递增;当时,,单调递减,,故“在上恒成立”等价于.是的充分不必要条件,∴“”是“在上恒成立”充分不必要条件,故选:A.11.设,其中,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由表示两点与点的距离,而点在抛物线上,抛物线的焦点,准线为,则表示与的距离和与准线的距离的和加上1,由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1,画出图象,当三点共线时,可求得最小值.【详解】详解:由题意,,由表示两点与点的距离,而点在抛物线上,抛物线的焦点,准线为,则表示与的距离和与准线的距离的和加上1, 由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1,由图象可知三点共线时,且为曲线的垂线,此时取得最小值,即为切点,设,由,可得,设,则递增,且,可得切点,即有,则的最小值为,故选:B.12.若,恒成立,则的最大值为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设,则,原不等式等价于恒成立,通过求导研究函数的单调性进而得到函数的最值,得到参数值.【详解】设,则,原不等式等价于恒成立,设是单调递增的,零点为,在,函数y的最小值为1,故,,零点是 在上单调递增,故,故.故答案为C.【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数.二、填空题(本题共计4小题,总分20分)13.函数的单调递增区间是________【答案】【解析】【分析】先求函数定义域,再根据复合函数单调性确定单调增区间.【详解】当时,单调递减,而也单调递减,所以单调递增,故答案为:【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域,考查基本分析求解能力,属基础题.14.已知幂函数过定点,且满足,则的范围为________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数所过的点求出解析式,利用奇偶性和单调性去掉转化为关于的不等式即可求解.【详解】设幂函数,其图象过点,所以,即,解得:,所以,因为, 所以为奇函数,且在和上单调递减,所以可化为,可得,解得:,所以的范围为,故答案为:.15.已知方程表示是焦点在y轴上的椭圆,:对任意,直线与圆恒有公共点.若是假命题,是真命题,则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】根据直线过定点可得需在圆内或圆上,即可求解为真命题的范围,进而根据椭圆的性质求解为真,分两种情况,,一真一假即可求解.【详解】若为真命题,则,由于直线恒过定点,故直线与圆恒有公共点.,则在圆内或圆上,故或,故为真命题时,则或,由于是假命题,是真命题,故中一真一假,当真假时,则,解得,当真假时,则,解得或,综上可知:或或,故答案为:16.已知是定义在上的奇函数,当时,有下列结论: ①函数在上单调递增;②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点;③若关于的方程恰有个不相等的实数根,则这个实数根之和为;④记函数在上的最大值为,则数列的前项和为.其中所有正确结论的编号是___________.【答案】①④【解析】【分析】作出函数的图像,利用数形结合思想依次判断选项①②③,利用等比数列求和判断选项④;【详解】当时,,此时不满足方程;若,则,即若,则,即作出函数在时的图像,如图所示,对于①,由图可知,函数在上单调递增,由奇函数性质知,函数在上单调递增,故①正确;对于②,可知函数在时的图像与与直线有1个交点,结合函数的奇偶性知,的图象与直线有3个不同的交点,故②错误;对于③,设,则关于的方程等价于,解得:或 当时,即对应一个交点为;方程恰有4个不同的根,可分为两种情况:(1),即对应3个交点,且,,此时4个实数根的和为8;(2),即对应3个交点,且,,此时4个实数根的和为4,故③错误;对于④,函数在上的最大值为,即,由函数的解析式及性质可知,数列是首项为1,公比为的等比数列,则数列的前项和为,故④正确.故答案为:①④【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解三、解答题(本题共计6小题,总分70分)17.已知数列为等差数列,且公差不为0,,是与的等比中项.(1)求数列的通项公式,(2)记,求数列的前项之和.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用等差数列通项公式结合已知条件列方程求数列的首项和公差,由此可得数列的 通项公式;(2)由(1)可得,利用裂项相消法求.【详解】解:(1)设数列的公差为,由已知得:即,又∴∴(2)∵∴18.已知集合是函数的定义域,集合是不等式的解集.:,:.(1)若,求的取值范围;(2)若:,且是的充分不必要条件,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)分别求函数的定义域和不等式的解集化简集合,由得到区间端点值之间的关系,解不等式组得到的取值范围;(2)求出对应的的取值范围,由是的充分不必要条件得到对应集合之间的关系,由区间端点值的关系列不等式组求解的范围. 【详解】解:(1)由条件得:,或,若,则必须满足,解得,所以的取值范围为:;(2)由:,可得::或,∵是的充分不必要条件,∴或是或的真子集,则且等号不同时成立,解得,∴的取值范围为:.19.在四棱锥中,平面,,,,为的中点,为的中点.(1)线段的中点为,求证平面;(2)若异面直线与所成角的余弦值为,求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】 【分析】(1)先证明面面平行,再由面面平行得线面平行;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的平面角的余弦值即可.【小问1详解】当点为的中点时,平面.因为,分别为,的中点,所以.因为平面,平面,所以平面.因为,所以四边形为平行四边形,所以.因为平面,平面,所以平面.因为,平面,所以平面平面.因为平面,所以平面.【小问2详解】取的中点为.由已知可得,. 因为平面,平面,所以,,则以为坐标原点,为轴的正方向,为y轴的正方向,为轴的正方向建立空间直角坐标系.,,,.设,则,则,,所以,解得或(舍).因为,所以,所以点,,,,.设平面的法向量为, 则令,则.设平面的法向量为,则令,则,所以,由图易知二面角为锐角,所以二面角的平面角的余弦值为.20.已知函数(1)求函数的单调区间;(2)若函数恰有四个零点,求实数的取值范围.【答案】(1)单调增区间,单调减区间或;(2).【解析】【分析】(1)求导数,根据导数的正负确定函数单调性.(2)设转换为二次方程,确定二次方程有两个不同解,根据方程的两个解与极值关系得到范围.【详解】解:(1)令,得,故函数的单调增区间为单调减区间为或(2)令因为关于的方程至多有两个实根, ①当显然无零点,此时不满足题意;②当有且只有一个实根,结合函数的图像,可得此时至多上零点也不满足题意③当,此时有两个不等实根设若要有四个零点则而,所以解得又故【点睛】本题考查了函数的单调性,函数的零点问题,综合性大,计算较难,意在考查学生对于函数导数知识的综合灵活运用和计算能力.21.已知椭圆:的焦距为,且经过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、,若椭圆上存在点,使得四边形为平行四边形(其中是坐标原点),求平行四边形的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由椭圆的焦距为2,且椭圆C过点,列出方程求出a,b,由此能求出椭圆C的方程;(2)设直线的方程为,由,消去得.利用韦达定理可得,点P在椭圆上可得表示平行四边形面积即可.【详解】解:(1)由题意可知椭圆的左、右焦点分别为,,又椭圆经过点,所以, 即,所以,即,又,所以椭圆的标准方程为.(2)设直线的方程为,由,消去得.设,,,则有,即,又,因为四边形为平行四边形,所以,故,,所以,由点在椭圆上可得,化简得而.又因为,所以,所以,所以.又点到直线的距离, 故的面积.所以平行四边形的面积为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查平行四边形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、中点公式、弦长公式的合理运用.22.已知函数其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.【答案】(1)单调递增区间是,;单调递减区间是(2)(3)【解析】【详解】(1)解:由,得当x变化时,,的变化情况如下表:x-1a+0-0+极大值极小值故函数的单调递增区间是,;单调递减区间是. (2)解:由(1)知在区间内单调递增,在内单调递减,从而函数在区间内恰有两个零点当且仅当,解得.所以,a的取值范围是.(3)解:a=1时,.由(1)知在区间内单调递增,在内单调递减,在上单调递增.(1)当时,,,在上单调递增,在上单调递减.因此,在上的最大值,而最小值为与中的较小者.由知,当时,,故,所以.而在上单调递增,因此.所以在上的最小值为.(2)当时,,且.下面比较的大小由在,上单调递增,有又由,,从而,所以综上,函数在区间上的最小值为
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