天津市静海区北师大实验学校2023-2024学年高二数学上学期第一阶段评估试题（Word版附解析）

北师大静海实验学校2023-2024学年第一学期高二年级第一次阶段性评估数学　试　题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（45分）1．经过，两点的直线方程为（    ）A．B．C．D．2．直线的倾斜角为（    ）A．30°B．45°C．120°D．150°3．若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）A．，，B．，，C．，，D．，，4．已知点A（1，-1），B（1，2），则直线AB的倾斜角为（    ）A．0B．C．D．5．已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（　　）A．B．C．5D．56．平行六面体中，，则实数x，y，z的值分别为A．B．C．D．7．已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ）A．B．C．D．8．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A．B．C．D．9．在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为A．B．1C．D．二、填空题（30分）10．已知平面的一个法向量为,点在内,则到的距离　11．如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数12．已知空间向量则向量在向量上的投影向量的坐是.13．直线l1与直线l2：y＝3x＋1平行，又直线l1过点(3,5)，则直线l1的方程为.14．设两直线与.若,则,若,．15．在空间直角坐标系中，，，且，则 的最小值是，最大值是.三、解答题（75分）16．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的正切值；(3)求点到平面的距离.17．已知的顶点坐标分别是，，.(1)求边上的中线所在直线的方程；(2)求过点且与直线平行的直线方程；(3)若点，当时，求直线倾斜角的取值范围．18．如图：在直三棱柱中，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值：(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长.19．如图，在三棱台中,,,侧棱平面,点是棱的中点.(1)证明:平面(2)求点到平面的距离;(3)求平面与平面的夹角的余弦值.20．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.  (1)求证：平面；(2)求直线PB与平面所成角的正弦值；(3)求点到PD的距离. 参考答案：1．C【分析】根据题目条件，选择两点式来求直线方程.【详解】由两点式直线方程可得：化简得：故选：C【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．A【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果.【详解】∵∴∴又∵∴故选：A.3．C【分析】由平面向量基本定理逐项判断可得答案．【详解】由平面向量基本定理得：对于A选项，，所以，，三个向量共面；对于B选项，，，，三个向量共面；对于C选项，则存在实数使得，则共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面；对于D选项，，所以三个向量共面；故选：C．4．D【分析】由两点的横坐标相等，得出倾斜角.【详解】由题意可知，两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角为.故选：D5．C【分析】先求出B（3，4，0），由此能求出||．【详解】解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），则||＝＝5．故选：C．6．C【解析】由则因为由,根据空间向量的基本定理即可求得.【详解】 ,.故选:C.【点睛】本题考查空间向量的基本定理,考查向量的线性运算,考查学生的计算能力,难度较易.7．A【分析】根据直线过定点P，画出图形，再求出，的斜率，然后利用数形结合求解.【详解】如图所示：  若直线与线段相交，则或，因为，，所以直线的斜率取值范围是.故选：A.【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.8．C【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.9．A【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.【详解】如图所示由正四面体的性质可得：可得：是棱中点故选：【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.10．4【分析】解利用点到面的坐标距离公式即可求解.【详解】解：由题意得：则到平面的距离 故答案为：11．4【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），∵λ，∴﹣2，∴b，∴N（0，，0），（，，），（，0），∵MN⊥AD，∴10，解得实数λ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．【分析】按照投影向量的定义，代入计算即可得到结果.【详解】因为，依题意向量在向量上的投影向量的坐标是.故答案为:13．【详解】∵直线l2的斜率k2＝3，l1与l2平行．∴直线l1的斜率k1＝3.又直线l1过点(3,5)，∴l1的方程为y－5＝3(x－3)，即y＝3x－4故答案为．点睛：这个题目考查了直线间的位置关系，两直线平行即斜率相等，充要条件为，两直线垂直充要条件为，知道直线的斜率和过的点，直接点斜式写出直线方程即可．14．-7【分析】由直线平行,得解出方程进行检验可得的值;由直线垂直可得,解出方程即可得的值.【详解】解:当时,,解得或当时,两直线重合,不符合题意.即当时,,解得故答案为:-7;【点睛】本题考查了直线的平行和垂直问题.一般地,对于两条直线,,.当时,;当时,.本题的易错点在于,在平行问题中,求出的值后没有代入方程检验两直线是否重合.15．08【解析】先利用空间向量数量积运算可得，再利用椭圆的参数方程求最值即可得解. 【详解】解：因为，，且，所以，即，设，则，又，则，故答案为：0，8.【点睛】本题考查了空间向量数量积运算，重点考查了椭圆的参数方程，属中档题.16．(1)见解析(2)(3)【分析】（1）建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，根据即可解决；（2）设平面的一个法向量为，根据空间向量方法解决面面角即可；（3）由题得，由点到平面的距离为解决即可.【详解】（1）根据题意，建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，因为侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，所以，因为是棱的中点，所以，所以,设平面的一个法向量为，所以，得，令，得，所以，因为,所以，因为平面，所以平面.（2）由（1）得平面的一个法向量为， 由题可设平面的一个法向量为，所以，所以，所以，所以平面与平面的夹角的正切值为.（3）由（1）得平面的一个法向量为，所以，所以点到平面的距离为.所以点到平面的距离为.17．(1)(2)(3)【分析】（1）由题意可得的中点坐标，进而可得中线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；（2）由斜率公式可得的斜率，由平行关系可得中线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；（3）由条件可得直线的斜率，可得其范围，进而可得倾斜角的范围．【详解】（1）解：，，，的中点坐标为，中线的斜率为，中线所在直线的方程为：，即；（2）解：由已知可得AB的斜率为，与直线平行的直线的斜率也为，所求直线的方程为，化为一般式可得；（3）解：可得直线AD的斜率为，直线倾斜角的取值范围为.18．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）在平面中构造与平行的直线，通过线线平行推证线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，通过向量法求解二面角的正弦值；（3）设出点的坐标，根据已知条件以及线面角的向量求解方法，即可求得点的坐标，从而求得的长度.【详解】（1）连接交于点，连接，如下所示：因为是直三棱柱，故可得是矩形，故为的中点，又是的中点，由△△可知： 也是的中点，故在△中，分别为的中点，故可得//，又面面，故//面.（2）因为是直三棱柱，故可得面，又面，则，又,故，综上可得两两垂直，故以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：则，由（1）知，故，则；则，设平面的法向量为，故可得，即，不妨取，则；设平面的法向量为，故可得，即，不妨取，则；设二面角的平面角为，故可得，则.即二面角的正弦值为.（3）因为在线段上，设其坐标为故可设，则点的坐标为，则；又由（2）知平面的法向量为，又直线与平面所成的角的正弦值为，故可得，整理得：，又，故可得，此时.故的长度为.19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质,可得,根据线面垂直的性质定理以及判定定理,可得,再结合线面垂直判定定理,可得答案.(2)利用等体积法,由三棱锥的体积等于三棱锥,可得答案;(3)建立空间直线坐标系,求两个平面的法向荲,利用向量叫夹角公式,根据面面角与法向䵣夹角的关系,可得答案.【详解】（1）在平面内,过作,且， 则,在中,,易知,即,平面平面,,且平面平面,平面平面,平面.（2）取的中点，连接，则,即,且平面,在Rt中,,则,平面,且平面,,且平面平面,平面,故,由（1）易得,设到平面的距离为,由三棱锥的体积等于二棱锥,则,即.（3）以点为原点,分别以所在的直线为轴,建立空间直线坐标系，则,由点为的中点,则在平面中,取,设该平面的法向量,则,即,今,解得,故平面的一个法向量,在平面中,取,设该平面的法向量,则,即,今,解得,故平面的一个法向量,则, 故平面与平面的夹角的余弦值为.20．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）如图，取中点，连接      因为为中点，，，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为为中点，为中点，则，又平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，又平面，故平面．（2）  根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，，则，设平面的法向量为，则，解得，取，则，所以平面的一个法向量为，设直线PB与平面所成角为，则.所以直线PB与平面所成角的正弦值为.（3）由（2）可知，，所以点到PD的距离为.