天津市南仓中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

天津市南仓中学2023至2024学年度第一学期高二年级教学质量过程性检测（数学学科）本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷两部分，共120分，考试用时100钟.第I卷1页，第II卷1页答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共9小题，共36分.一、选择题（每小题4分，共36分）1.已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（　　）A.－6B.－4C.0D.6【答案】C【解析】【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得的值．【详解】直线经过两，，．又直线的倾斜角为，斜率一定存在，则直线的斜率为，即．故选：C．2.若直线过两点，则直线的一般式方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件利用直线方程的截距式求解即可【详解】因为直线过两点，所以直线的方程为，即，故选：A3.如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..【详解】由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，当倾斜角为锐角时，斜率为正，即，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即，又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即；所以.故选：B.4.两平行直线与的距离为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平行线距离公式进行求解即可.【详解】由， 所以这两条平行线的距离为：，故选：B5.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基本定理进行求解.【详解】因为，点N为BC中点，所以，故.故选：B6.过点且垂直于直线的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设垂直于直线的直线为，代入点得的值，即得解. 【详解】设垂直于直线的直线为，代入点得，则所求直线为.故选：A.7.点关于直线的对称点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.8.不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】直线方程即，一定经过和的交点，联立方程组可求定点的坐标．【详解】直线即，根据的任意性可得，解得，不论取什么实数时，直线都经过一个定点． 故选：B9.已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.【详解】过点作，垂足为点，如图所示：设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，此时；当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：D.第II卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2．本卷共11小题共84分.二、填空题（每小题4分，共24分）10.已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为________． 【答案】##【解析】【分析】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，利用点到直的距离公式可求得结果.【详解】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，因为到直线的距离，所以的最小值为.故答案为：11.过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为_________.【答案】或【解析】【分析】分截距为和不为两种情况讨论即可得解.【详解】由题知，若在轴、轴上截距均为，即直线过原点，又过，则直线方程为；若截距不为，设在轴、轴上的截距为，则直线方程为，又直线过点，则，解得，所以此时直线方程为.故答案：或12.已知向量，若，则_________．【答案】【解析】 【分析】设，依题意可得，再根据向量夹角公式即可求解.【详解】设向量，，，设与的夹角为，，，.故答案为：.13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__．【答案】【解析】【分析】根据投影向量结合向量的坐标运算求解.【详解】由题意可得：，所以向量在向量上的投影向量为．故答案为：.14.已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________.【答案】0或5【解析】【分析】分类讨论直线斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解.【详解】因为直线经过点，且，所以的斜率存在，而经过点，则其斜率可能不存在， 当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意；当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在，由得，即，解得；综上，a的值为0或5.故答案为：0或5.15.如图，平行六面体中，与相交于M，设、、，则（1）______（用、、表示）；（2）若、、三向量是两两成角的单位向量，则______.【答案】①.②.【解析】【分析】结合图形，利用空间向量的线性表示与运算，进行运算即可，再根据计算可得．【详解】解：平行六面体中，、、，，因为、、三向量是两两成角的单位向量，所以，，所以所以 故答案为：；；【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，属于中档题．三、解答题16.已知空间向量，，．（1）若，求；（2）若与相互垂直，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【小问1详解】，，，即，且，，解得；【小问2详解】，，又，解得．17.已知直线和直线.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）0或2（2）【解析】【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解； （2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.【小问1详解】若，则，解得或2；【小问2详解】若，则，解得或1.时，，满足，时，，此时与重合，所以.18.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；（2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得；（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.【小问1详解】法一：由两点式写方程得，即；法二：直线的斜率为，直线的方程为，即；【小问2详解】 设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，所以；【小问3详解】直线AB的斜率为，所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.19.如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，，（1）求点P到直线EF的距离（2）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；（3）求点P到平面DEF的距离．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，先求出在上的投影长，再求点P到直线EF的距离．（2）求平面DEF的一个法向量、，应用向量法求线面角的正弦值.（3）由及（2）平面DEF的法向量，应用向量法求点面距离.【小问1详解】 如图，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由，得，因为，，在上投影长为，所以点P到直线EF的距离为.【小问2详解】由（1）知，设平面DEF的一个法向量为，则，取，则，设PA与平面DEF所成的角为θ，则，故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.小问3详解】由（1）知，，由（2）知，，所以点P到平面DEF的距离为.20.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. （1）取的中点N，求证：平面；（2）求直线与所成角的余弦值.（3）在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为?如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】取的中点，连接，则，以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系.（1）计算，利用向量法求证即可；（2）利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角；（3）假设存在点M符合题意，根据二面角、线面角的向量求法计算即可.【小问1详解】取的中点，连接，则，，所以四边形为矩形，所以，以A为原点，所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，取中点，则，，所以，故，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知，，，.故直线AC与PD所成角的余弦值为.【小问3详解】假设存在，且，则点为，所以，设平面的法向量是，，令，，（易知t=1不合题意）又是平面的一个法向量， ，解得(舍去)，则．此时平面的一个法向量可取，，设与平面所成的角为，则，由知，.