河南省郑州外国语学校2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（PDF版附答案）

郑州外国语学校2023—2024学年高二上期月考1试卷数学(120分钟150分)一、选择题(每题5分,1-10题为单选;11、12为多选,少选得2分,多选、错选得0分,共60分)1．已知abc,,是空间的一个基底，则下列说法错误的是()A．若xa+yb+zc=0，则x=y==z0B．abc,,两两共面，但abc,,不共面C．一定存在x，y，使得a=+xbycD．abbcc+,−,+2a一定能构成空间的一个基底2．已知直线lx:+2ay−=10，与l:(2a−1)xay−−=10平行，则a的值是()12111A．0或1B．1或C．0或D．4443．已知向量p在基底abb+,,+cc+a下的坐标为(0，2，1)，则p在基底abc,,下的坐标为()A．(0，1，2)B．(1，2，3)C．(1，3，2)D．(3，2，1)y−64．对方程=2表示的图形，下列叙述中正确的是()x+3A．斜率为2的一条直线1B．斜率为−的一条直线2C．斜率为2的一条直线，且除去点(3,6)−1D．斜率为−的一条直线，且除去点(3,6)−25．已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，−5)，Dx(，−1，3)共面，则x=()A．4B．1C．10D．116．已知直线l的方程为xysin+3−=10，R，则直线l的倾斜角范围是()第1页（共4页）{#{QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=}#} 2552A．(0,][,)B．[0,][,)C．[,]D．[,]33666633227．一条光线从点(2,3)−射出，经x轴反射后与圆(xy−3)+(−2)=1相切，则反射光线所在直线的斜率为()65543243A．或B．或C．或D．或5645233428．方程||1x−=2y−y表示的曲线为()A．两个半圆B．一个圆C．半个圆D．两个圆229．已知EF是圆Cx:+y−2x−4y+=30的一条弦，且CE⊥CF，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线lx:−−=y30上存在两点A，B，使得APB恒成立，则线段AB长度的2最小值是()A．42−2B．42+2C．221−D．221+2210．已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆xy+=16上的动点，定点A(3,2)−，现将坐标平面2沿y轴折成的二面角，使点A翻折至A，则A，P两点间距离的取值范围是()3A．[13,35]B．[4−13,7]C．[4−13,35]D．[13,7]11．（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD−ABCD中，M，N，P分别是CD，CC，AA11111111的中点，则()A．M，N，B，D四点共面110B．异面直线PD与MN所成角的余弦值为110C．平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形1D．三棱锥PMNB−的体积为3第2页（共4页）{#{QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=}#} 22212.（多选）设直线la:(−2)bxbya+−=0,圆C:(x−2)+y=rr(0)，若直线l与圆C恒有两个公共点AB,，则下列说法正确的是（）A.r的取值范围是[5,+)B.若r的值固定不变，则当2ab−=30时，ACB最小12C.若r的值固定不变，则ABC的面积的最大值为r21D.若r=3，则当ABC的面积最大时直线l的斜率为1或7二、填空题(每题5分,共20分)2222213．若圆x+y+60x=与圆x+y−2mym+−160=外离，则实数m的取值范围是．14．已知a=(1,2,1)−−，bx=−(1,−1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是．15．已知两点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，Q点的坐标．316．已知点P(3,0)−在动直线mxny+−(m+3)0n=上的投影为点M，若点N(2,)，则||MN的最2大值为.三、解答题(写清楚必要的解题步骤、文字说明以及计算过程,17题10分,18-22题每题12分,共70分)17．（1）求与直线3xy+4−=70垂直．且与原点的距离为6的直线方程；（2）求经过直线l:2x+3y−=50与l:7x+15y+=10的交点．且平行于直线xy+2−=30的直线12方程．2218．已知实数x，y满足方程x+y−4x+=10．22（1）求yx−的最值；（2）求xy+的最值．第3页（共4页）{#{QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=}#} 19.平面直角坐标系中有一个ABC，已知B(1,0)−，C(1,0)，且|AB|=2|AC|．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）求ABC的面积的最大值．20．如图，ABC是正三角形，四边形ABBA是矩形，平面ABBA⊥平面ABC，CC⊥平面ABC，11111点M为AB中点，AB=2，AA=2CC．11（1）设直线l为平面ABC与平面ABC的交线，求证：l//AB；11123（2）若三棱锥M−ABC的体积为，求平面MBC与平面ABBA夹11111113角的余弦值．21．如图，在三棱柱ABC−ABC中，四边形AABB是菱形，AB⊥AC，平面AABB⊥平面ABC．1111111（1）证明：AB⊥BC；11（2）已知=ABB，AB==AC2，平面ABC与平面ABC的交111113线为l．在l上是否存在点P，使直线AB与平面ABP所成角的正弦11值为？若存在，求线段BP的长度；若不存在，试说明理由．14222222．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x+3)+(y−1)=4和圆C:(x−4)+(y−5)=4．12（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程；1（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l和l，它们分别与圆C和圆C相交，且直线l被圆C截得的121211弦长与直线l被圆C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐22标．第4页（共4页）{#{QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=}#} 郑州外国语学校2023-2024学年高二上期月考1数学参考答案1-10CCBCDBDABB11.BCD12.BD4481113．(−，−210)(210，+)14．{|xx0且x3}15．(,,)16．333217．（1）求与直线3xy+4−=70垂直．且与原点的距离为6的直线方程；（2）求经过直线l:2x+3y−=50与l:7x+15y+=10的交点．且平行于直线xy+2−=30的直线12方程．【解答】解：（1）设与直线3xy+4−=70垂直的直线方程为：4x−3ym+=0．||m又与原点的距离为6，=6，解得m=30．224+−(3)满足条件的直线方程为：4xy−3300=．………………………………………………5分26x=2xy+3−=503（2）联立，解得．7xy+15+=10=−37y9设平行于直线xy+2−=30的直线方程为x+20yn+=．26x=34把代入上述方程可得：n=−．要求的直线方程为：9xy+18−=40．……10分y=−37992218．已知实数x，y满足方程x+y−4x+=10．22（1）求yx−的最值；（2）求xy+的最值．【解答】解：（1）令yxt−=，即x−+=yt0对应直线l22将直线l平移，当l与圆C:(x−2)+y=3相切时，t达到最大或最小值|2+t|由d==3，得t=−26t的最小值为−−26，最大值为−+26；…………6分222222（2）满足x+y−4x+=10的点Pxy(,)在以C(2,0)为圆心，半径为3的圆上，x+=y||OP，当P、O、C三点共线时，||OP达到最大值或最小值当圆C上的点P在OC延长线上时，||OP的最大值为|OC|+3=+23，222得到xy+的最大值为(2+3)=+743；{#{QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=}#} 当圆C上的点P在线段OC上时，||OP的最小值为|OC|−3=−23222得到xy+的最大值为(2−3)=−743．22综上所述，xy+的最大值为743+；最小值为743−．………………………………12分19.平面直角坐标系中有一个ABC，已知B(1,0)−，C(1,0)，且|AB|=2|AC|．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）求ABC的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设Axy(,)，则B(1,0)−，C(1,0)，且|AB|=2|AC|，222222(x+1)+y=2(x−1)+2y，x+y−6x+=1022顶点A的轨迹方程为x+y−6x+=10（x322）；……………………………………6分2222（Ⅱ）x+y−6x+=10可化为(xy−3)+=8，A到x轴的最大距离为22，1ABC的面积的最大值为222=22．………………………………12分220．如图，ABC是正三角形，四边形ABBA是矩形，平面ABBA⊥平面ABC，CC⊥平面ABC，11111点M为AB中点，AB=2，AA=2CC．11（1）设直线l为平面ABC与平面ABC的交线，求证：l//AB；11123（2）若三棱锥M−ABC的体积为，求平面MBC与平面ABBA夹角的余弦值．11111113【解答】解：（1）证明：四边形ABBA是矩形，AB//AB，1111AB平面ABC，AB平面ABC，AB//平面ABC，………………3分11111111111又AB平面ABC，平面ABC平面ABC=l，AB//l；…………………5分111（2）连接MC，平面ABBA⊥平面ABC，MC⊥AB，⊥MC平面ABBA，1111{#{QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=}#} 而CC⊥平面ABC，CC平面ABBA，CC//平面ABBA，………………………6分1111111111123V=V=ABAAMC=23AA=，=AA2，CC=1，8分MABC−−11C1MAB1121113213311设AB中点为N，由（1）知，AB，MC，MN两两垂直，11以点M为坐标原点，MB，MC，MN所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，2)，C(0,3,1)，………………9分11MB==(1,0,2),MC(0,3,1)，11设平面MBC的法向量为m=(,,)xyz，11mMB=+x20z=1则，则可取m=−(23,1,3)−，…11分mMC=30y+=z1取平面ABBA的法向量为n=(0,1,0)，11|mn|11则|cosmn,=|==，|mn|||1441平面MBC与平面ABBA夹角的余弦值是．…………………………12分1111421．如图，在三棱柱ABC−ABC中，四边形AABB是菱形，AB⊥AC，平面AABB⊥平面ABC．1111111（1）证明：AB⊥BC；11（2）已知=ABB，AB==AC2，平面ABC与平面ABC的交线为l．在l上是否存在点P，1111131使直线AB与平面ABP所成角的正弦值为？若存在，求线段BP的长度；若不存在，试说明理114由．【解答】解：（1）证明：平面AABB⊥平面ABC，又平面AABB平面ABC=AB，1111AC⊥AB，AC平面ABC，⊥AC平面AABB，………………………………2分11又AB平面AABB，⊥ACAB，四边形AABB是菱形，⊥ABAB，11111111{#{QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=}#} 又ACAB=A，AC、AB平面ABC，⊥AB平面ABC，………………4分11111又BC平面ABC，⊥ABBC；………………………………………………5分1111（2）取AB中点D，连接AD，四边形AABB为菱形，=ABBB，11111又ABB=60，ABB为等边三角形，由菱形的几何性质可知AAB=60，AA=AB，1111111△AAB也为等边三角形，又D为AB的中点，⊥ADAB，又AB//AB，⊥ABAD，11111111由（1）知，AC⊥平面AABB，11以AB、AD、AC所在直线分别为x、y、z轴，建系如图，则根据题意可得：A(0，0，0)、B(2，0，0)、C(0，0，2)、A(1,3,0)−、B(1,3,0)，……7分11AB=−(3,3,0)，设Pt(1,3,)，则AP=(1,3,)t，AB=(2,0,0)，1AC//AC，AC平面ABC，AC平面ABC，1111111111AC//平面ABC，又平面ABC平面ABC=l，AC平面ABC，11111111AC//l，由（1）知l⊥平面AABB，……………………………………8分11设平面ABP的法向量n=(,,)xyz，nAP=+x30ytz+=则，取nt=−(0,,3)，……………………………10分nAB=20x=1直线AB与平面ABP所成角的正弦值为，14||ABn|−3|t11|cosABn,=|==，解得t=1，……………11分1|AB|||n23+t2341存在点P，线段BP的长为1．……………………………………………12分1222222．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x+3)+(y−1)=4和圆C:(x−4)+(y−5)=4．12（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程；1{#{QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=}#} （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l和l，它们分别与圆C和圆C相交，且直线l被圆C截得的弦长121211与直线l被圆C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．22【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C不相交；1直线l的斜率存在，设l方程为：y=−kx(4)，22圆C的圆心到直线l的距离为d，l被C截得的弦长为23，d=2−(3)=1，……2分11|17|−−k7d=从而kk(24+=7)0即k=0或k=−，……………………………………………4分1+k224直线l的方程为：y=0或7xy+24−280=．……………………………………………………6分（2）设点Pab(,)满足条件，1不妨设直线l的方程为ybkxa−=()−，k0，则直线l方程为：yb−=−()xa−，12kC和C的半径相等，及直线l被圆C截得的弦长与直线l被圆C截得的弦长相等，121122C的圆心到直线l的距离和圆C的圆心到直线l的距离相等，11221|5+(4−ab)−||1−k(3−−a)−b|k即=，……………………………………………8分121+k1+2k整理得|13+k+akb−=||5k+−−4abk|，+13k+akb−=(5k+−−4abk)，即(ab+−2)k=−+ba3或(ab−+8)k=+−ab5，…………………………………10分ab+−=20ab−+=80因k的取值有无穷多个，所以或，ba−+=30ab+−=5053a=a=−2251313解得或，这样的点只可能是点P1(,−)或点P2(−,)．b=−1b=13222222经检验点P1和P2满足题目条件．……………………………………12分法2：直线l1和l2分别过C1，C2圆心时，点P在C1C2中垂线上时满足要求，依次可以确定两个点P1，P2，可以证明，l1和l2垂直且绕点P1，P2旋转时，直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等．{#{QQABJQQUogiAAhAAAQgCEwVACgMQkBECCKoOhAAEMAIAgAFABAA=}#}