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广东省清远市阳山县南阳中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题(Word版附解析)

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南阳中学2023-2024学年第一学期高二级第一次月考数学科试卷满分:150分考试时间:120分钟一、单选题,8个小题,每小题5分共40分.1.点关于平面对称的点的坐标是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.【详解】由空间直角坐标系的性质可知,点关于平面对称的点的坐标是.故选:A2.,,若,则()A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,利用空间向量共线求出m,n的值作答.【详解】因为,,,则存在,使得,即,于是,解得,所以.故选:C3.某人连续投篮两次,则他至少投中一次的对立事件是()A.至多投中一次B.两次都投中C.只投中一次D.两次都没投中【答案】D 【解析】【分析】根据对立事件的定义判断.【详解】至少投中1次的反面是没有一次投中,因此选项D正确.故选:D.4.已知直线的一个方向向量,直线的一个方向向量,若,且,则()A.-3或1B.3或C.-3D.1【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的模的坐标表示结合即可求得x的值,再根据,列出方程,即可求得y,从而可得答案.【详解】因为,所以,又,所以,所以,所以,所以当时,,则,当时,,则,所以或.故选:A.5.在空间直角坐标系中,已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为,,,则点的坐标为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.【详解】设,因为与的中点相同,所以,解得,所以. 故选:A.6.利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法,用此方法可以快速进行大量重复试验,进而用频率估计概率.甲、乙两名选手进行比赛,采用三局两胜制决出胜负,若每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为.利用计算机产生1~5之间的随机整数,约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜,由于要比赛3局,所以3个随机数为一组,现产生了20组随机数如下:354151314432125334541112443534312324252525453114344423123243,则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意分析随机数中表示甲获胜的数目,然后利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】根据题意,在20组随机数中,表示甲获胜有:151,125,112,312,252,114,123,共7种情况,所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为,故选:B7.已知直线经过点,且是的方向向量,则点到的距离为()AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】由空间向量夹角的坐标表示求,再根据点到直线距离为即可求结果.【详解】由题设,则,所以,而,故到l的距离为.故选:C8.在棱长为1的正方体中,是棱的中点,点在侧面内,若 ,则的面积的最小值是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系,求得相关点的坐标,利用向量的坐标运算求得,进而结合二次函数性质求得,利用三角形面积公式,即可求得答案.【详解】以点为空间直角坐标系的原点,分别以,,所在直线为,,轴,建立空间直角坐标系,则点,,所以.因为,,所以,因为,所以,所以.因为,所以,所以,因为, 所以当时,.因为正方体中,平面,平面,故,所以,故选:B.二、多选题,4个小题,每小题5分共20分,有错选不得分,少选且正确得2分.9.已知向量,,则下列说法正确的是()A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件,利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断.【详解】对于A,向量,,则,A正确;对于B,,B错误;对于C,由数量积的定义得,C错误;对于D,,所以,D正确.故选:AD.10.设构成空间的一个基底,下列说法正确的是()A.,,两两不共线,但两两共面B.对空间任一向量,总存在有序实数组,使得C.,,能构成空间另一个基底D.若,则实数,,全为零【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量基本定理一一判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底,所以,,两两不共线,但两两共面,故A正确;对空间任一向量,总存在有序实数组,使得,故B正确;因为,所以,,共面,故不能构成空间的一个基底,故C错误;根据空间向量基本定理可知,若,则实数,,全为零,故D正确;故选:ABD11.已知事件满足,,则下列结论正确的是()A.如果,那么B.如果,那么C.如果与互斥,那么D.如果与相互独立,那么【答案】BCD【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可【详解】对于选项A,设一个盒子里有标号为1到10的小球,从中摸出一个小球,记下球的编号,记事件A=“球的编号是偶数”,事件B=“球的编号是1,2,3”,事件C=“球的编号是奇数”满足,但是选项A错误;对于选项B,如果,那么,选项B正确;对于选项C,如果与互斥,那么,所以选项C正确;对于选项D,如果与相互独立,那么,所以选项D正确.故选:BCD12.如图,正方体的棱长为,点为底面的中心,点为侧面内(不含边界)的动点,则() A.B.存在一点,使得C.三棱锥的体积为D.若,则的最小值为【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系,设点,其中,,利用空间向量法判断A、B、D,根据锥体的体积公式判断C.【详解】以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、、、、,设点,其中,,对于A选项,,,则,所以,故A正确;对于B选项,,, 若,则,解得,不符合题意,所以不存在点,使得,故B错误;对于C选项,,点到平面的距离为,所以,故C正确;对于D选项,,若,则,可得,由,可得,所以,当且仅当时取等号,故D错误;故选:AC三、填空题,4个小题,每小题5分共20分.13.从长度为的条线段中任取条,则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________.【答案】##【解析】【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数,根据古典概型概率公式可得结果.【详解】从条线段中任取条,则有,,,,,,,,,,共个基本事件;其中三条线段能够成三角形的基本事件有:,,,共个;所求概率.故答案为:.14.已知空间向量,,则向量在向量上的投影向量的模是___________ 【答案】##【解析】【分析】根据给定条件,求出投影向量,再求出模作答.【详解】向量,,则,,因此向量在向量上的投影向量为,所以向量在向量上的投影向量的模是.故答案为:15.已知,,,若,,三向量共面,则实数等于__________.【答案】【解析】【分析】依题意设,列方程组能求出结果.【详解】解:,,,,4,,,2,,且,,三向量共面,设,,2,,,,,解得,,.故答案为:.16.点是棱长为的正四面体表面上的动点,是该四面体内切球的一条直径,则的最大值是_______________.【答案】【解析】【分析】作出图形,计算出正四面体内切球的半径,由此可求得 ,由空间向量数量积的运算性质得出,进而可知当点为正四面体的顶点时,取得最大值,即可得解.【详解】如下图所示:正四面体的棱长为,其内切球球心为点,连接并延长交底面于点,则为正的中心,且平面,连接并延长交于点,则为的中点,且,,,平面,平面,,则,面积为,正四面体的体积为,设球的半径为,则,,,,,, 当点位于正四面体的顶点时,取最大值,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查空间向量数量积的最值的计算,同时也考查了正四面体内切球半径的计算,考查计算能力,属于较难题.四、解答题,6个小题,第17题10分,第18-22每题12分,共70分.17.,,.(1)若,求.(2)若,求的值【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依题意可得,根据向量共线的坐标表示得到方程,解得即可;(2)依题意可得,根据数量积的坐标表示得到方程,解得,即可求出,再根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算计算可得.【小问1详解】解:因为,且,所以,即,即,即,所以,所以.【小问2详解】解:因为,且,所以,解得, 所以,所以,,所以.18.抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.求下列事件的概率.(1)“两个骰子的点数之和是5”;(2)“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用列举法,结合古典摡型概率计算公式,即可求解;(2)利用列举法,结合古典摡型的概率计算公式,即可求解;【小问1详解】解:由抛掷两枚质地均匀的骰子,基本事件共有个不同的结果,因为“两个骰子的点数之和是5”,可得事件,所以,所以.【小问2详解】解:因为“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”,可得事件,即,所以.19.如图,已知四面体ABCD的所有棱长都是2,点E是AD的中点. (1)求证:;(2)求的值.【答案】(1)证明过程见解析;(2)【解析】【分析】(1)根据线面垂直的判定定理进行证明即可;(2)根据空间向量基本定理,结合空间向量数量积的定义和运算性质进行求解计算即可.【小问1详解】连接,因为ABCD是正四面体,所以是等边三角形,又因为点E是AD的中点,所以,而平面,因此平面,而平面,因此;【小问2详解】因为点E是AD的中点,所以有,由(1)同理可证明,即,因为ABCD是正四面体,所以是等边三角形,且边长是2,因此.20.近年来,我国居民体重“超标” 成规模增长趋势,其对人群的心血管安全构成威胁,国际上常用身体质量指数BMI=衡量人体胖瘦程度是否健康,中国成人的BMI数值标准是:BMI<18.5为偏瘦;18.5≤BMI<23.9为正常:24≤BMI<27.9为偏胖;BMI>28为肥胖.下面是社区医院为了解居民体重现状,随机抽取了100名居民体检数据,将其BMI值分成以下五组:,,,,,得到相应的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,求a的值,并估计该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的80%分位数;(2)现从样本中利用分层抽样的方法从,的两组中抽取6名居民,再从这6人中随机抽取2人,求抽取到2人的BMI值不在同一组的概率.【答案】(1),80%分位数为(2)【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图矩形面积和为求出,再根据频率分布直方图求百分位数步骤求解即可;(2)先按照分层抽样在,分别抽取人和人,再应用古典概型计算可解.【小问1详解】根据频率分布直方图可知组距为,所有矩形面积和为,所以,解得因为,,三组频率之和为,而,,,,四组的频率之和为,故样本数据的80%分位数在内,设为,则,解得,即该社区居民身体质量指数的样本数据80%分位数为. 【小问2详解】由频率分布直方图可知的频数为,的频数为,所以两组人数比值为,按照分层抽样抽取人,则在,分别抽取人和人,记这组两个样本编号为,这组编号为,故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间:设事件“从6个人中随机抽取2人,抽取到2人的值不在同一组”,则故,即从这6个人中随机抽取2人,抽取到2人的值不在同一组的概率为.21.如图,在直三棱柱中,,.(1)求证:;(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,求出的坐标后利用它们的数量积为零可证异面直线的垂直.(2)求出平面的法向量和的坐标后可求点面距.【小问1详解】建立直角坐标系,其中为坐标原点. 依题意得,因为,所以.【小问2详解】设是平面的法向量,由得所以,令,则,因为,所以到平面的距离为.22.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,为的中点,且.记的中点为,若在线段上(异于、两点).(1)若点是中点,证明:平面;(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】【分析】(1)取线段的中点,连接、,然后证明四边形为平行四边形,从而,从而平面.(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用向量法求出线段的长.【小问1详解】证明:取线段的中点,连接、,因为,,因为为的中点,则且,因为为的中点,则且,因为、分别为、的中点,所以,且,所以,且,所以,四边形为平行四边形,则,因为平面,平面,所以,平面.【小问2详解】连接,因为,,为的中点,则且,所以,四边形为平行四边形,所以,,且,因为,则,又因为,则,因为,为的中点,则,因为,,,所以,,所以,,则,又因,、平面,所以,平面, 以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,则、、、,设,则,,,设平面的法向量为,则,取,可得,,若直线与平面所成角的正弦值为,则,整理可得,因为,解得,故.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-10-31 07:00:02 页数:18
价格:¥2 大小:1.30 MB
文章作者:随遇而安

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