辽宁省沈阳市第二十中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

2023-2024学年度(上)沈阳市第二十中学阶段测试高一年级数学试卷考试时间：120分钟考试分数：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）1.已知集合，则一定有（）A.B.0ÜC.D.【答案】D【解析】【分析】利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断得解.【详解】集合，则，，，，ABC都错，D正确.故选：D2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定形式，直接求解.【详解】全称命题“”的否定形式需要改量词，以及结论否定，即否定是.故选：D3.设a是实数，使得不等式成立的一个充分而不必要的条件是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定的不等式，求出的取值集合，再充分而不必要的条件的意义判断即可.【详解】由得，，，，即是成立的必要不充分条件，A不是；，，即是成立必要不充分条件，B不是；，，则是成立的充分不必要条件，C是；显然是成立的充要条件，D不是.故选：C4.设集合，，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化简，即得解.【详解】由题得，因为，所以故选：A5.下列关于集合相等的说法正确的有（）①；②； ③；④A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可.【详解】因为，所以①正确；因，，所以②不正确；因为，，故③正确；，故④错误.故选：C6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作差法比较出，，从而得到.【详解】，故，，故，综上：故选：A7.设，且，那么（）A.ab有最大值B.ab有最小值C.有最大值D.有最小值【答案】D 【解析】【分析】根据给定等式，利用基本不等式建立不等关系，求出取值范围，再逐项判断得解.【详解】因为，，由，得，则，解得，即，当且仅当时取等号，因此当时，ab取得最小值，AB错误；显然，当且仅当时取等号，C错误；，当且仅当时取等号，D正确.故选：D8.对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】令，将问题化为，在上恒成立，讨论、，结合二次函数性质列不等式组求参数范围，即可得最小整数值.【详解】由题设，令，则，所以，在上恒成立，当，则，不满足题设；当，对称轴为，只需，可得.综上，，故整数的最小值为2.故选：B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集，类似地，对于集合A，B我们把集合，叫作集合A和B的差集，记作．例如：， ，则有，，下列解答正确的是（）A.已知，，则B.已知或，，则或C.如果，那么D.已知全集U、集合A、集合B关系如图中所示，则【答案】BD【解析】【分析】根据所给新定义的理解，直接判断所给选项即可.【详解】根据新定义，集合中的元素为A中元素去掉A与B集合交集中元素所构成.由，，则，故A错误；由或，，则或，故B正确；，则，即，故C错误；全集U、集合A、集合B关系如图中所示，则如图所示：则，故D正确.故选：BD10.下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（）A.“a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.设，则“”是“”充要条件D.“，”是“”的充要条件 【答案】ABC【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，逐项分析判断得解.【详解】对于A，命题“若a，b都是偶数，则是偶数”是真命题，而是偶数，a，b可以都是奇数，即“a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，A正确；对于B，当，时，不成立，而当时，显然，有，则，因此“”是“”的必要不充分条件，B正确；对于C，，，C正确；对于D，显然当时，不等式成立，而“，”不成立，D错误.故选：ABC11.已知，是关于x的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理判断AB；借助韦达定理计算判断CD即可.【详解】由是关于x的一元二次方程的两根，得，A错误，B正确；，C正确；，即有，解得或，D错误.故选：BC12.已知，，下列命题中正确的是（）A.若，则B. C.D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据条件变形，利用均值不等式求解即可判断A，取特殊值判断B，利用不等式判断C，根据条件化双变量为单变量，再由均值不等式求解即可判断D.【详解】对A，由可得，解得或（舍），当且仅当，即时等号成立，故A正确；对B，当时，不成立，故B不正确；对C，，当且仅当时，等号成立，故C正确；对D，，，，由，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题纸上．）13.已知集合，若A中只有一个元素，则实数m的取值集合为______．【答案】【解析】【分析】对分，两类讨论即可得解.【详解】由题意，方程只有一个解，当时，有一解，符合题意， 当时，一元二次方程有一解，只需，解得，综上，或，故答案为：14.已知关于x的不等式的解集为，求的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据不等式解集求出参数，再由一元二次不等式的解法求解.【详解】因为不等式的解集为，所以方程的根为，所以，解得，所以由原不等式可得，即，解得或，所以不等式的解集为15.已知集合，，，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，联立方程组并消去y，由关于x的方程有实数解求解即得.【详解】由，得有解，消去y得有解，依题意，方程在时有解，即当时，，所以实数a的取值范围是. 故答案为：16.已知，，若它们同时满足：①，或；②，则m取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由条件①可得及当时，再由条件②寻找的零点与的关系得解.【详解】由，得，即，，或，则当时，恒成立，于是，此时的根为，于是，，又，解得；又，，显然，则，，而，即，，显然，否则，，不符合题意，当，即时，，解得，此时，符合题意，因此；当，即时，，解得，与矛盾，所以m取值范围是.故答案为:四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置．） 17.已知集合，，若．（1）求实数a的值；（2）设二次函数在处的y值为m，解关于x的不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据集合的交集分析集合中元素，分类讨论求解即可；（2）解一元二次不等式求解即可.【小问1详解】，，，当时，，此时，，当时，，此时，满足，故.【小问2详解】二次函数在处的y值为3，即，则，即，，解得或，所以不等式的解集为.18.（1）求方程组的解集；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）两式相减，再消元后代入，即可得解；（2）转化为关于的一元二次不等式求解，再由绝对值的意义去掉绝对值号得解.【详解】（1）由①，②，①②可得，即③，由③可得，代入①可得，解得或，代入③，时解得，时，，所以方程组的解集为.（2）由可得，即，解得，可得或，解得或，故不等式解集为.19.设实数集R为全集，集合，集合．（1）当时，求及；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）解分式不等式与一元二次不等式，根据交集与并集的运算求解；（2）根据条件转化为，分类讨论时，当时，列出不等式求解. 【小问1详解】，当时，，所以，.【小问2详解】或，由，即，当时，即时成立，当时，即时，，则，解得.综上的取值范围为.20.已知．（1）若关于x的不等式的解集为R，求实数k的取值范围；（2）方程有两个不相等的实数根，①是否存在实数k使成立?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；②若均大于零，试求k的取值范围．【答案】（1）（2）①不存在，理由见解析，②【解析】【分析】（1）根据不等式恒成立，分类讨论，当不等式为二次不等式时转化为判别式求解；（2）①由根与系数的的关系列出方程求解；②根据两根之积大于0求解即可.【小问1详解】由可得，又不等式解集为R，即恒成立， 当时，原不等式为，满足题意；当时，只需且，解得.综上，【小问2详解】由题意，两个不相等的实数根，则，即，解得，则，，①若存在k满足条件，则，即，解得，不满足，故不存在使成立.②若均大于零，则只需，解得或，又，所以.故k的取值范围为.21.沈阳市地铁4号线开通后将给和平长白岛居民出行带来便利．已知该条线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁为满载状态，载客量为1300人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为660人．（1）写出p关于t的函数表达式；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为多少?【答案】（1）； （2）发车时间间隔为分钟，该线路每分钟的净收益最大为元.【解析】【分析】（1）由题意分别写出与时，p关于t的关系式作答.（2）分别求出时，时，每分钟的净收益的表达式，并求出其最大值，再比较大小即可得解.【小问1详解】依题意，当时，，当时，设，为常数，由时，，得，解得，则，所以p关于t的函数表达式是.【小问2详解】当时，，则当时，，当时，，当且仅当时，即时取等号，而，所以当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元.22.设函数，函数．（1）求的取值范围；（2）若对于任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围；（3）若关于的不等式在存在解集，求整数m的最大值．【答案】（1） （2）（3）1【解析】【分析】（1）利用判别式法求值域即可得解；（2）由题意可转化为，利用函数单调性求解即可；（3）分离参数，转化为求函数的最大值，根据均值不等式求出最值即可得解.【小问1详解】，定义域为，由，当时，，符合题意，当时，由，知，解得且，综上，.【小问2详解】对于任意的，总存在，使得，即由（1）知，因为是减函数，所以当时，，所以，解得.【小问3详解】由可得，，分离参数可得，， 由题意，不等式在存在解集，则因为，当且仅当，即时等号成立，所以，解得,